10 - Institut für Theoretische Astrophysik

Aufbau und Entstehung unseres
Sonnensystems
VII. Aufbau und Entwicklung von Akkretionsscheiben
H.-P. Gail und W. M. Tscharnuter
Institut für Theoretische Astrophysik, Heidelberg
WS 2007/08

7. Entwicklung der Akkretionsscheibe
Modelle für Akkretionsscheiben wurden in verschiedenen Approximationen
berechnet:
• Einzonenmodelle
– Stationäre Modelle. Gut für das Studium der inneren Bereiche der Akkretionsscheibe. Sehr detaillierte
Physik kann berücksichtigt werden
– Zeitabhängige Modelle. Gut für die Entwicklung der ganzen Akkretionsscheibe über einen Zeitraum
von mehreren Millionen Jahren. Sehr detaillierte Physik kann berücksichtigt werden
• 1+1-dim Modelle
– Stationäre Modelle. Gut für das Studium der inneren Bereiche der Akkretionsscheibe. Sehr detaillierte
Physik kann berücksichtigt werden. Spektren können berechnet werden und mit der
Beobachtung verglichen werden. Aber der Rechenaufwand ist sehr viel höher als bei Einzonenmodellen
– Zeitabhängige Modelle. Gut für die Entwicklung der ganzen Akkretionsscheibe über einen Zeitraum
von mehreren Millionen Jahren. Sehr detaillierte Physik kann berücksichtigt werden. Die
Details der Materieströmungen können aber nicht ermittelt werden. Der Rechenaufwand ist sehr
hoch
page: 7.1

Entwicklung der Akkretionsscheibe
• 2D-Modelle. Wegen des enormen Rechenzeitaufwands können nur kurze Zeitabschnitte
und nur relativ begrenzte radiale Bereiche modelliert werden. Außer der
Hydrodynamik können bisher nur wenige Details der Physik berücksichtigt werden.
Man erhält detaillierte Informationen über die Strömungsverhältnisse (Durchmischung!)
• 3D-Modelle. Rechenaufwand noch einmal höher. Das ist bisher nur zur Modellierung
sehr enger Spezialfragen verwendet worden
page: 7.2

7.1 Einzonenmodelle
Modell der Akkretionsscheibe mit der Annahme von α-Viskosität um einen Protostern
mit M = 1 M⊙. Die Opazität wird durch ein Gemisch aus interstellarem Staub und
dem Staub, der durch chemische und mineralogische Prozesse in der warmen Zone mit
T > 1000 K innerhalb von 1 AE gebildet wird und durch radiale Transportprozesse nach
außen gemischt wird, bestimmt.
Es werden drei verschiedene Massenakkretionsraten betrachtet:
• M ˙ = 10 −6 M⊙ a −1 . Das entspricht einer sehr frühen Phase der Entwicklung nach ca.
100 000 Jahren
• M ˙ = 10 −7 M⊙ a −1 . Das entspricht der mutmaßlichen Phase der Bildung der ersten
Protoplaneten um ca. 1 000 000 Jahre herum
• M ˙ = 10 −8 M⊙ a −1 . Das entspricht einer späten Entwicklungsphase nach mehrern Millionen
Jahren. Die großen Gasplaneten sind schon entstanden, die Planetenbildung
ist voll im Gang
page: 7.3

Entwicklung der Akkretionsraten
Figure 7.1: Empirisch bestimmte Akkretionsraten aus der UV-Emission der Grenzschicht
zum Stern für Objekte in einigen nahen Sternentstehungsgebieten mit unterschiedlichem
Alter
page: 7.4

1. Keplersche Winkelgeschwindigkeit
der Scheibenrotation:
√ √√√
GM∗
Ω = . (1)
s 3
M∗ ist die Masse des Protosterns
(zeitlich konstant angenommen).
2. Effektivtemperatur der Scheibenoberfläche:
⎛
T eff 4 = 3GM √ ⎞ √√√
∗Ṁ ⎜ R∗
⎝1 −
⎟ ⎠ . (2)
σSB 8πs 3 s
σSB ist die Stefan-Boltzmann Konstante,
Ṁ ist die (konstante) Akkretionsrate.
Ein Beitrag der Beleuchtung
durch den Protostern
ist hier vernachlässigt.
3. Isotherme Schallgeschwindigkeit:
c0 = kT c
. (3)
µmH
Tc ist die Temperatur in der Mittelebene,
µ das mittlere Molekulargewicht.
Gleichungen
4. Äquivalenthöhe der Scheibe:
h =
√
π
2
c0
Ω . (4)
5. Die Viskosität in der α-
approximation:
ν = αhc0 . (5)
α ist der Viskositätsparameter
6. Die Gleichung für die Erhaltung
des Drehimpulses:
νΣ = Ṁ
3π
⎛
√ √√√
⎜ R∗
⎝1 −
s
⎞
⎟ ⎠ . (6)
Diese Gleichung definiert die
Flächendichte Σ der Scheibe.
7. Massendichte in der Mittelebene:
ρc = 1 Σ
2 h . (7)
8. Vertikale optische Tiefe bis zur
Scheibenmitte:
τc = 1 2 Σ κ R(ρc, Tc) . (8)
κR(ρc, Tc) ist das Rosseland-Mittel
des Massenextinktionskoeffizienten.
9. Temperatur in der Mittelebene:
T 4 c = T 4 mol + 1 2 T 4 eff
[
1 + 3 2 τ c
]
. (9)
Tmol ist die Temperatur der Molekülwolke.
10. Massenerhaltung:
Ṁ = 2πrΣvs . (10)
vs ist die Geschwindigkeit der Einwärtsbewegung.
11. Der Druck in der Mittelebene
(Zustandsgleichung):
Pc = c 2 0ρc . (11)
12. Die beiden Materialgleichungen:
µ = µ(ρ, T ) (12)
κR = κR(ρ, T ) , (13)
Diese müssen aus der chemischen
Zusammensezung der Gasphase
und den Extinktionseigenschaften
von Staub und Gas bestimmt werden.
page: 7.5

Parameter
Das Modell hängt von fünf Parametern ab:
• Akkretionsrate M ˙
• Viskositätsparameter α.
• Sternmasse M∗.
• Sternradius R∗. Das geht aber nur nahe beim Stern ein.
• Temperatur Tmol der umgebenden Molekülwolke. Das ist nur bei großen Abständen
wichtig.
Materialfunktionen:
• Mittleres Molekulagewicht µ = 7/3 wenn aller Wasserstoff in H2
• Die Berechnung der Opazität erfordert die detaillierte Berechnung der Beiträge aller
vorkommenden Staubsorten und ihrer Anteile an der Staubmischung
page: 7.6

Opazitäten des Staubmaterials
10 2
Kohlenstoff
10 1
am. Silikate
10 0
krist. Silikate Eisen
10 -1
κΡ [cm2 g -1 ]
10 -2
Korund
10 -3 10 100 1000
T [K]
Figure 7.2: Rosselandmittel der Opazität für die wichtigsten Staubmaterialien
page: 7.7

Stationäres Einzonenmodell
10 5
10 4
10 3
10 -6
10 -7
Σ [g cm -2 ]
10 -8
10 2 0.1 1 10 100
r [AE]
Figure 7.3: Variation der Flächendichte Σ mit dem Radius für drei verschiedene Massenakkretionsraten
page: 7.8

Stationäres Einzonenmodell
1000
100
Tc [K]
10 -8 10 -7 10 -6
10
0.1 1 10 100
r [AE]
Figure 7.4: Variation der Temperatur Tc in der Mittelebene der Scheibe mit dem Radius
für drei verschiedene Massenakkretionsraten
page: 7.9

Stationäres Einzonenmodell
10 4
10 3
10 2
τc
10 -8
10 -7
10 -6
10 1
10 0 0.1 1 10 100
r [AE]
Figure 7.5: Variation der vertikalen optischen Tiefe τc von der Scheibenoberfläche bis
zur Mittelebene mit dem Radius für drei verschiedene Massenakkretionsraten
page: 7.10

Stationäres Einzonenmodell
1
10 -6
0.1
10 -7
h/r
10 -8
0.01
0.1 1 10 100
r [AE]
Figure 7.6: Variation der vertikalen Ausdehnung h der Scheibe mit dem Radius für drei
verschiedene Massenakkretionsraten. Die Scheiben sind flach
page: 7.11

Stationäres Einzonenmodell
10 -6
10 -7
10 -8
10 3
10 2
10 1
10 0
0.1 1 10 100
r [AE]
vr [cm s-1 ]
Figure 7.7: Variation des Betrags der Akkretionsgeschwindigkeit vr mit dem Radius für
drei verschiedene Massenakkretionsraten.
page: 7.12

Physikalischer Zustand der Scheibe
T < 500 500 < T < 3000 T > 3000
500 < T < 3000 T < 500
.
.
.
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.
.
❵❵ ❵ .
.
.
.
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❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵
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✥ .
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7 ✥ .
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❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵
.
.
kalt warm heiß heiß warm
kalt
.
.
.
.
kein chemisches
Gleichgewicht
Gleichgewichts-
Chemie
keine Moleküle
Ionen
Gleichgewichts-
Chemie
kein chemisches
Gleichgewicht
Figure 7.8: Schematische Darstellung der thermischen Struktur einer protoplanetaren
Akkretionsscheibe
page: 7.13

Physikalischer Zustand der Scheibe
• Kalte äußere Zone
– Moleküle, Staub, Eis
– teilweise Ionisation (Kosmische Strahlung, radio-Nuklide)
– kein thermodynamisches und chemisches Gleichgewicht
– amorpher Staub, nicht-Gleichgewichts Zusammensetzung
• Warme Zone im Bereich der terrestrischen Planeten
– Moleküle und Staub (und Eis in der oberen Atmosphäre)
– (nahezu) keine Ionen
– chemisches Gleichgewicht in der Gasphase
– chemisches Gleichgewicht zwischen Festkörpern und Gas
– Kristalliner Mineralstaub (durch Tempern“)
”
• Heiße innere Zone
– keine Moleküle, kein Staub (Staub nur in der äußeren Atmosphäre)
– Ionisation des Scheibenmaterials (thermisch)
– lokales thermodynamisches Gleichgewicht
page: 7.14

7.2 Chemische Prozesse und Transportprozesse
Figure 7.9: Schematische Darstellung der Vorgänge während der Entwicklung der Akkretionsscheibe
page: 7.15

Transportprozesse in der Akkretionsscheibe
Viskose Prozesse in der Scheibe bewirken eine allmähliche Akkretion des Materials auf
den Stern. Der Vorgang ist langsam und läuft in den inneren 10 . . . 20 AE in der Scheibe
quasistationär ab. Die Vorgänge innerhalb dieses Bereichs können auf der Basis einer
Sequenz von stationären Modellen mit unterschiedlichen Akkretionsraten untersucht
werden.
• Akkretion bewirkt eine langsame, systematische Einwärtsbewegung des Materials
bis zum Stern. Das Material wird in zunehmend wärmere Zonen transportiert, in
denen chemische Reaktionen möglich sind
• Überlagert sind großräumige Zirkulationsströmungen, durch die Material auch entgegen
der allgemeinen Einströmung wieder auswärts transportiert werden kann. Dadurch
werden radiale Inhomogenitäten in der Materialzusammensetzung über die
Skalen der Zirkulationsströmungen ausgeglichen
• Solange die Akkretionsraten hoch sind, findet auch eine turbulente Durchmischung
des Materials statt. Insbsondere werden dadurch vertikale Inhomogenitäten ausgeglichen.
Deswegen ist für viele Fragestellungen eine Mittelung über die vertikale
Richtung sinnvoll
page: 7.16

Zusammensetzung des interstellaren Staubs
Der Staub in der Molekülwolke, aus der ein junger Stern und die mit ihm assoziierte
Akkretionsscheibe entstehen, ist ein Gemisch mehrerer Komponenten. Seine genaue
Zusammensetzung und Struktur ist derzeit nicht genau bekannt, aber die beobachteten
Extinktionseigenschaften deuten auf folgende Zusammensetzung hin:
• Eine Komponente aus Silikatstaub, die praktisch alles vorhandene Mg und Si bindet
und einen nicht genau bekannten Teil des Fe. Wegen der etwa gleichen Häufigkeit
von Mg und Si in der kosmischen Elementmischung kann nicht alles Silikat in Form
einer Olivinstruktur vorliegen. Ein Teil muß in einer Pyroxenstruktur vorliegen. Die
Silikate im ISM sind nicht kristallin, sondern liegen in amorpher Form vor
• Eine Komponente aus Kohlenstoffstaub, die ca. 60% des vorhandenen Kohlenstoffs
bindet. Die Struktur des Kohlenstoffstaubs ist nicht bekannt, doch handelt es sich
nicht um um Graphit, sondern um eine amorphe Form. Ein Teil des Kohlenstoffstaubs
(aber nicht alles) scheint ein kohliges Material mit hohem Gehalt an H,C,N,O
zu sein
• Ein nicht näher bekannter Teil des Fe scheint als metallisches Fe und/oder als Troilit
(FeS) vorzuliegen

Chemische Prozesse in der inneren Zone
Bei der Einwärtsdrift gerät das Scheibenmaterial in Gebiete höherer Temperatur. Dann
werden eine Reihe von chemischen und physikalischen Prozessen möglich, die die Materialzusammensetzung
wesentlich verändern:
• Der amorphe Silikatstaub aus dem interstellaren Medium kristallisiert (bei ca 800
. . . 900 K) durch thermisch induzierte innere Umlagerungsprozesse
• Der Kohlenstoffstaub aus dem interstellaren Medium wird bei Reaktionen mit OH-
Radikalen aus der Gasphase (bei ca. 1000 K) durch Oxidation zu CO abgebaut. Als
Zwischenprodukte entstehen große Mengen einfacher Kohlenwasserstoffe
• Der Silikatstaub mit interstellarem Ursprung ist relativ instabil und verdampft bei
ca. 1200 . . . 1300 K (je nach Sorte)
• Es kondensiert neuer Staub mit der chemische Zusammensetzung, die dem chemischen
Gleichgewicht in der kosmischen Elementmischung entspricht, der bis zu
höhere Temperaturen stabil ist
Diese Prozesse bestimmen die Mineralzusammensetzung und damit die Opazität des
Materials der Akkretionsscheibe und die Zusammensetzung der später darin entstehenden
Planeten
page: 7.18

Staubmetamorphose bei der Einwärtsdrift
Tempern
800 ... 950 K
ISM
amorpher Staub
Verdampfung-Kondensation
Verdampfung
ca. 1100 K
ISM
kristalliner Staub
ca. 1400 K
Gleichgewicht
Dampf
kristalliner Staub
intra-Staubkorn inter-Staubkorn chemi-
Transport Transport Sputtering
Figure 7.10: Entwicklung der Mineralkomponenten von amorphen zu kristallinen Strukturen
und zur chemischen Gleichgewichtsmischung

Optische Eigenschaften der Staubteilchen
Der gemittelte Extinktionskoeffizient κR bestimmt die thermische Struktur einer Akkretionsscheibe.
Dieser wird im eisfreien Bereich durch zwei Komponenten dominiert:
• Silikatstaub (Olivin, Pyroxen)
• Kohlenstoffstaub
Durch die Kristallisation des amorphen Silikatstaubs verringert sich das Extinktionsvermögen
des Scheibenmaterials in den warmen, inneren Bereichen der Akkretionsscheibe
um mehr als einen Faktor zehn. Die zweite Hauptkomponente des interstellaren
Staubs, der Kohlenstoffstaub, wird in der warmen Zone bei etwas höheren Temperaturen,
als die, unter denen Kristallisation stattfindet, durch Oxidation zu CO abgebaut.
Dieser Beitrag zur gesamten Extinktion entfällt in den inneren Bereichen komplett.
Wegen der starken Abhängigkeit der Scheibenstruktur und Entwicklung von der thermischen
Struktur, bewirkt die Veränderung der Extinktionseigenschaften durch Kristallisation
der Silikate und Rußoxidation eine starke Veränderung des Aufbaus einer
Akkretionsscheibe. Diese Prozesse müssen bei einer Modellierung berücksichtigt werden.
page: 7.20

Optische Eigenschaften der Staubteilchen
10 1
10 0
(a) Amorphes Olivin
str
abs
C λ C λ
0.1 1 10 100 1000
10 -1
10 -2
10 -3
10 -4
10 -5
Absorptions-, Streueffizenz
λ [µ]
Figure 7.11: Absorptions- und Streueffizienz für Staubteilchen mit 0.1 µm Radius aus
amorphem Olivin. Streuung spielt nur für λ < 1 µm eine Rolle. Im fernen Infraroten
dominiert Absorption durch zwei starke und sehr breite Absorptionsbanden
page: 7.21

Optische Eigenschaften der Staubteilchen
10 1
10 0
(b) Kristallines Olivin
str
C λ
abs
C λ
0.1 1 10 100 1000
10 -1
10 -2
10 -3
10 -4
10 -5
Absorptions-, Streuefficienz
λ [µ]
Figure 7.12: Absorptions- und Streueffizienz für Staubteilchen mit 0.1 µm Radius aus
kristallinem Olivin (Fo90). Dieses Material ist im optischen und nahen infraroten Spektralbereich
völlig durchsichtig, sodaß Streuung stark dominiert. Im fernen Infraroten
dominiert Absorption durch etliche schmale Absorptionsbanden
page: 7.22

Modellierung der Transport und Reaktionsprozesse
Der Transport der einzelnen Spezies durch großräumige Strömungen, turbulente Durchmischung
und chemische Reaktionen wird durch eine partielle Differentialgleichung beschrieben.
Für jede einzelne Spezies (Gas und Staub) hat man eine Gleichung für die
Konzentration der Spezies von der Form:
n ist die gesamte Teilchendichte.
∂ c
∂ t + ⃗v ∂ c
∂ ⃗x = 1 n
∂
∂ ⃗x nD ∂ c
∂ ⃗x + R n
• ⃗v ist das mittlere Strömungfeld (Akkretion, großräumige Zirkulationsströmungen)
• D ist der Diffusionskoeffizient für turbulente Durchmischung
• R ist der Ratenterm für die chemischen und physikalischen Prozesse, welche die
Erzeugung, Zerstörung und die Umwandlung der einzelnen Spezies beschreiben
Praktisch bedeutet das: viele hundert partielle Differentialgleichungen, gekoppelt mit
den Gleichungen für die Scheibenstruktur und Entwicklung!
(14)

Tempern des amorphen Staubs
Anfangsstadium des Temperns
Endzustand des Temperns
kristallisiert
kristallisiert
Wachstumszentrum
Wachstumszentrum
Figure 7.15: Umwandlung des amorphen in kristallines Material durch tempern
(ausglühen, auf englisch: annealing). Die Kristallisation beginnt an einigen Wachstumszentren.
Davon augehend wächst der kristalliserte Bereich in das amorphe Material
hinein. Es entsteht ein polykristallines Teilchen.

Verdampfung und Kondensation
Iro For Ens
Fe SiO Mg
Ol,am Qtz Px,am
Figure 7.17: Massenaustausch von Material zwischen den Staubspezies und der Gasphase.
Diese Prozesse müssen modelliert werden, um die Entwicklung der Mineralmischung
zu berechnen
page: 7.28

Radiale Verteilung der Minerale
1.2
Meteoriten Mutterkörper
Kometen Mutterkörper
quartz (am)
pyroxene (am)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
enstatite (cr)
fsil
pyroxene (cr)
olivine (cr)
olivine (am)
forsterite (cr)
1 10 100
r [AE]
Figure 7.18: Radiale Variation der verschiedenen Spezies von Silikatmineralen. Modell
mit Akkretionsrate M ˙ = 10 −7 M⊙ a −1 page: 7.29

Kohlenstoffverbrennung
CH 4
CH 3
C 2 H 4 C 2 H 3
soot
OH O
HCCO
CH 2
C 2 H 2
CO
H
CH
C 2 H
O
C
Figure 7.19: Reaktionsnetzwerk für die Verbrennung von Kohlenstoff und die Umwandlung
in CO

Kohlenstoffverbrennung
10 1
10 0
H
CO
10 -1
10 -2
CH 4
10 -3
OH
C 2 H 2
ci
10 -4
Oxidationsrate
10 -5
10 -6
O
10 -7 0.1 1 10 100
r [AE]
Figure 7.21: Radiale Variation der Konzentrationen ci der Zwischenprodukte der Kohlenstoffverbrennung,
häuptsächlich CH4 und C2H2, in der Akkretionsscheibe. Durch
Transportprozesse werden sie aus der heißen, inneren Zone bis weit in kalte Zonen
der Akkretionsscheibe gemischt und können dort zusammen mit Wassereis ausfrieren
(Kometen)
page: 7.32

Allgemeine Scheibenstruktur
1000
Tempern
Korundverdampfung
Eisenverdampfung
T [K]
100
Eisverdampfung
10 -8 10 -7 10 -6 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1
P [bar]
Figure 7.22: Variation von Druck und Temperatur in der Mittelebene der Scheibe bei
einer Massenakkretionsrate von 10 −7 M⊙ a −1 . Modell mit (grün) und ohne (rot) Berücksichtigung
von Tempern
page: 7.33

Opaziät des Materials der Akkretionsscheibe
10 1
total (incl. Eis)
10 0
am. Silikat
10 -1
10 -2
Kohlenstoff
κ [cm 2 g -1 ]
Eisen
Korund
kr. Silikat
10 -3
10 -4 0.1 1 10 100
r [AE]
Figure 7.23: Radiale Variation der gesamten Opazität und der Beiträge der einzelnen
Spezies. Modell mit einer Massenakkretionsrate von 10 −7 M⊙ a −1 page: 7.34

7.3 Zeitabhängige Einzonenmodelle
Die Entwicklung der Akkretionsscheibe erfolgt nur in den inneren ca. 10 AE quasistationär.
Um die Entwicklung der ganzen Scheibe zu verfolgen, müssen zeitabhängige
Modelle berechnet werden.
Aus zeitabhängigen Modellen wird der unbekannte Parameter α (oder auch β) für den
angenommenen Viskositätskoeffizienten bestimmt. Durch Vergleich der Zeit von ca.
10 6 Jahren, die laut Beobachtung zur Akkretion des größten Teils der Scheibenmasse
benötigt wird, und der entsprechenden Zeitskala im Modell, kann α geeicht werden.
Man findet Werte im Bereich α = 10 −2 . . . 3 × 10 −3 . Durch die Eichung dieses einen
Parameters an Beobachtungen erhält man Modelle, welche die meisten beobachteten
Eigenschaften der Akkretionsscheiben gut reproduzieren.
page: 7.35

1. Die Gleichung für die Entwicklung
der Flächendichte Σ
∂ Σ
∂ t = 3 a
∂
∂ a a 1 2
∂
∂ a a 1 2νΣ (15)
Hier ist ν die Viskosität, die aus
den Gleichungen für die Scheibenstruktur
berechnet werden muß.
Diese Gleichung tritt an die Stelle
der Gl. (6) bei stationären Modellen.
2. Die Massenakkretionsrate Ṁ
ergibt sich aus
Ṁ = −6πa 1 2
∂
∂ a a 1 2νΣ . (16)
Die Massenakkretionsrate ist hier
kein freier Parameter, sondern eine
Funktion der Zeit und des Abstands
a vom Zentralstern.
3. Für die Effektivtemperatur der
Scheibenoberfläche muß hier statt
Gleichung (2) die Gleichung
σT eff 4 = 9 8 νΣGM ∗
(17)
a 3
verwendet werden.
Gleichungen
Zu diesen Gleichungen kommen
noch die Gleichungen, (1) und
(3), . . . , (5), (7), . . . , (13), die
den Scheibenaufbau in der einzonennäherung
ebenso wie im Fall
der stationären Akkretionsscheibe
beschreiben. Die Diffusionsgleichung
(15) muß zusammen
mit diesen Gleichungen gelöst
werden.
Die Lösung der Gleichung (15) erfordert
die Vorgabe von Randbedingungen
und einer Anfangsbedingung.
Als Randbedingung wird
Σ(a, t) = 0 für a = Ri, a = Ra
(18)
am inneren Rand Ri und äußeren
Rand Ra verwendet. Der Außenrand
wird z.B. bei Ra = 200
AE gewählt; das ist größer als die
Ausdehnung der meisten Akkretionsscheiben.
Der Innenrand wird
z.B. bei Ri = 0.1 AE gewählt.
Die Anfangsbedingung
Σ(a, t) = Σ0(a) für t = t0 (19)
müßte aus einem Modell für den
protostellaren Kollaps kommen,
aber das ist zur Zeit mangels geeigneter
Modelle nicht möglich.
Meistens wird ein stationäres Modell
mit einer Gesamtmasse M =
0.1 M⊙ und einem Gesamtdrehimpuls
vom zehnfachen Bahndrehimpuls
der Planeten im Sonnensystem
verwendet. Da Gl.
(15) einen diffusiven Prozeß beschreibt,
wird angenommen, daß
nach einigen charakteristischen
Zeitskalen für die Diffusion die
Lösung Σ nicht mehr von der speziell
gewählten Anfangsbedingungen
abhängt.
page: 7.36

Entwicklung der Massenakkretionsrate
4 10 -7
0
-2 10 -7 3
2
1
-4 10 -7
2 10 -7 0.1 1 10 100
r [AE]
dM/dt [M, [MO• a-1 ]
Figure 7.24: Radiale Variation der Massenakkretionsrate in einem zeitabhängigen Einzonenmodell
zu drei verschiedenen Zeitpunkten: (1) 10 4 , (2) 10 5 und (3) 10 6 Jahre. Modell
für einen Protostern mit 1 M⊙
page: 7.37

Entwicklung der Massenakkretionsrate
Die Entwicklung der Akkretionsscheibe erfolgt in unterschiedlichen Zonen in unterschiedlicher
Weise
• Im inneren Bereich bis ≈ 10 . . . 20 AE entsteht schnell eine Zone, in der Masse mit
einer praktisch radial konstanten Akkretionsrate zum Stern transportiert wird. Dieser
Bereich entwickelt sich in quasistationärer Weise mit langsam abnehmendem
Betrag der Akkretionsrate. Die Entwicklung der Akkretionsscheibe kann in diesem
Bereich in guter Näherung durch eine Serie stationäre Modelle mit unterschiedlichen
konstanten Akkretionsraten beschrieben werden.
• Im äußeren Bereich wird Masse auswärts transportiert. Diese trägt den Drehimpuls
der im inneren Bereich einwärts transportierten Materie. Dieser äußere Bereich expandiert
und entwickelt sich nicht in quasistationärer Weise. Die Entwicklung der
Akkretionsscheibe kann in diesem Bereich in adäquater Weise nur durch zeitabhängige
Modelle beschrieben werden.
page: 7.38

Entwicklung der Massenakkretionsrate
Figure 7.25: Prozentsatz der Sterne in jungen Sternhaufen, die eine infrarote Überschußemission
in den JHKL-Farbbändern aufweisen, in Abhängigkeit vom Alter der
Sterne in den Sternhaufen. Die Überschußemission wird als die Emission durch warmen
Staub in einer Akkretionsscheibe interpretiert. Das Diagramm zeigt, daß innerhalb von
ca. 5 Millionen Jahren die Akkretionsscheiben um junge Sterne verschwinden
page: 7.39

7.4 Stationäre 1+1-dim Modelle
Für viele Anwendungen muß die vertikale Struktur der Akkretionsscheibe bestimmt
werden. Die Berechnung echter 2D-Modelle ist sehr aufwendig. Deswegen wird vielfach
eine Vereinfachung durchgeführt, die 1+1-dim Näherung:
• Man berechnet ein Einzonenmodell, in dem über die vertikale Struktur gemittelt ist.
Dies liefert die radiale Variation der vertikal gemittelten Eigenschaften der Akkretionsscheibe,
insbesondere die Flächendichte Σ(a).
• Man rekonstruiert die vertikale Struktur der Scheibe aus den gemittelten Werten der
Variablen. Dazu wird in jedem Abstand a vom Protostern ein hydrostatisches Modell
der vertikalen Druck- und Temperaturschichtung berechnet (wie bei einer Sternatmosphäre).
Dieses Modell wird so bestimmt, daß z.B. nach vertikaler Mittelung
der vertikalen Dichteschichtung die Flächendichte des Einzonenmodells reproduziert
wird.
• Für ein solches Modell kann der Strahlungstransport in der Akkretionsscheibe und
daraus das emittierte Spektrum ermittelt werden. Dieses kann mit beobachteten
Spektren von Akkretionsscheiben um junge Sterne verglichen werden, um daraus
wesentliche Parameter realer Akkretionsscheiben zu bestimmen (Massen, Massenakkretionsraten,
Eigenschaften des darin enthaltenen Staubs, Anzeichen für den Beginn
von Planetentstehung).
page: 7.40

1. Die Druckschichtung in vertikaler
Richtung wird durch die hydrostatische
Gleichung
∂ P
∂ z = −GM ∗
z · ρ (20)
a 3
bestimmt.
2. Anfangsbedingung hierfür
lim P = 0 (21)
z→∞
3. Gleichung für die Energieerhaltung
für den Energietransport in
vertikaler Richtung
∂ F
∂ z = ρq visk (22)
4. Randbedingung
lim F = 0 (23)
z→0
5. Lokale Energierzeugungsrate
durch Dissipation
qvisk = 9 4 νΩ2 (24)
Gleichungen
6. Energiestrom F wird durch
Strahlungstransport und Konvektion
bestimmt
F = Fconv + Frad (25)
7. Wenn Energie durch Strahlung
transportiert wird, dann ist der
Energiestrom in Eddington Näherung
Frad = 4πH = − 16σT 3
3κρ
∂ T
∂ z . (26)
8. Wenn Energie durch Konvektion
transportiert wird, dann
muß der Energiestrom Fconv z.B.
in der Mischungswegapproximation
berechnet werden. Der Beitrag
der Konvektion zum Energietransport
ist bei Akkretionsscheiben
im allgemeinen vernachlässigbar,
aber die Konvektion ist eine
der möglichen Ursachen für den
Drehimpulstransport.
Aus der Lösung der Gleichungen
für die vertikale Struktur der Akkretionsscheibe
ergeben sich P (z),
T (z) und ρ(z)
Der Anschluß an die Einzonenmodelle
wird dadurch hergestellt,
daß man die Bedingung
∫ ∞
ρ(z) dz = Σ(a) (27)
0
stellt. Σ(a) ist die Flächendichte
des Einzonenmodells in der Entfernung
a vom Protostern. Dies
legt die vertikale Ausdehnung des
Modells fest.
page: 7.41

Allgemeine Scheibenstruktur
(a)
ρ[g cm -3 ]
10 -6
10 -8
10 -10
10 -12
10 -14
10 -16
0.0
0.2
z/h
0.4
1.0
0.6
0.8
3.0
1.0 10.
0.1
0.3
r [AE]
Figure 7.26: Variation der Massendichte mit radialem Abstand von der Protosonne und
(normiertem) vertikalem Abstand von der Mittelebene
page: 7.42

Allgemeine Scheibenstruktur
(b)
T [K]
2000
1500
1000
500
0.0
0.2
z/h
0.4
1.0
0.6
0.8
3.0
1.0 10.
0.1
0.3
r [AE]
Figure 7.27: Variation der Temperatur mit radialem Abstand von der Protosonne und
vertikalem Abstand von der Mittelebene
page: 7.43

Allgemeine Scheibenstruktur
(c)
κ R [cm 2 g -1 ]
10 +1
10 +0
10 -1
10 -2
1.0
0.8
10 -3
10 -4
0.1
0.3
r [AE]
0.6
0.4
0.2
1.0
3.0
10.
0.0
z/h
Figure 7.28: Variation des Massenextinktionskoeffizienten mit radialem Abstand von
der Protosonne und vertikalem Abstand von der Mittelebene
page: 7.44

Allgemeine Scheibenstruktur
Gezeigt sind Ergebnisse einer Modellrechnung für ein Modell mit M ˙ = 10 −7 M⊙ a −1 und
M∗ = 1 M⊙. Die Höhe h ist diejenige z-Koordinate, bei der die von außen her gemessene
optische Tiefe den Wert τ = 2/3 erreicht (Photosphäre der Akkretionsscheibe)
• Die Dichteschichtung ρ(a, z) ist ziemlich stetig und ähnelt stark der Gaußverteilung,
die man bei isothermen Moellen erwartet.
• Die Temperaturschichtung T (a, z) zeigt drei markante Strukturen, die der Verdampfung
dreier wichtiger Absorber und der damit einhergenden Reduktion des Extinktionskoeffizienten
entsprechen: Verdampfung von Wassereis bei ≈ 150 K, von Silikaten
und Eisen bei ≈ 1450 K, von Korund bei ≈ 1850 K.
• Der Extinktionskoeffizient κR(a, z) zeigt die Auswirkungen der Verdampfung wichtiger
Absorber auf den Extinktionskoeffizienten in noch viel deutlicherer Form. Die
bogenförmigen Strukturen ensprechen den Orten, an denen jeweils die Verdampfungstemperatur
ereicht ist.
page: 7.45

Synthetische Spektren von Akkretionsscheiben
10 -8
-10
10 -6
10 -10
10 -12
10 -14
10 -16
10 -18
10 -20
10 100
Hν
λ[µm]
Figure 7.29: Radiale Variation des lokal von der Scheibe emittierten Spektrums. Oben
Emission aus dem warmen inneren Teil der Akkretionsscheibe, unten aus dem kalten
äußeren Bereich. Im inneren Teil sind die Absorptionsbanden der Silikate zu erkennen,
im äußeren Teil die Absorptionsbanden von Wassereis.
page: 7.46

Synthetische Spektren von Akkretionsscheiben
10
1
λ Hλ
0.1
0.01
10 100 1000
λ[µm]
Figure 7.30: Synthetisches Infrarotspektrum einer Akkretionsscheibe bei vertikaler
Draufsicht. Sternspektrum violett, Scheibenspektrum grün, gesamtes Spektrum rot
page: 7.47

7.5 Zeitabhängige 1+1-dim Modelle
Zeitabhängige Modelle werden benötigt, um spezifisch zeitabhängige Phänomene zu
studieren, die von den quasistationären Modellen nicht erfaßt werden können. Dazu
gehören insbesondere die Frage, inwieweit Durchmischungsprozesse durch turbulente
Diffusion und großräumige Zirkulationsströmungen in der Akkretionsscheibe Material
verschiedener Zonen miteinander vermischen.
Aus der Beobachtung von Staub in Kometenschweifen ist beispielsweise bekannt, daß
dieser nicht nur aus dem amorphen interstellaren Staub besteht, sondern bei einigen
Kometen auch mehr als 10% kristalllinen Staub enthält. Das Vorkommen von Argon
im Kometen zeigt andererseits, daß das Material im Kometen zum Zeitpunkt seiner
Entstehung und später nie wärmer als ca 30 K war. Bei dieser niedrigen Temparatur
kann ISM Staub nicht kristallisieren. Das beobachtete Vorkommen von kristallinem
Staub wird so interspretiert, daß Staub aus den inneren Zonen der Akkretionsscheibe
in die kalte Zone transportiert wurde, in der Kometen entstanden sind.
Gleichungen: Zeitabhängiges Einzonenmodell + Gleichungen für vertikale Struktur
page: 7.48

Semianalytische Lösung für das Strömungsfeld
Die hydrodynamischen Gleichungen können im stationären Fall nach dem kleinen Parameter
z/h entwickelt werden. Man erhält Störungsgleichungen für die niedrigste nicht
verschwindende Ordnung der Geschwindigkeitskomponenten vr und vz, sowie für die
niedrigste nicht verschwindende Ordnung der Abweichung von vφ von der Keplerrotation,
die allerdings von höherer Ordnung und somit sehr klein ist. Diese Gleichungen
können analytisch gelöst werden. Man erhält ein Strömungsfeld, welches der Keplerrotation
überlagert ist, und das in jeder Akkretionsscheibe auftritt.
Man findet eine langsame, meridionale Zirkulationsströmung. Die Akkretion des Materials
in der Akkretionsscheibe findet nicht in der Weise statt, daß das Material im Mittel
in jeder Höhe z über der Mittelebene langsam einwärts driftet, sondern daß stattdessen
die Strömung nahe der Mittelebene auswärts und erst in höheren Schichten einwärts
gerichtet ist. Der vertikal gemittelte Massenstrom ist aber identisch mit dem Ergebnis
der Einzonenmodelle.
Diese Strömungsstruktur hat erhebliche Folgen für den radialen Transport von Material
in der Akkretionsscheibe: Die auswärts gerichtete Strömung nahe der Mittelebene
kann Material über große Entfernungen in der Akkretionsscheibe von innen nach außen
transportieren.
Dieser systematischen Strömung überlagert ist eventuell noch ein turbulentes
Strömungsfeld.
page: 7.49

Zusammensetzung des Staubs
Figure 7.32: Radiale Variation des Massenanteils der häufigen Staubkomponenten in
einem 1+1-dim Modell zum Zeitpunkt t = 5 × 10 5 Jahre. Es ist über die vertikale Verteilung
integriert. Die Bildung von Plantesimalen müßte zu diesem Zeitpunkt voll im
Gang sein. Die Verteilung der Massenanteile gibt die Anteile der Hauptkomponenten
des Staubmaterials an, aus dem die späteren Planeten bei verschiedenen Abständen von
der Protosonne gebildet werden.
page: 7.51

Transport von kristallinem Staub
Das zeitabhängige 1+1-dim Modell zeigt, daß innerhalb des zur Verfügung
stehenden Zeitraums von ca. 1 Million Jahre bis zur Bildung der Planetesimale
in der Zone der Bildung von Jupiter und Saturn genügend kristallines
Material aus der warmen inneren Zone der Akkretionsscheibe nach
außen transportiert werden kann, um den gefundenen Anteil an kristallinem
Staub in Kometen erklären zu können.
page: 7.53

7.6 2D Hydrodynamik Modelle
Solche Modelle sind bisher nur vereinzelt berechnet worden. Modelle, die alle wesentlichen
physikalischen Prozesse
• Hydrodynamik
• Strahlungstransport
• Eigengravitation
• Chemie der Gasphase
• Mineralogische Prozesse
berücksichtigen, befinden sich erst in der Entwicklung. Es sind nur einige vorläufige
Resultate erzielt worden
page: 7.54

Allgemeine Scheibenstruktur
Figure 7.34: Modell am Ende der Simulation. Etwas weniger als 500 000 Zeitschritte
waren bei der numerischen Simulation erforderlich, um einen Zeitraum von 250 Jahren
zu überdecken.
page: 7.55

Strömungsfeld in der Akkretionsscheibe
Figure 7.35: Dichtekonturen und Geschwindigkeitsfeld nach 250 Jahren. Oberes Bild:
Globale Dichteverteilung. Unteres Bild: Vergrößerter Ausschnitt des durch ein graues
Rechteck im oberen Bild angedeuteten Bereichs. Die Auswärtsbewegung mit etwa 10–
20 m s −1 nahe der Mittelebene ist deutlich erkennbar
page: 7.56