Mathematik 1 (Studiengang Produktionstechnik) ¨Ubungsblatt 3

Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Wintersemester 2013/14
Fakultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. B. Jung
Mathematik 1 (Studiengang Produktionstechnik)
Übungsblatt 3
Hinweis:
Die mit dem Zusatz (R) gekennzeichneten Aufgaben bzw. Teilaufgaben werden im Repetitorium besprochen.
Aufgabe 1:
a) Wandeln Sie die folgenden komplexen Zahlen in die Exponentialform um: z 1 = 3+3 √ 3 j, z 2 = 3−3 √ 3 j,
z 3 = −12 + 5j , z 4 = 15 − 13j .
b) Die folgenden Zahlen sind in die arithmetische Form zu überführen: z 1 = 3e −(2/3)πj , z 2 = 1 4 e(5/6)πj ,
z 3 = 3.5e j 40◦ .
Aufgabe 2:
Gegeben sind die komplexen Zahlen: z 1 = 3 2 e−(π/4)j , z 2 = 6 e (π/2)j und z 3 = 4 e −(2π/3)j .
a) Berechnen Sie: z 1 · z 2 , z1
z 2
, z 1 · z 3 sowie z1
z 3
.
b) Berechnen Sie: z 1 + z 2 sowie z 1 − z 2 .
c)(R) Berechnen Sie: z 3 + z 2 , z 3 − z 2 , z3
z 2
sowie z 3 · z 2 .
Aufgabe 3(R):
Die vier komplexen Widerstände Z 1 = 50 · e j 15◦ Ω , Z 2 = 50 · e j 30◦ Ω , Z 3 = 50 · e j 45◦ Ω
und Z 4 = 50 · e j 60◦ Ω sind in Reihe geschaltet. Berechnen Sie den komplexen Wert Z ges des Gesamtwiderstandes.
(Hinweis: Es gilt Z ges = Z 1 + Z 2 + Z 3 + Z 4 .)
Aufgabe 4:
Normieren Sie die folgenden Vektoren:
⎛ ⎞
2
⎛
a) ⃗a = ⎝ 1 ⎠ b) ⃗ b = 3⃗e x − 4⃗e y + 8⃗e z c) ⃗c = ⎝
4
Aufgabe 5:
Begründen Sie, dass die drei Vektoren
⎛ ⎞ ⎛
2
11
⃗a = ⎝ −14 ⎠ , ⃗ b = ⎝ −2
5
−10
die Kanten eines Würfels sind.
⎞
⎛
⎠ , ⃗c = ⎝
−10
−5
−10
⎞
⎠
−1
1
−1
⎞
⎠
Aufgabe 6:
Ein Massepunkt wird durch die Kraft F ⃗ = ⎝
⎛
10
−4
−2
Punkt P 2 = (4, 2, −1) m verschoben. Welche Arbeit leistet die Kraft?
⎞
⎠N geradlinig vom Punkt P 1 = (1, 20, 3) m in den
1
weiter siehe S. 2

Aufgabe 7:
a) Berechnen Sie die orthogonale Projektion des Vektors ⃗ b = ⎝
b) Berechnen Sie die orthogonale Projektion des Vektors ⃗c = ⎝
Aufgabe 8(R):
⎛
Stellen Sie den Vektor ⃗v 1 = ⎝
10
7
20
⎞
einer in Richtung des Vektors ⃗v 2 = ⎝
⎛
⎛
5
1
3
⎞
⎛
⎠ auf den Vektor ⃗a = ⎝
−2
5
0
⎞
⎠ auf den Vektor d ⃗ = ⎝
2
−2
1
⎛
⎞
−8
3
4
⎠ als Summe zweier zueinander orthogonaler Vektoren dar, von denen
⎛
3
− 7 2
−6
⎞
⎠ verläuft.
Aufgabe 9(R):
An einem Massepunkt greifen gleichzeitig die drei folgenden Kräfte an:
⎛ ⎞
5
⎛ ⎞
−2
⎛ ⎞
11
⃗F 1 = ⎝ −2 ⎠ N, F2 ⃗ = ⎝ 1 ⎠ N, F3 ⃗ = ⎝ −4 ⎠ N .
1
4
11
a) Berechnen Sie den Betrag der resultierenden Kraft ⃗ F R .
b) Zeigen Sie, dass die drei Einzelkräfte in einer gemeinsamen Ebene liegen.
⎠.
⎞
⎠ .
2