Wichtige Formeln, Definitionen & Sätze der Funktionentheorie

Wichtige Formeln, Definitionen & Sätze der
Funktionentheorie
im SS 2009 bei Prof. Dr. Albin Weber
von Simon Stützer
Stand: 21. Juli 2009
Grundformeln der Funkionentheorie
∫
∫
dz
= 2πi,
z − z 0
C r(z 0)
C r(z 0)
(z − z 0 ) n dz = 0, ∀n ∈ C, N ≠ −1
Cauchy-Integralformel für Kreise
Sei f holomorph in Ω h d B r (z 0 ) ⊂ Ω eine geschlossene Kugel in Ω, dann gilt
f(z) = 1
2πi
∫
C ρ(z 0)
f(w)
w − z dw,
∀z ∈ B ρ(z 0 ), ρ ≤ r
Cauchy-Integralformel für einfach positiv umlaufende Wege
Sei γ ein geschlossener Weg, der jeden von ihm umschlossenen Punkt einfach positiv umläuft. γ
liegt mitsamt seinem Inneren in Ω und f ist dort holomorph, dann gilt
∀z im Inneren von γ.
f(z) = 1
2π
∫
γ
f(w)
w − z dw
Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen
Jede in Ω holomorphe Funktion f ist analytisch in Ω, insbesondere beliebig oft differenzierbar.
Der Konvergenzradius der Reihe
∞∑
f(z) = a n (z − z 0 ) n
n=0
um einen Punkt z 0 ∈ Ω
ist mindestens R = dist(z 0 , ∂Ω). Für die Koeffizienten a n gelten die Cauchy-Formeln
a n = f (n) (z 0 )
n!
= 1
2πi
∫
C r(z 0)
n+1
f(z)
dz, ∀r : 0 < r < R.
z − z 0
1

Wichtige Reihen
e z =
∞∑
n=0
e z0
n! (z − z 0) n
sin z := eiz − e −iz
2i
cos z := eiz + e −iz
2
∞∑
= (−1) n z2n+1
(2n + 1)!
n=0
∞∑
= (−1) n z2n
(2n)!
n=0
∞
1
w − z = ∑ (z − z 0 ) n
(w − z 0 ) n+1
Definition: Gebiet
Eine offene, zusammenhängende Untermenge Ω ⊂ C heißt Gebiet in C
n=0
Definition: Komplexe Funktion
Eine Funktion f : Ω −→ C, z −→ f(z) heißt komplexe Funktion,
es ist also x + iy −→ f
u(x, y) + iv(x, y), mit u, v : R 2 → R.
Definition: Grenzwert
Ist U eine Umgebung von a ∈ C und f in U\{a} erklärt, so schreibt man
wenn
lim f(z) = b
z→a
∀(z n ) ⊂ U\{a} mit z n −→ a gilt: lim
n→∞ f(z n) = b.
Satz: über Kombination von Grenzwerten von Funktionen
Aus der Existenz der Grenzwerte lim f(z) = b und lim g(z) = c folgt
z→a z→a
lim |f(z)| = |b|
z→a
lim
z→a
(αf(z) + βg(z)) = αb + βc,
lim f(z) · g(z) = b · c
z→a
lim
z→a
f(z)
g(z) = b c
falls c ≠ 0
für α, β ∈ C
Definition: Stetigkeit
Eine Funktion f : Ω −→ C heißt in a ∈ C stetig ⇐⇒
∀(z n ) ⊂ Ω mit z n −→ a gilt: f(z n ) −→ f(a).
Definition: Differenzierbarkeit
Eine Funktion f : Ω −→ C heißt in a ∈ C komplex differenzierbar, wenn der Grenzwert
existiert.
f(z) − f(a) f(a + h) − f(a)
lim
= lim
=: f ′ (a)
z→a z − a h→0 h
2

Satz: über Kombinationen von differenzierbaren Funktionen
Sind f, g : Ω −→ C an der Stelle a ∈ C differenzierbar, so gilt
• f ist in a stetig
• (αf + βg) ′ (a) = αf ′ (a) + βg ′ (a),
für α, β ∈ C
• (f · g) ′ (a) = f ′ (a) · g(a) + f(a) · g ′ (a)
( ) ′
• f f ′ (a) · g(a) + f(a) · g ′ (a)
g (a) =
g(a) 2 , falls g(a) ≠ 0
• fals g : Ω → Ω ′ in a differenzierbar ist und f : Ω ′ → C in g(a) differenzierbar ist, so gilt
(f ◦ g) ′ (a) = f ′ (g(a)) · g ′ (a)
Definition: holomorphe Funktion
Eine Funktion f : Ω −→ C heißt holomorph, wenn sie in jedem Punkt von Ω stetig komplex
differenzierbar ist, d.h. z → f ′ (z) ist auf ganz Ω erklärt.
Sind f, g : Ω −→ C holomorph, so sind auch αf + βg (α, β ∈ C), f · g und f g
Nullmenge von g) holomorph.
Satz: über holomorphe Funktionen
Eine komplexe Funktion
f : z = x + iy −→ u(x, y) + iv(x, y)
(außerhalb der
ist genau dann holomorph, wenn u und v als reellwertige Funktionen auf Ω ⊂ R 2 C 1 -differenzierbar
sind und die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen gelten
∂u
∂x = ∂v
∂y ,
∂u
∂y = − ∂v
∂x .
Es ist dann
f ′ (x + iy) = ∂u
∂x
(x, y) + i∂v
∂y
(x, y) =
∂v
∂y
(x, y) − i∂u(x, y).
∂y
Satz: über konstante holomorphe Funktionen
Eine holomorphe Funktion f : Ω −→ C heißt konstant in Ω, wenn f ′ (z) = 0 überall in Ω ist.
Definition: Stückweise glatte Kurve in C
Ebene C 1 -Kurvenstücke werden parametrisiert durch
Die Länge der Kurve ist dann gegeben durch
γ : t −→ z(t) = x(t) + iy(t), a ≤ t ≤ b.
L(γ) =
∫ b
a
√ẋ(t)2
+ ẏ(t) 2 dt =
∫ b
a
|ż(t)| 2 dt.
ż(t) = ẋ(t) + iẏ(t) tritt an die Stelle des Tangentenvektors einer Parametrisierung.
3

Definition: komplexes Integral
Sei F (t) = U(t) + iV (t) und U, V ∈ C[a, b] dann definiert man
∫ b
a
F (t)dt =
Sei F (t) = U(t) + iV (t) und U, V ∈ C[a, b] dann ist
∫ b
a
∫ b
U(t)dt + i
a
V (t)dt.
∫ b
a
˙ F (t)dt = F (b) − F (a)
mit ˙ F (t) = ˙U(t) + i ˙V (t).
Definition: komplexes Kurvenintegral
Sei f : Ω −→ C stetig und γ ein durch z : [a, b] −→ C gegebenes, orientiertes C 1 -Kurvenstück,
dann definiert man
∫ ∫ b
f(z)dz = f(z(t)) · ż(t)dt
Satz: Integralabschätzung
Ist |f(z)| ≤ M auf der Spur von γ, so ist | ∫ f(z)dz| ≤ M · L(γ).
γ
γ
a
Satz: Zurückführung auf Kurvenintegrale im R 2
Sei f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) stetig in Ω und γ ein Wef in Ω. Dann gilt:
∫ ∫
∫
∫ ∫
f(z)dz = (udx − vdy) + i (vdx + udy) = ⃗fd⃗x + i
γ
γ
γ
γ
γ
⃗gd⃗x
mit ⃗ f = (u, −v) und ⃗g = (v, u). Ist f insbesondere holomorph in Ω, so erfüllen beide Vektorfelder
die Integrabilitätsbedingung. → ⃗ f,⃗g sind Gradientenfelder woraus die Wegunabhängigkeit und die
Existenz eines Potentials folgt.
Satz: über Stammfunktionen
Sei f : Ω −→ C eine stetige Funktion für die das komplexe Kuevenintegral wegunabhängig ist,
d.h.
∫
γ 1
∫
f(z)dz = f(z)dz
für je zwei Wege γ 1 , γ 2 in Ω mit gleichem Anfangs- und Endpunkt. Wir wählen einen festen Punkt
z 0 ∈ Ω und setzen
∫ z ∫
F (z) = f(z)dz := f(z)dz
z 0 γ
wobei γ irgendeine Kurve in Ω von z 0 nach z ist. Dann ist F holomorph und eine Stammfunktion
für f, d.h. F ′ (z) = f(z) ∀z ∈ Ω.
Definition: komplexer Logarithmus (Hauptzweig)
Für z = r · e iϕ , r > 0 − π < ϕ < π ist
ln z :=
∫ z
1
dw
w
γ 2
= ln r + iϕ
Hauptzweig des Logarithmus und eine Stammfunktion zu 1/z mit ln(1) = 0.
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Definition: Zweig des Logarithmus
Sei Ω ein einfaches Gebiet mit 0 /∈ Ω. Eine in Ω holomorphe Funktion F heißt Zweig des Logarithmus,
wenn gilt
e F (z) = z, z ∈ Ω.
Satz: Zweig des Logarithmus
Zu einem einfachen Gebiet Ω mit 0 /∈ Ω gibt es unendlich viele Zweige des Logarithmus. Sie
unterscheiden sich um ganzzahlige Vielfache von 2πi.
Definition: kompakte Konvergenz
Für ein Gebiet Ω ⊂ C, stetige Funktionen f n : Ω −→ C, die gleichmäßig auf jeder kompakten
gleichmäßig
Teilmenge von Ω gegen f streben, f n −→ f, sagt man: f n streben gegen f in Ω im Sinne der
kompakten Konvergenz.
Satz: über kompakte Konvergenz
Seien f n stetig, die in Ω gegen f im Sinne der kompakten Konvergenz streben. Dann ist f in Ω
stetig und es gilt für jeden Weg γ
∫
∫
f(z)dz = lim f n (z)dz.
Satz: über Potenzreihen
Besitzt f eine Potenzreihendarstellung
γ
n←∞
γ
∞∑
f(z) = a n (z − z 0 ) n :
n=0
|z − z 0 | < R
mit 0 < R < ∞, so ist f dort beliebig oft komplex differenzierbar und man erhält die Ableitung
durch Gliedweise Differentiation.
Definition: analytische Funktion
Eine Funktion f : Ω −→ C heißt analytisch, wenn
∀z 0 ∈ Ω ∃R > 0 : f in B ◦ R(z 0 ) als Potenzreihe darstellbar mit f(z) =
∞∑
a n (z − z 0 ) n
Satz: Identitätssatz für analytische Funktion
Seien f, g analytische Funktionen auf dem Gebiet Ω und f(z n ) = g(z n ) für eine bestimmte Folge
dann ist f ≡ g.
(z n ) ⊂ Ω −→ z 0 ∈ Ω, z n ≠ z 0
Satz: Cauchyscher Integralsatz
Sei f holomorph in einem einfachen Gebiet Ω, dann gilt
∫
f(z)dz = 0
für jeden geschlossenen Weg γ in Ω.
γ
n=0
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Satz: Homologiesatz
Sei Ω\{z 0 } ein gelochtes Gebiet in dem f holomorph ist und γ die Stelle z 0 einfach positiv umläuft.
Dann ist
∫
∫
f(z)dz = f(z)dz
falls das Innere von γ und C r (z 0 ) in Ω sind.
γ
C r(z 0)
Definition: Homologe Wege
Zwei geschlossene Wege γ 1 , γ 2 heißen homolog ⇔
∫
γ 1
∫
f(z)dz =
γ 2
f(z)dz ∀f ∈ C 1 (Ω)
.
Satz: Identitätssatz für holomorphe Funktionen
Stimme zwei in einem Gebiet Ω holomorphe Funktionen f, g in einem in Ω gelgegnen Kurvenstück
überein, so stimmen sie auf ganz Ω überein.
Definition: ganze Funktion
Eine auf ganz C holomorphe Funktion heißt ganze Funktion. Sie besitzt eine überall konvergente
Reihenentwicklung
f(z) =
∞∑
a n z n , z ∈ C → Konvergenzradius R = ∞.
n=0
Satz: über Abschätzung der Koeffizienten einer Potenzreihe
Sei
∞∑
f(z) = a n (z − z 0 ) n für |z − z 0 | < R
setzt man
dann gilt
n=0
M(f, r) := max{|f(z)| : |z − z 0 | = r}
|a n | ≤
Satz: Satz von Liouville
Jede beschränkte ganze Funktion ist konstant.
M(f, r)
r n , n ∈ N 0 .
für 0 < r < R
Satz: Fundamentalsatz der Algebra
Jedes nichtkonstante Polynom mit komplexen Koeffizienten besitzt wenigstens eine Nullstelle in
C. Daraus folgt unmittelbar der Fundamentalsatz der Algebra.
Satz: Satz von Morera
Ist f : Ω −→ C stetig und gilt ∫ f(z)dz = 0 für jeden geschlossenen, einfach gelagerten Weg γ in
γ
Ω, so ist holomorph in Ω.
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Definition: isolierte Singularität
Ist f holomorph und D(f) = Ω\{z 0 }, so heißt z 0 isolierte Singularität von f.
• z 0 heißt hebbare Singularität ⇔ eine holomorphe Funktion g in einer Kugel B ɛ (z 0 )\{z 0 }
existiert und
f(z) = g(z) in B ɛ (z 0 )\{z 0 } ∀z
• z 0 heißt Polstelle, wenn gilt
lim |f(z)| = ∞
z→z 0
• z 0 heißt wesentliche Singularität, falls sie weder Polstelle noch hebbare Singularität ist.
Definition: Laurent-Reihe
Eine Reihe der Form
f(z) =
heißt Laurent-Reihe. Sie konvergiert, wenn
r :=
∞∑
n=−∞
∞∑
a n (z − z 0 ) n und h :=
n=0
konvergent sind. Dann ist f(z) =
∞ ∑
n=−∞
Hauptteil und r(z) regulärer oder Nebenteil heißt.
a n (z − z 0 ) n
∑−1
n=−∞
Satz: über den singulären Teil einer Laurent-Reihe
Betrachtet man den singulären Teil einer Laurent-Reihe ∞ ∑
a n (z − z 0 ) n =
∞∑
n=1
a −n
(z − z 0 ) n
a n (z − z 0 ) n = h(z) + r(z), wobei h(z) singulärer oder
n=1
a −n
(z−z 0) n
dann gilt
• Ist die Reihe konvergent für z = z 1 , so ist sie absolut konvergen ∀z : |z − z 0 | > |z 1 − z 0 |
• Ist die Reihe divergent für z = z 2 , so ist sie divergent ∀z : |z − z 0 | < |z 2 − z 0 |
Folgerung:
Ist der Hauptteil einer Laurent-Reihe konvergent für z 1 , der Nebenteil konvergent für z 2 , so ist die
Laurent-Reihe konvergent im Ringgebiet
ρ := |z 1 − z 0 | < |z − z 0 | < |z 2 − z 0 | =: R.
Satz: über gleichmäßige Konvergenz der Laurent-Reihe
∑
Ist die Laurent-Reihe ∞ a n (z − z 0 ) n =: f(z) konvergent für
−∞
ρ := |z 1 − z 0 | < |z − z 0 | < |z 2 − z 0 | =: R mit 0 ≤ ρ < R ≤ ∞
so ist sie gleichmäßig konvergent für
ρ + ε ≤ |z − z 0 | ≤ r, ε > 0, r < R (kompakter Kreisring).
Insbesondere ist dann f in diesem Kreisring holomorph und es gilt
a n = 1 ∫
f(w)
dw ρ < r < R.
2πi (w − z 0 )
n+1
C r(z 0)
7

Satz: Identitätssatz für Laurent-Reihe
Sei ρ := |z 1 − z 0 | und R := |z 2 − z 0 |. Gilt
∞∑
n=−∞
a n (z − z 0 ) n =
für ρ < |z − z 0 | < R, so gilt a n = b n ∀n ∈ Z.
∞∑
n=−∞
b n (z − z 0 ) n
Satz: über Laurent-Reihe-Entwickelbarkeit
Sei f holomorph in jedem Ringgebiet G := {z ∈ C : ρ < |z − z 0 | < R} mit 0 ≤ ρ < R ≤ ∞. Dann
besitzt f eine Reihenentwicklung
f(z) =
∞∑
n=−∞
a n (z − z 0 ) n
und ist in jeder kompakten Teilmenge von G gleichmäßig konvergent. Dabei folgt durch die
Cauchy.Integralformel
a n = 1 ∫
f(w)
dw für ρ < r < R.
2πi (w − z 0 )
n+1
C r(z 0)
Somit ist f durch eine Laurent-Reihe dargestellt.
Satz: über Abschätzung der Koeffizienten einer Laurent-Reihe
Die Funktion f besitzt die Laurent-Reihe
f(z) =
∞∑
n=−∞
a n (z − z 0 ) n
und es sei
dann gilt
M(f, r) := max{f(z) : |z − z 0 | = r}
|a n | ≤
M(f, r)
r n
∀n ∈ Z
ρ < r < R
Satz: Satz von Riemann
Ist f holomorph undbeschränkt für ρ < |z − z 0 | < R, so ist z 0 eine hebbare Singularität von f.
Satz: Charakterisierung von Polstellen
Die für 0 < |z − z 0 | < R holomorphe Funktion f hat genau dann einen Pol in z 0 , wenn ihre
Laurent-Reihe die Form
f(z) =
∞∑
n=−m
a n (z − z 0 ) n (m ∈ N, a −m ≠ 0)
hat, d.h. der Hauptteil besteht aus endlich vielen Gliedern. m heißt dann Ordnung der Polstelle.
Satz: Kriterium für Polstellen
Eine isolierte Singularität z 0 von f heißt Pol m-ter Ordnung ⇔ ∃ b = lim
z→z 0
(z − z 0 ) m f(z) ≠ 0
Sei g holomorph in einer Umgebung um z 0 und z 0 eine Nullstelle m-ter Ordnung von g, so hat
1/g in z 0 eine Polstelle m-ter Ordnung
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Definition: ganz-transzentente Funktion
Eine Funktion f heißt ganz-transzendent, wenn f ganz und kein Polynom ist.
Satz: Satz von Casorati-Weierstraß
Sei f holomorph in 0 < |z − z = 0| < R und z 0 eine wesentliche Singularität von f, so gilt
• ∀a ∈ C : ∃(z n ) : z n −→ z 0 ∧ f(z n ) −→ a
• ∃(w n ) : w n −→ z 0 ∧ |f(w n )| −→ ∞
Satz: Satz von Casorati-Weierstraß für ganz-transzendente Funktionen
Für eine ganz-transzendente Funktion gilt
• ∀a ∈ C : ∃(z n ) : |z n | −→ ∞ ∧ f(z n ) −→ a
• ∃(w n ) : |w n | −→ ∞ ∧ |f(w n )| −→ ∞
Satz: Satz von Picard
Besitzt f in z 0 eine wesentliche Singularität, so existiert ein a ∈ C, so dass f in jeder Umgebung
von z 0 alle Werte von C\{a} annimmt.
Definition: Resiuduum
Sei f holomorph in Ω\{z 0 } und z 0 eine isolierte Singularität von f, dann ist
f(z) =
∞∑
n=−∞
a n (z − z 0 ) n für 0 < |z − z 0 |, R > 0.
Der Koeffizient a −1 heißt Resiuduum von f an der Stelle z 0 und wird mit Res(f, z 0 ) bezeichnet.
Es gilt:
Res(f, z 0 ) := a −1 = 1 ∫
f(z)dz = 1 ∫
f(z)dz
2πi
2πi
γ
C r(z 0)
für 0 < r < R und jeden geschlossenen Weg γ, der z 0 einfach positiv umläuft und mitsamt seinem
Inneren in Ω liegt.
Satz: Resiuensatz
Sei f holomorph in γ mit Ausnahme der isolierten Singularitäten. Trifft der geschlossene Weg γ
in Ω auf keine Singularität, so gilt
∫
γ
f(z)dz = 2πi
N∑
Res(f, z k ).
k=1
9