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28 Kapitel 3. Induktion werden), gelangt man zu Bäumen. Eine Sonderklasse von Bäumen sind volle, gewurzelte Binärbäume. Ein Beispiel ist der folgende Baum: 8 7 6 5 2 3 4 0 1 Die Menge aller vollen, gewurzelten Binärbäume kann man wie folgt induktiv definieren. Bäume sind Tripel (V, E, r), wobei V für die Menge der Knoten, E ⊆ V 2 für die Menge der Kanten sowie r ∈ V für die Wurzel stehen. Wir geben nun eine Menge B 0 und eine Operation f an: B 0 = def { ({r}, ∅, r) | r ∈ N } f((V 1 , E 1 , r 1 ), (V 2 , E 2 , r 2 )) = def (V 1 ∪ V 2 ∪ {r}, E 1 ∪ E 2 ∪ {(r, r 1 ), (r, r 2 )}, r), wobei V 1 ∩ V 2 = ∅ sowie r /∈ V 1 ∪ V 2 gilt Die Menge der vollen, gewurzelten Binärbäume ist dann gerade die Menge Γ f (B 0 ). Bevor wir unseren zu beweisende Eigenschaften formulieren, führen wir noch zwei Begriffe ein. Es sei T = (V, E, r) ein voller, gewurzelter Binärbaum. Ein Element v ∈ V heißt Blatt (bzw. Blattknoten), falls es kein u ∈ V mit (v, u) ∈ E gibt; sonst heißt v innerer Knoten. Proposition 3.H Für einen vollen, gewurzelten Binärbaum T seien n T die Anzahl innerer Knoten und m T die Anzahl der Blätter. Dann gilt stets n T = m T − 1. Beweis: (Induktion über den Aufbau der Bäume) • Induktionsanfang: Ist T = ({r}, ∅, r), so gilt n T = 0 und m T = 1. • Induktionsschritt: Es sei T = f(T 1 , T 2 ) für geeignete Bäume T 1 = (V 1 , E 1 , r 1 ) und T 2 = (V 2 , E 2 , r 2 ). Dann gilt insbesondere, dass die Blätter bzw. inneren Knoten von Skriptum zum Brückenkurs <strong>Mathematik</strong>
3.3. Strukturelle Induktion 29 T 1 und T 2 auch Blätter bzw. innere Knoten von T sind, da in T nur die Paare (r, r 1 ) und (r, r 2 ) hinzukommen. Mithin gilt: n T = n T1 + n T2 + 1 (r ist ein innerer Knoten von T ) = (m T1 − 1) + (m T2 − 1) + 1 (nach Induktionsvoraussetzung) = (m T1 + m T2 ) − 1 = m T − 1 Damit ist die Proposition bewiesen. Version v4.4 Fassung vom 12. April 2013
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