3 REM-KL Untersuchungen an Halbleitern

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REM-KL Untersuchungen an Halbleitern 25 8π⋅α hν hν hν b g b g⋅n b gb ⋅ g = 3 2 h c e h ν/ ⋅ ⋅d i kT −1 Qhν 2 2 (3.6) in Zusammenhang mit dem spektralen Absorptionskoeffizienten α(hν) und dem Brechungsindex n(hν), so dass das Band-Band-Emissionsspektrum i.a. berechnet werden kann [roo54]. Zur bandkantennahen Lumineszenz tragen in dotierten Halbleitern auch flache Störstellen und vor allem der Zerfall von freien oder gebundenen Exzitonen bei. Die strahlende Donator-Akzeptor-Paarrekombination sowie Übergänge unter Beteiligung von an tiefen Zentren gebundenen Exzitonen führen häufig zu Lumineszenzbanden mit spezifischer Linienform in etwas größeren Abständen unterhalb der Gapenergie (E g ). Aufgrund der starken Lokalisierung tritt hier eine merkliche Elektron-Phonon-Kopplung auf. Diese bedingt eine vom Ladungszustand abhängige geometrische Störstellenkonfiguration, die bei elektronischen Übergängen unter Phononenaussendung relaxiert. Mit Hilfe des Konfigurationskoordinatenmodells und des Franck-Condon-Prinzips wird für tiefe Störstellenübergänge ein phononenassistiertes Emissionsspektrum mit einer Nullphononenlinie bei E 0 und Phononenreplika bei E0 − k ⋅ Ω unter Erzeugung von k Phononen erhalten [kre86]: b g Qhν ~ ∞ ∑ e −S k S 1 ⋅ ⋅ k! 1 + hν − E + k⋅Ω / Γ k = 0 0 b g 2 2 (3.7) Die Amplitudenfolge entspricht dabei einer Poissonverteilung, wobei die einzelnen Satellitenlinien als lorentzverbreitert mit der Verbreiterungsenergie Γ angenommen werden. Für den Huang-Rhys-Faktor S (Erwartungswert der Verteilung, d.h. mittlere Zahl der emittierten Phononen) gilt vereinfacht im Wasserstoffmodell: S = 2 L NM 1 e 1 1 ⋅ ⋅ − 2π ⋅ Ω 4πε r ε ε 0 ∞ r O QP (3.8) Hier sind ε ∞ die optische Dielektrizitätskonstante und r der Coulomb-Bindungsradius des Elektrons bzw. Lochs an der Störstelle. Nichtstrahlende Übergänge sind in vielen Halbleitern bei Raumtemperatur häufig dominierende und lebensdauerbegrenzende Rekombinationsmechanismen. Zur Beschreibung dient meist das Shockley-Read-Hall-Modell (SRH). Hier wird die Rekombination über ein diskretes Niveau in der verbotenen Zone beschrieben. Dies kann durch tiefe Störstellen und Punktdefekte entstehen. Das Modell dient jedoch auch zur Beschreibung der Rekombination an Versetzungen sowie Ober- bzw. Grenzflächen [sho52, hal52]. Trapzentren E C C e N,E T T R e Rekombinationszentren E QF C h R h Trapzentren E dem E V Abb. 3.3 Schema der Shockley-Read-Hall-Rekombination.
REM-KL Untersuchungen an Halbleitern 26 Das SRH-Modell geht von den vier Elementarprozessen aus, die zur Änderung eines vorhandenen energetischen Zustandes in der Energielücke beitragen. Diese sind der Einfang von Elektronen bzw. Löchern in das tiefe Zentrum mit der Konzentration N T bei der Energie E T sowie deren Reemission zurück ins Leitungs- bzw. Valenzband (Abb. 3.3). Es gelten b g b g, (3.9) C = N σνn 1− f R = N e f C = N σνpf R = N e 1−f e T e e e T e h T h h h T h wobei σ e,h die Einfangquerschnitte sowie ν eh , = ( 3kT / m eh , ) die thermischen Geschwindigkeiten von Elektronen und Löchern der effektiven Massen m e, h * sind. f ist der Besetzungsfaktor des tiefen Niveaus im dynamischen Gleichgewicht der vier Teilprozesse. Im thermischen Gleichgewicht gilt: C e0 =R e0 bzw. C h0 =R h0 . Aus der Besetzung f wird die Fermiverteilung f 0 und es gilt für die Emissionskoeffizienten: e e = σeνen1, eh = σhνhp1 mit n1, p1 = n, p (E F = ET). Für die Nettorekombinationsrate folgt im Fall eines kleinen N T : * R = C − R = C − R = nr e e h h τ np − ni τe = 1 0 τh = 1 0 (p + p ) + τ (n + n ) , N σν , N σ ν (3.10) e0 1 h0 1 2 T e e T h h und die nichtstrahlende Lebensdauer τ nr ∆p τh0(n 0 + n1 + ∆p) + τe0(p0 + p1 + ∆p) = = . (3.11) R n + p + ∆p nr 0 0 Zustände zwischen dem Quasi-Ferminiveau E QF der Majoritäten und dem an der Gapmitte gespiegelten Quasi-Ferminiveau, der sog. Demarkationsenergie E dem =E V +E C -E QF wirken als effektive Rekombinationszentren, während Zustände außerhalb dieses Bereichs nur mit dem benachbarten Band wechselwirken und daher bevorzugt Haftzentren oder Traps für eine Trägerart darstellen (Abb. 3.3). Die Gesamtheit strahlender und nichtstrahlender Rekombinationsprozesse bestimmt die Gesamtrekombinationsrate R=R r +R nr =∆p/τ bzw. die Gesamtlebensdauer τ (Addition der Teilprozesse gemäss τ -1 -1 =Σ i τ i ) und die interne Quantenausbeute η des Halbleiters: 1 1 1 R r 1 τ = + , η = = = . (3.12) τ τ τ R + R 1 + τ / τ τ r nr r nr r nr r Diffusionskoeffizient und Lebensdauer der Minoritätsträger lassen sich zur Minoritätsträger- Diffusionslänge L = Dτ zusammenfassen. 3.2.1.4 Die Kontinuitätsgleichungen Das Gleichgewicht der vorangegangen behandelten Prozesse von Ladungsträgergeneration, -transport und -rekombination lässt sich durch die Kontinuitätsgleichungen beschreiben: ∂n ∂ = 1 ∇⋅ j e t e + g − R (3.13a) ∂p 1 =− ∇⋅ j h + g −R (3.13b) ∂ t e Die partiellen Differentialgleichungen (3.4), (3.5) und (3.13) bilden das allgemeine Grundgleichungssystem der inneren Elektronik eines Halbleiters.
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