Quantisierung und das Groenewold-van-Hove-Theorem - THEP Mainz

Quantisierung und das
Groenewold­van­Hove­Theorem
Florian Jung
Institut für Physik, THEP
Universität Mainz
Vortragstag des Graduiertenkollegs
Mainz, 30. November 2007
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 1 / 14

Gliederung
Motivation
Quantisierung mathematisch
Die Dirac’sche Quantisierungsabbildung
Das Groenewold­van­Hove­Theorem
Auswege
Deformationsquantisierung
Geometrische Quantisierung
Zusammenfassung
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 2 / 14

Was ist Quantisierung?
Klassische Mechanik
Quantisierung
Quantenmechanik
Größenskala (S ↔ )
Phasenraumreduktion
Nichtlokalität
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 3 / 14

Was ist Quantisierung?
Klassische Mechanik
Quantisierung
Quantenmechanik
Größenskala (S ↔ )
Phasenraumreduktion
Nichtlokalität
Klassischer Limes
(Dequantisierung)
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 3 / 14

Warum Quantisierung?
• Historische Entwicklung
• Rezept zur Konstruktion von quantenmechanischen Modellen
anhand vorhandener Analogien
• Besseres Verständnis der Quantenmechanik
Mögliche Anwendungen:
• Quantisierung von Modellen mit Zwangsbedingungen
• Komplizierte Phasenräume ≠Ên (ART, Spin­Statistik­Theorem)
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Die Quantisierungsabbildung nach Dirac
Klassische Größen
Quantenmech. Observable
C ∞ (P), P = T ∗ Q A ≡ ˆ· Op(H), selbstadjungiert
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 5 / 14

Die Quantisierungsabbildung nach Dirac
Klassische Größen
C ∞ (P), P = T ∗ Q
A ≡ ˆ·
Quantenmech. Observable
Op(H), selbstadjungiert
(1) Linearität
(2) Korrespondenz zwischen Poissonklammer und Kommutator:
(3) Irreduzibilität:
[ ˆf,ĝ] = î⌊f,g⌉ ∀f,g
Jeder Operator ˆX ∈ Op(H), der mit allen ˆq i und allen ˆp j
kommutiert, ist ein konstantes Vielfaches der Identität:
[ˆq i , ˆX] = 0 = [ˆp j , ˆX] ⇒ ˆX = c½mit c ∈
(4) Von­Neumann­Regel:
ϕ( ˆf ) = ̂ϕ(f) (ϕ Polynom)
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 5 / 14

Das Groenewold­van­Hove­Theorem
Theorem (Groenewold, van Hove)
Unter den obigen Voraussetzungen gibt es keine Quantisierungsabbildung,
die den ersten drei Forderungen genügt.
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 6 / 14

Das Groenewold­van­Hove­Theorem
Theorem (Groenewold, van Hove)
Unter den obigen Voraussetzungen gibt es keine Quantisierungsabbildung,
die den ersten drei Forderungen genügt.
Beweisidee:
Quantisiere das Produkt q 2 p 2 auf zwei unterschiedlichen Wegen,
mithilfe der Poissonklammern:
⌊q 3 ,p 3 ⌉ = 9q 2 p 2 und ⌊q 2 p,qp 2 ⌉ = 3q 2 p 2 .
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 6 / 14

Das Groenewold­van­Hove­Theorem
Theorem (Groenewold, van Hove)
Unter den obigen Voraussetzungen gibt es keine Quantisierungsabbildung,
die den ersten drei Forderungen genügt.
Beweisidee:
Quantisiere das Produkt q 2 p 2 auf zwei unterschiedlichen Wegen,
mithilfe der Poissonklammern:
⌊q 3 ,p 3 ⌉ = 9q 2 p 2 und ⌊q 2 p,qp 2 ⌉ = 3q 2 p 2 .
Bemerkung:
Wegen (2) hat man die kanonischen Vertauschungsrelationen:
[ˆq, ˆq] = 0 = [ˆp, ˆp] , [ˆq, ˆp] = i , (CCR)
und die üblichen Rechenregeln für Kommutatoren.
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Wollen q m quantisieren:
⌊q m ,q⌉ = 0 ,
⌊q m ,p⌉ = mq m−1
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Wollen q m quantisieren:
⌊q m ,q⌉ = 0 ,
⌊q m ,p⌉ = mq m−1
(2)
=⇒ [̂q m , ˆq] = 0 , [̂q m , ˆp] = im ̂q
m−1
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 7 / 14

Wollen q m quantisieren:
Andererseits:
⌊q m ,q⌉ = 0 ,
⌊q m ,p⌉ = mq m−1
(2)
=⇒ [̂q m , ˆq] = 0 , [̂q m , ˆp] = im ̂q
m−1
[ˆq m , ˆq] = 0 ,
[ˆq m , ˆp] = im ˆq m−1
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 7 / 14

Wollen q m quantisieren:
Andererseits:
⌊q m ,q⌉ = 0 ,
⌊q m ,p⌉ = mq m−1
(2)
=⇒ [̂q m , ˆq] = 0 , [̂q m , ˆp] = im ̂q
m−1
[ˆq m , ˆq] = 0 ,
[ˆq m , ˆp] = im ˆq m−1
Bilde Differenz (Ŷm := ̂q m − ˆq m ):
=⇒ [Ŷm, ˆq] = 0 , [Ŷm, ˆp] = im ( ̂qm−1 − ˆq m−1)
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 7 / 14

Wollen q m quantisieren:
Andererseits:
⌊q m ,q⌉ = 0 ,
⌊q m ,p⌉ = mq m−1
(2)
=⇒ [̂q m , ˆq] = 0 , [̂q m , ˆp] = im ̂q
m−1
[ˆq m , ˆq] = 0 ,
[ˆq m , ˆp] = im ˆq m−1
Bilde Differenz (Ŷm := ̂q m − ˆq m ):
=⇒ [Ŷm, ˆq] = 0 , [Ŷm, ˆp]
2½
= im ( ̂qm−1 − ˆq m−1)
Für m = 2 folgt:
̂q 2 = ˆq 2 + d
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 7 / 14

Bisher:
Zeige jetzt d 2 = 0:
̂qp = ˆqˆp + c½,
̂q2 = ˆq 2 + d 2½
⌊q m ,qp⌉ = q ⌊q m ,p⌉ = mq m
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Bisher:
Zeige jetzt d 2 = 0:
̂qp = ˆqˆp + c½,
̂q2 = ˆq 2 + d 2½
⌊q m ,qp⌉ = q ⌊q m ,p⌉ = mq m
Für m = 2:
2i ̂q 2 = [ ̂q 2 , ̂qp]
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 8 / 14

Bisher:
Zeige jetzt d 2 = 0:
̂qp = ˆqˆp + c½,
̂q2 = ˆq 2 + d 2½
⌊q m ,qp⌉ = q ⌊q m ,p⌉ = mq m
Für m = 2:
2i ̂q 2 = [ ̂q 2 , ̂qp] = [ˆq 2 + d 2½, ˆqˆp + c½]
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 8 / 14

Bisher:
Zeige jetzt d 2 = 0:
̂qp = ˆqˆp + c½,
̂q2 = ˆq 2 + d 2½
⌊q m ,qp⌉ = q ⌊q m ,p⌉ = mq m
Für m = 2:
2i ̂q 2 = [ ̂q 2 , ̂qp] = [ˆq 2 + d 2½, ˆqˆp + c½] = [ˆq 2 , ˆqˆp] = 2i ˆq 2
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 8 / 14

Bisher:
Zeige jetzt d 2 = 0:
̂qp = ˆqˆp + c½,
̂q2 = ˆq 2 + d 2½
⌊q m ,qp⌉ = q ⌊q m ,p⌉ = mq m
Für m = 2:
2i ̂q 2 = [ ̂q 2 , ̂qp] = [ˆq 2 + d 2½, ˆqˆp + c½] = [ˆq 2 , ˆqˆp] = 2i ˆq 2
Induktion über m:
̂q m = ˆq m ,
̂p m = ˆp m
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Zurück zum ursprünglichen Problem:
9q 2 p 2 = ⌊q 3 ,p 3 ⌉ =⇒ 9i ̂q 2 p 2 = [ ̂q 3 , ̂p 3 ] = [ˆq 3 , ˆp 3 ]
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Zurück zum ursprünglichen Problem:
2½
9q 2 p 2 = ⌊q 3 ,p 3 ⌉ =⇒ 9i ̂q 2 p 2 = [ ̂q 3 , ̂p 3 ] = [ˆq 3 , ˆp 3 ]
Kommutator mit (CCR) ausrechnen:
̂q 2 p 2 = ˆq 2ˆp 2 − 2iˆqˆp − 2 3
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 9 / 14

Zurück zum ursprünglichen Problem:
2½
9q 2 p 2 = ⌊q 3 ,p 3 ⌉ =⇒ 9i ̂q 2 p 2 = [ ̂q 3 , ̂p 3 ] = [ˆq 3 , ˆp 3 ]
Kommutator mit (CCR) ausrechnen:
2½
̂q 2 p 2 = ˆq 2ˆp 2 − 2iˆqˆp − 2 3
Analoge Rechnung für 3q 2 p 2 = ⌊q 2 p,qp 2 ⌉ liefert:
̂q 2 p 2 = ˆq 2ˆp 2 − 2iˆqˆp − 1 3
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 9 / 14

Zurück zum ursprünglichen Problem:
2½
9q 2 p 2 = ⌊q 3 ,p 3 ⌉ =⇒ 9i ̂q 2 p 2 = [ ̂q 3 , ̂p 3 ] = [ˆq 3 , ˆp 3 ]
Kommutator mit (CCR) ausrechnen:
2½
̂q 2 p 2 = ˆq 2ˆp 2 − 2iˆqˆp − 2 3
Analoge Rechnung für 3q 2 p 2 = ⌊q 2 p,qp 2 ⌉ liefert:
̂q 2 p 2 = ˆq 2ˆp 2 − 2iˆqˆp − 1 3
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 9 / 14

Die Quantisierungsabbildung nach Dirac
Klassische Größen
C ∞ (P), P = T ∗ Q
(1) Linearität
A ≡ ˆ·
Quantenmech. Observable
Op(H), selbstadjungiert
(2) Korrespondenz zwischen Poissonklammer und Kommutator:
(3) Irreduzibilität
[ ˆf,ĝ] = î⌊f,g⌉ ∀f,g
Jeder Operator ˆX ∈ Op(H), der mit allen ˆq i und allen ˆp j
kommutiert, ist ein konstantes Vielfaches der Identität:
[ˆq i , ˆX] = 0 = [ˆp j , ˆX] ⇒ ˆX = c½mit c ∈
(4) Von­Neumann­Regel:
ϕ( ˆf ) = ̂ϕ(f) (ϕ Polynom)
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 10 / 14

Deformationsquantisierung
Klassische Größen
C ∞ (P), P = T ∗ Q A ≡ ˆ·
Quantenmech. Observable
Op(H), selbstadjungiert
(1) Linearität
(2) Korrespondenz zwischen Poissonklammer und Kommutator:
(3) Irreduzibilität
[ ˆf,ĝ] = î⌊f,g⌉ + O( 2 ) ∀f,g
Jeder Operator ˆX ∈ Op(H), der mit allen ˆq i und allen ˆp j
kommutiert, ist ein konstantes Vielfaches der Identität:
[ˆq i , ˆX] = 0 = [ˆp j , ˆX] ⇒ ˆX = c½mit c ∈
(4) Von­Neumann­Regel:
ϕ( ˆf ) = ̂ϕ(f) (ϕ Polynom)
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 11 / 14

Geometrische Quantisierung
Klassische Größen
Obs(P), P = T ∗ Q A ≡ ˆ·
Quantenmech. Observable
Op(H), selbstadjungiert
(1) Linearität (eingeschränkt)
(2) Korrespondenz zwischen Poissonklammer und Kommutator:
(3) Irreduzibilität (eingeschränkt)
[ ˆf,ĝ] = î⌊f,g⌉ ∀f,g
Jeder Operator ˆX ∈ Op(H), der mit allen ˆq i und allen ˆp j
kommutiert, ist ein konstantes Vielfaches der Identität:
[ˆq i , ˆX] = 0 = [ˆp j , ˆX] ⇒ ˆX = c½mit c ∈
(4) Von­Neumann­Regel:
ϕ( ˆf ) = ̂ϕ(f) (ϕ Polynom)
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 12 / 14

Zusammenfassung
• Quantisierung ist nur ein Rezeptverfahren,
ein besseres Verständnis ist wünschenswert.
• Die üblichen Forderungen an eine Quantisierungsabbildung
sind physikalisch fragwürdig.
Ziele:
• Quantisierung auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten
• Arbeit am Spin­Statistik­Theorem (mit A. Reyes)
Florian Jung: Quantisierung und das Groenewold­van­Hove­Theorem 13 / 14

Danke für die Aufmerksamkeit.