¨Ubungen zur Vorlesung “Relativistische Quantentheorie” – SS09

Übungen zur Vorlesung “Relativistische Quantentheorie” – SS09
Prof. M. Beneke / Dr. T. Huber
Blatt 3 – 27. April 2009
Abgabetermin: Mi, 13. Mai 2009, in der Vorlesung
Aufgabe 5
Für die Berechnung der Übergangsrate des Zerfalls A → B + γ eines angeregten Zustandes
des Wasserstoffatoms benötigt man das Matrixelement
M A→B+γ( ⃗ k,α)
≡ 〈B|e −i⃗ k· ⃗X ⃗ P ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k) ∗ |A〉
In der Vorlesung wurde dieses Matrixelement in der elektrischen Dipolnäherung e −i⃗ k· ⃗X ≈ 1
ausgewertet.
(Elektrischer Quadrupol und magnetischer Dipoloperator) Zeigen Sie, dass sich die Beiträge
der Ordnung ⃗ k · ⃗X aus der Entwicklung der Exponentialfunktion durch die Matrixelemente
des elektrischen Quadrupoloperators Q,
mω AB
k i ǫ (α)
j
(
2
⃗ k) ∗ 〈B|Q ij |A〉 mit Q ij = X i X j − 1 3 δ ijX ⃗ 2 (1)
(ω AB = E B−E A
) und des magnetischen Dipoloperators
− i 2 ǫ ijk k i ǫ (α)
j
( ⃗ k) ∗ 〈B|L k |A〉 (2)
ausdrücken lassen, wobei ⃗ L = ⃗ X× ⃗ P der Bahndrehimpulsoperator ist. Zeigen Sie dann, dass die
Berücksichtigung der Spin-Wechselwirkung H Spin = e m ⃗ S · ⃗B( ⃗ X) in der Näherung e −i⃗ k· ⃗X ≈ 1
dazu führt, dass im magnetischen Dipoloperator der Bahndrehimpuls durch L k + 2S k ersetzt
wird.
Geben Sie die Formel für die Übergangsrate R A→B+γ( ⃗ k,α)
für Zerfälle an, bei denen der
erste nicht verschwindende Beitrag durch den elektrischen Quadrupoloperator (E2-Zerfälle)
bzw. durch den magnetischen Dipoloperator (M1-Zerfälle) gegeben ist. Vergleichen Sie die
Abhängigkeit von ω AB mit der von elektrischen Dipolübergängen.
Aufgabe 6
(Auswahlregeln) Betrachten Sie Übergänge von einem Zustand |A〉 = |nlmm s 〉 in den Zustand
|B〉 = |n ′ l ′ m ′ m ′ s 〉. Für welche Werte von ∆l, ∆m und ∆m s gibt es nichtverschwindende
Beiträge des elektrischen Dipoloperators, des elektrischen Quadrupoloperators und des magnetischen
Dipoloperators? (Zur Definition, siehe Aufgabe 5, (1), (2))
Drücken Sie dazu X i bzw. Q ij durch Kugelflächenfunktionen aus. Verwenden Sie die Relation
Y l1 m 1
(⃗n)Y l2 m 2
(⃗n) =
l∑
1 +l 2
l∑
l=|l 1 −l 2 | m=−l
√
(2l 1 + 1)(2l 2 + 1)
C l0;l1 0l
4π(2l + 1) 2 0 C lm;l1 m 1 l 2 m 2
Y lm (⃗n),
wobei die C lm;l1 m 1 l 2 m 2
die Clebsch-Gordan Koeffizienten sind. Verwenden Sie die Eigenschaften
der Clebsch-Gordan Koeffizienten, um herauszufinden, welche Terme der Summe
tatsächlich verschieden von Null sind.

Aufgabe 7
Untersuchen Sie die Lebensdauer des 2s-Zustands des Wasserstoff-Atoms. Das Wasserstoff-
Atom soll in der üblichen Weise nicht-relativistisch behandelt werden. Die entsprechende
Rechnung wurde erstmals von Breit und Teller durchgeführt und ist in Astrophys. J. 91
(1940) 215 publiziert.
a) Warum existiert der Zerfall 2s → 1s + γ in keiner Ordnung der Multipolentwicklung?
Zeigen Sie, dass auch der Wechselwirkungsoperator H Spin = e m ⃗ S · ⃗B( ⃗ X) keinen Beitrag
liefert.
[Anmerkung: Wenn das Wasserstoff-Atom relativistisch behandelt wird, gibt es eine
kleine Korrektur, welche diesen Zerfall doch erlaubt. Die Übergangswahrscheinlichkeit
ist aber so klein, dass sie in der Praxis keine Rolle spielt – siehe z.B. Landau/Lifshitz
Bd. IV.]
b) Der Zerfall findet also durch die spontane Emission von zwei Photonen statt. Die Übergangsrate
ist durch
R 2s→1s+γγ = 1 2
∑
∫ d 3⃗ k1 ∑
∫ d 3⃗ k2 2π
(2π) 3 (2π) 3 |T |2 δ(E 2s − E 1s − ω k1 − ω k2 )
α 1 α 2
gegeben. Skizzieren Sie, wie diese Formel abgeleitet wird. Geben Sie das Übergangsmatrixelement
T in zweiter Ordnung in e an. Stellen Sie das Ergebnis graphisch dar.
(Folgen Sie so nah wie möglich der Behandlung der Streuung von Licht an Atomen.)
Aufgabe E3 (Bonus)
Führen Sie die Berechnung des T-Matrixelements und der Übergangsrate aus Aufgabe 7 zu
Ende.
a) Bringen Sie den Ausdruck für die Übergangsrate auf die Form
∫ ∣
R 2s→1s+γγ = 4α2 ω12 ∣∣∣∣ ∑
(
ω1n ω 2n
27πc 4 dω k1 ω k1 ω k2 R n + ω ) ∣ 2
1nω 2n ∣∣∣
ω 2n + ω k1 ω 2n + ω k2
0
n
ω k2 =ω 12 −ω k1
Hier ist α = e 2 /(4πǫ 0 c) die Feinstukturkonstante, ω AB = (E B − E A )/. Die R n
sind durch Matrixelemente von | X| ⃗ im Radialanteil der Wellenfunktionen ψ nlm (⃗x) =
χ nl (r)Y lm (⃗n) des Wasserstoffatoms gegeben:
(∫ ∞
)(∫ ∞
)
R n ≡ dr r 3 χ 10 (r)χ n1 (r) dr r 3 χ n1 (r)χ 20 (r)
Anleitung:
0
i) Verwenden Sie die Dipolnäherung e −i⃗ k i ⃗X ≈ 1.
ii) Zeigen Sie unter Verwendung der Auswahlregeln, dass nur p-Zustände |n1mm s 〉 in
der Summe über die Zwischenzustände beitragen können.
0

iii) Führen Sie die Summe über die Polarisationen und die Integrationen über die
Emissionswinkel der Photonen aus.
iv) Führen Sie in den Matrixelementen die Integration über den winkelabhängigen Teil
der Wasserstoff-Wellenfunktionen aus.
v) Integrieren Sie über | ⃗ k 2 | = ω k2 /c
b) Welche Lebensdauer des 2s-Niveaus ergibt sich unter der (falschen!) Annahme, daß
nur der 3p-Zustand zu der Summe über die Zwischenzustände beiträgt? Das korrekte
Resultat lautet übrigens τ 2s = 0.122s.