Mathematik

3.3. Strukturelle Induktion 27
• Wenn wir die Operation + : N 2 → N : (n, m) ↦→ n + m betrachten, so gilt:
Γ 0 inc({1}) = {1}
Γ 1 inc({1}) = {1} ∪ {2} = {1, 2}
Γ 2 inc({1}) = {1, 2} ∪ {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}
Γ 3 inc({1}) = {1, 2, 3, 4} ∪ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
.
Γ k inc({1}) = {1, 2, . . . , 2 k }
.
Γ inc ({1}) = N +
Auch hier kann der Beweis der Gleichheit Γ k inc ({1}) = {1, 2, . . . , 2k } für
alle k ∈ N mittels vollständiger Induktion über k geführt werden.
Eine Menge B ⊆ A heißt induktiv definiert (oder endlich erzeugt) aus B 0 ⊆ A, falls es eine
Funktion f : A n → A gibt mit B = Γ f (B 0 ).
Für endlich erzeugte Mengen können wir das Beweisprinzip der strukturelle Induktion
beschreiben:
• Induktionsanfang (IA): Zeige A(x) für alle x ∈ B 0 .
• Induktionsschritt (IS): Zeige A(x) für ein allgemeines x ∈ B \ B 0 unter der Annahme
(Induktionsvoraussetzung, IV), dass A(y 1 ), . . . , A(y n ) für x = f(y 1 , . . . , y n ) gilt. (Hier
ist unter technischen Gesichtspunkten darauf zu achten, dass y 1 , . . . , y n einfacher
sind, d.h. ist x ∈ Γ k f (B 0), so muss y 1 , . . . , y n ∈ Γ k−1
f
(B 0 ) gelten.)
Wir wollen uns ein Beispiel für die in der Informatik typische konstruktive Vorgehensweise
anschauen.
Eine wichtige Datenstruktur in der Informatik sind Binärbäume als Verallgemeinerung
von Listen. In einer Liste hat jedes Element bis auf das letzte genau einen Nachfolger und
jedes Element bis auf das erste genau einen Vorgänger. Verlangt man nur die Eigenschaft
das jedes Element bis auf eines genau einen Vorgänger besitzt (und Kreise ausgeschlossen
Version v4.4 Fassung vom 12. April 2013