Wichtige Formeln, Definitionen & Sätze der Funktionentheorie

Satz: Identitätssatz für Laurent-Reihe
Sei ρ := |z 1 − z 0 | und R := |z 2 − z 0 |. Gilt
∞∑
n=−∞
a n (z − z 0 ) n =
für ρ < |z − z 0 | < R, so gilt a n = b n ∀n ∈ Z.
∞∑
n=−∞
b n (z − z 0 ) n
Satz: über Laurent-Reihe-Entwickelbarkeit
Sei f holomorph in jedem Ringgebiet G := {z ∈ C : ρ < |z − z 0 | < R} mit 0 ≤ ρ < R ≤ ∞. Dann
besitzt f eine Reihenentwicklung
f(z) =
∞∑
n=−∞
a n (z − z 0 ) n
und ist in jeder kompakten Teilmenge von G gleichmäßig konvergent. Dabei folgt durch die
Cauchy.Integralformel
a n = 1 ∫
f(w)
dw für ρ < r < R.
2πi (w − z 0 )
n+1
C r(z 0)
Somit ist f durch eine Laurent-Reihe dargestellt.
Satz: über Abschätzung der Koeffizienten einer Laurent-Reihe
Die Funktion f besitzt die Laurent-Reihe
f(z) =
∞∑
n=−∞
a n (z − z 0 ) n
und es sei
dann gilt
M(f, r) := max{f(z) : |z − z 0 | = r}
|a n | ≤
M(f, r)
r n
∀n ∈ Z
ρ < r < R
Satz: Satz von Riemann
Ist f holomorph undbeschränkt für ρ < |z − z 0 | < R, so ist z 0 eine hebbare Singularität von f.
Satz: Charakterisierung von Polstellen
Die für 0 < |z − z 0 | < R holomorphe Funktion f hat genau dann einen Pol in z 0 , wenn ihre
Laurent-Reihe die Form
f(z) =
∞∑
n=−m
a n (z − z 0 ) n (m ∈ N, a −m ≠ 0)
hat, d.h. der Hauptteil besteht aus endlich vielen Gliedern. m heißt dann Ordnung der Polstelle.
Satz: Kriterium für Polstellen
Eine isolierte Singularität z 0 von f heißt Pol m-ter Ordnung ⇔ ∃ b = lim
z→z 0
(z − z 0 ) m f(z) ≠ 0
Sei g holomorph in einer Umgebung um z 0 und z 0 eine Nullstelle m-ter Ordnung von g, so hat
1/g in z 0 eine Polstelle m-ter Ordnung
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