Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf die 1. Klausur

Übungsblatt zur Vorbereitung auf die 1. Klausur zur Theoretischen Physik
II (Elektrodynamik)
Aufgabe 1: Metallkugel
Gegeben sei eine geerdete leitende Kugel mit Radius a. Das Zentrum der Kugel wird in den
Ursprung des Koordinatensystems gesetzt.
1. Wenn eine Punktladung q an die Stelle ⃗r = (x ′ , 0, 0) gesetzt wird (mit x ′ > a), welche
Ladung wird auf die Kugel induziert? Benützen Sie dazu eine Spiegelladung an (a 2 /x ′ , 0, 0)
und beweisen Sie, dass mit der richtigen Spiegelladung die Randbedingungen erfüllt sind.
2. Wie lautet die Greensche Funktion für Ladungsverteilungen außerhalb der Kugel?
Jetzt wird die Erdung der Kugel aufgehoben (d.h. die Kugel wird isoliert), und es wird eine
Ladung auf die Kugel gebracht, so dass deren Gesamtladung Q wird.
3. Eine Punktladung q werde an die Stelle ⃗r = (x ′ , 0, 0) gebracht (mit x ′ > a). Zeigen Sie,
dass die Coulomb-Kraft, die auf die Punktladung q wirkt, gleich
[ ]
x ′ Q + aq aqx
f = q −
(27)
(x ′ ) 3 ((x ′ ) 2 − a 2 ) 2
ist. Hinweis: Trennen Sie die Gesamtladung Q in einem induzierten Teil ˜q und den Rest
Q − ˜q und betrachten Sie diese beiden Ladungen als Punktladungen.
4. Zeigen Sie, dass, wenn die Ladung nur nahe genug an die Kugel gebracht wird, die Kraft
immer anziehend ( f < 0) wirkt, unabhängig davon, ob die Ladung Q das gleiche Vorzeichen
wie q hat oder nicht. Deuten Sie dieses Ergebnis in Worten. Hinweis: Schreiben Sie
dazu x ′ = a(1 + ɛ) mit ɛ ≪ 1.
Aufgabe 2: Magnetisierter Stab
Es sei ein Magnetstab entlang der z-Achse mit Länge l, Radius a und Magnetisierung ⃗M = M ⃗e z
vorgegeben. Außerhalb des Stabes ist ⃗M = 0.
1. Geben Sie die Magnetisierungs-Stromdichte ⃗j m an.
2. Wenden Sie die Gleichung
⃗A(⃗r) = 1 c
∫
V
⃗j m (⃗r ′ )
|⃗r − ⃗r ′ | d3 r ′ (28)
an, um das Fernfeld von ⃗A(⃗r) und ⃗B(⃗r) zu bestimmen. Sie dürfen ohne Beweis davon ausgehen,
dass der Monopolterm verschwindet. Hinweis: Man kann die folgende Identitäten
benutzen: ∫ (x k j l + x l j k )d 3 x = 0 und ɛ klm ɛ ki j = δ l i δm j
− δ l j δm i .

Aufgabe 3: Dielektrischer Zylinder im externen ⃗E Feld
Vorgegeben sei ein unendlich langer, dielektrischer Zylinder mit Radius a entlang der z-Achse
mit Dielektrizitätskonstante ɛ. Außerhalb des Zylinders sei Vakuum. Ein externes konstantes
Feld ⃗E 0 sei vorgegeben:
⃗E 0 = E 0 ⃗e y (29)
also senkrecht zum Zylinder.
1. Begründen Sie, warum man trotz der Anwesenheit des dielektrischen Mediums
schreiben kann.
⃗E(⃗r) = −∇Φ(⃗r) (30)
Gehen Sie jetzt zu Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) über. Hier zeigt ϕ = 0 in die y-Richtung.
2. Unter welcher Bedingung sind
Lösungen der Laplace-Gleichung ∇ 2 φ = 0?
cos(kϕ) r n , sin(kϕ) r n , z m (31)
3. Bilden Sie eine allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung aus der Summe dieser Funktionen.
4. Stellen Sie die Randbedingungen für φ(r, ϕ, z) auf.
5. Wie lautet das Potenzial φ(r, ϕ, z) sowohl innerhalb als auch außerhalb des Zylinders? Hinweis:
Wegen Symmetrie fallen die Terme mit sin(kϕ) weg.