Mathematik

3.1. Vollständige Induktion 23
• Induktionsschritt: Für n > 0 erhalten wir mittels Abspaltung des größten Faktors:
(n + 1)! = (n + 1) · n!
≥ (n + 1) · 2 n−1 (nach Induktionsvoraussetzung)
≥ 2 · 2 n−1 (wegen n ≥ 1)
= 2 n
Damist die Proposition bewiesen.
Theorem 2.2 (Binomialtheorem) Für alle reellen Zahlen x und y und jede natürliche
Zahl n gilt
n∑
( n
(x + y) n = x
k)
k y n−k .
k=0
Beweis: (Induktion) Für beliebige reelle Zahlen x und y führen wir einen Beweis mittels
vollständiger Induktion über n.
• Induktionsanfang: Es sei n = 0. Dann gilt (x + y) 0 = 1 =
• Induktionsschritt: Es sei n > 0. Dann gilt:
(x + y) n
= (x + y) · (x + y) n−1
n−1
∑
( ) n − 1
= (x + y) ·
x k y n−1−k
k
=
=
=
=
=
k=0
k=0
n−1
∑
( ) n − 1
x k+1 y n−(k+1) +
k
n∑
k=1
( ) n − 1
x k y n−k +
k − 1
( ) n − 1
x n y n−n +
n − 1
( n
n)
x n y n−n +
n∑
k=0
( n
k)
x k y n−k
k=1
k=0
n−1
∑
( ) n − 1
x k y n−k
k
k=0
n−1
∑
( ) n − 1
x k y n−k
k
n−1
∑
[( ) n − 1
k − 1
n−1
∑
( n
x
k)
k y n−k +
k=1
( n − 1
+
k
( 0
0)
x 0 y 0 .
(nach Induktionsvoraussetzung)
)]
x k y n−k +
( ) n − 1
x 0 y n−0
0
( n
0)
x 0 y n−0 (nach Lemma 2.3)
Version v4.4 Fassung vom 12. April 2013