Wichtige Formeln, Definitionen & Sätze der Funktionentheorie

Satz: Homologiesatz
Sei Ω\{z 0 } ein gelochtes Gebiet in dem f holomorph ist und γ die Stelle z 0 einfach positiv umläuft.
Dann ist
∫
∫
f(z)dz = f(z)dz
falls das Innere von γ und C r (z 0 ) in Ω sind.
γ
C r(z 0)
Definition: Homologe Wege
Zwei geschlossene Wege γ 1 , γ 2 heißen homolog ⇔
∫
γ 1
∫
f(z)dz =
γ 2
f(z)dz ∀f ∈ C 1 (Ω)
.
Satz: Identitätssatz für holomorphe Funktionen
Stimme zwei in einem Gebiet Ω holomorphe Funktionen f, g in einem in Ω gelgegnen Kurvenstück
überein, so stimmen sie auf ganz Ω überein.
Definition: ganze Funktion
Eine auf ganz C holomorphe Funktion heißt ganze Funktion. Sie besitzt eine überall konvergente
Reihenentwicklung
f(z) =
∞∑
a n z n , z ∈ C → Konvergenzradius R = ∞.
n=0
Satz: über Abschätzung der Koeffizienten einer Potenzreihe
Sei
∞∑
f(z) = a n (z − z 0 ) n für |z − z 0 | < R
setzt man
dann gilt
n=0
M(f, r) := max{|f(z)| : |z − z 0 | = r}
|a n | ≤
Satz: Satz von Liouville
Jede beschränkte ganze Funktion ist konstant.
M(f, r)
r n , n ∈ N 0 .
für 0 < r < R
Satz: Fundamentalsatz der Algebra
Jedes nichtkonstante Polynom mit komplexen Koeffizienten besitzt wenigstens eine Nullstelle in
C. Daraus folgt unmittelbar der Fundamentalsatz der Algebra.
Satz: Satz von Morera
Ist f : Ω −→ C stetig und gilt ∫ f(z)dz = 0 für jeden geschlossenen, einfach gelagerten Weg γ in
γ
Ω, so ist holomorph in Ω.
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