Mathematische Methoden der Physik - Aufgaben zur Selbstkontrolle

Vorkurs Physik WS 2012/213
Prof. J. Splettstößer
Dr. F. Haupt
Institut für Theorie der Statistischen Physik
Mathematische Methoden der Physik - Aufgaben zur Selbstkontrolle
DerVorkurs”MathematischeMethodenderPhysik”istalsBrückenkursfürStudiananfänger(innen)
gedacht, die Schulkenntnisse auffrischen wollen und sich somit den Start ins Physikstudium erleichtern
möchten. Diese Aufgabenblatt spiegelt einige Grundkenntnisse wieder, die Sie ins
Physikstudium mitbringen müssen. Falls Sie diese Aufgaben zügig und ohne Hilfsmittel lösen
können, sind Sie im Vorkurs vermutlich unterfordert.
Bedenken Sie aber, dass im Vorkurs auch einige interessante physikalische Anwendungen vorkommen
werden und wenige Erweiterungen zur Schulmathematik erwähnt werden.
Aufgabe 1: Funktionen
(i) Zeichnen Sie folgende Funktionen in ein gemeinsames Diagramm :
a.) f(x) = 3−ax, für a = 1 und a = −1 b.) f(x) = (x+1) 3 c.) f(x) = 2
x 2
(ii) Zeichnen Sie folgende Funktionen in ein gemeinsames Diagramm :
a.) f(x) = cos(x) b.) f(x) = tan(x)
c.) f(x) = sin 2 (x)
Wählen Sie für den Definitionsbereich −π ≤ x ≤ π. Warum ist das ausreichend um die
Eigenschaften dieser Funktionen wiederzugeben?
(iii) Zeichnen Sie folgende Funktionen in ein gemeinsames Diagramm :
a.) f(x) = e x b.) f(x) = ln(x)
c.) f(x) = e −x
(iv) Bestimmen Sie - auf den Intervallen auf denen das möglich ist - die Umkehrfunktionen der
in (i) bis (iii) angegebenen Funktionen.
Aufgabe 2: Differentialrechnung
Leiten Sie folgende Funktionen nach x ab :
a.) f(x) = sin 2 (ax) b.) f(x) =
Aufgabe 3: Grenzwerte
1
√
a 2 +bx 2 c.) f(x) = |x| d.) f(x) = ln(ax)
(i) Bestimmen Sie die Grenzwerte der folgenden Funktionen für x → ±∞
a.) f(x) = (3+6 x )3 −x
b.) f(x) = (3+x)3
(3−x) 3

(ii) Welche dieser Folgen ist eine Nullfolge?
a.)
1 √n b.)
2n+1
3n+4
c.) sin(n) d.) sin( 1 n )
(iii) An welchen Stellen sind diese Funktionen nicht definiert? Untersuchen Sie das Verhalten
an den Funktionslücken.
a.) f(x) = x2 −2x+1
x−1
b.) f(x) = √ x−1
√ x−1
Aufgabe 4: Kurvendiskussion
Führen Sie eine Kurvendiskussion der Funktion f(x) = xe −x durch.
Aufgabe 5: Integralrechnung
Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale
a.)
d.)
∫
∫ (x 2 +(bx) 4 )dx b.)
(
a
− b )dx e.)
x x 2
Aufgabe 6: Gleichungssysteme
∫ ∫
∫ cos(ax)dx c.)
∫ √ sin 2 (x)dx
ae −bx dx f.) ax dx
(i) Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme nach x, y, und z (wenn möglich).
3x+7y −z = 14
2x+y +3z = 12
a.)
x−y +z = 2 b.)
x+2y +z = 8
∣ −2x+5y −3z = −1 ∣ y −z = −1
c.)
∣
x+y +z = 2(a+b)
−x+2y = 2b
−2y +z = 2a−b
d.)
∣
4x+2y −2z = 4
x+3y = 2
2x+y −z = 2
(ii) Bestimmen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit für ein Auto, das eine Stunde lang mit
einer Geschwindigkeit von 50 km/h und anschließend eine Stunde lang mit einer Geschwindigkeit
von 100 km/h fährt. Vergleichen Sie das mit einem Auto, das 100km mit 50 km/h
und anschließend 100km mit 100 km/h fährt.
Aufgabe 7: Vektorrechnung
Gegeben seien die Punkte
( )
4
A =
6
(
1
B =
2
)
(
3
C =
3
)
in der Ebene.
(i) Ergänzen Sie die Punkte zu einem Parallelogramm ABCD.
(ii) Geben Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms an.
(iii) Bestimmen Sie die Gerade g auf der die Winkelhalbierende des Winkels β = ∠(ABC)
liegt.

Aufgabe 8: Geometrie
(i) Geben Sie die Formel für den Umfang und die Fläche eines Kreises sowie für das Volumen
und die Oberfläche einer Kugel an. Beide sollen jeweils den Radius r haben.
(ii) Sie stehen am Strand mit den Füßen im Wasser und sehen auf das Meer hinaus. Wie weit
können Sie das Meer sehen?
Aufgabe 9: Statistik
(i) Voneiner Binomialverteilung sindderMittelwert µ = 36unddieStandardabweichung σ = 3
bekannt. Gegen Sie die Einzelwahrscheinlichkeit p und die Anzahl der Versuche n an.
(ii) Welche der folgenden Binomialverteilungen hat die größte Streuung um den Erwartungswert?
a.) n = 100; p = 1 6
b.) n = 50; p = 1 2
c.) n = 80; p = 0.2
(iii) Berechnen Sie die relative Häufigkeit dafür bei 50 Würfen mit einer Münze 25 mal Zahl
zu erhalten.