Wichtige Formeln, Definitionen & Sätze der Funktionentheorie

Wichtige Reihen
e z =
∞∑
n=0
e z0
n! (z − z 0) n
sin z := eiz − e −iz
2i
cos z := eiz + e −iz
2
∞∑
= (−1) n z2n+1
(2n + 1)!
n=0
∞∑
= (−1) n z2n
(2n)!
n=0
∞
1
w − z = ∑ (z − z 0 ) n
(w − z 0 ) n+1
Definition: Gebiet
Eine offene, zusammenhängende Untermenge Ω ⊂ C heißt Gebiet in C
n=0
Definition: Komplexe Funktion
Eine Funktion f : Ω −→ C, z −→ f(z) heißt komplexe Funktion,
es ist also x + iy −→ f
u(x, y) + iv(x, y), mit u, v : R 2 → R.
Definition: Grenzwert
Ist U eine Umgebung von a ∈ C und f in U\{a} erklärt, so schreibt man
wenn
lim f(z) = b
z→a
∀(z n ) ⊂ U\{a} mit z n −→ a gilt: lim
n→∞ f(z n) = b.
Satz: über Kombination von Grenzwerten von Funktionen
Aus der Existenz der Grenzwerte lim f(z) = b und lim g(z) = c folgt
z→a z→a
lim |f(z)| = |b|
z→a
lim
z→a
(αf(z) + βg(z)) = αb + βc,
lim f(z) · g(z) = b · c
z→a
lim
z→a
f(z)
g(z) = b c
falls c ≠ 0
für α, β ∈ C
Definition: Stetigkeit
Eine Funktion f : Ω −→ C heißt in a ∈ C stetig ⇐⇒
∀(z n ) ⊂ Ω mit z n −→ a gilt: f(z n ) −→ f(a).
Definition: Differenzierbarkeit
Eine Funktion f : Ω −→ C heißt in a ∈ C komplex differenzierbar, wenn der Grenzwert
existiert.
f(z) − f(a) f(a + h) − f(a)
lim
= lim
=: f ′ (a)
z→a z − a h→0 h
2