Wichtige Formeln, Definitionen & SÃ¤tze der Funktionentheorie

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Definition: komplexes Integral Sei F (t) = U(t) + iV (t) und U, V ∈ C[a, b] dann definiert man ∫ b a F (t)dt = Sei F (t) = U(t) + iV (t) und U, V ∈ C[a, b] dann ist ∫ b a ∫ b U(t)dt + i a V (t)dt. ∫ b a ˙ F (t)dt = F (b) − F (a) mit ˙ F (t) = ˙U(t) + i ˙V (t). Definition: komplexes Kurvenintegral Sei f : Ω −→ C stetig und γ ein durch z : [a, b] −→ C gegebenes, orientiertes C 1 -Kurvenstück, dann definiert man ∫ ∫ b f(z)dz = f(z(t)) · ż(t)dt Satz: Integralabschätzung Ist |f(z)| ≤ M auf der Spur von γ, so ist | ∫ f(z)dz| ≤ M · L(γ). γ γ a Satz: Zurückführung auf Kurvenintegrale im R 2 Sei f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) stetig in Ω und γ ein Wef in Ω. Dann gilt: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ f(z)dz = (udx − vdy) + i (vdx + udy) = ⃗fd⃗x + i γ γ γ γ γ ⃗gd⃗x mit ⃗ f = (u, −v) und ⃗g = (v, u). Ist f insbesondere holomorph in Ω, so erfüllen beide Vektorfelder die Integrabilitätsbedingung. → ⃗ f,⃗g sind Gradientenfelder woraus die Wegunabhängigkeit und die Existenz eines Potentials folgt. Satz: über Stammfunktionen Sei f : Ω −→ C eine stetige Funktion für die das komplexe Kuevenintegral wegunabhängig ist, d.h. ∫ γ 1 ∫ f(z)dz = f(z)dz für je zwei Wege γ 1 , γ 2 in Ω mit gleichem Anfangs- und Endpunkt. Wir wählen einen festen Punkt z 0 ∈ Ω und setzen ∫ z ∫ F (z) = f(z)dz := f(z)dz z 0 γ wobei γ irgendeine Kurve in Ω von z 0 nach z ist. Dann ist F holomorph und eine Stammfunktion für f, d.h. F ′ (z) = f(z) ∀z ∈ Ω. Definition: komplexer Logarithmus (Hauptzweig) Für z = r · e iϕ , r > 0 − π < ϕ < π ist ln z := ∫ z 1 dw w γ 2 = ln r + iϕ Hauptzweig des Logarithmus und eine Stammfunktion zu 1/z mit ln(1) = 0. 4
Definition: Zweig des Logarithmus Sei Ω ein einfaches Gebiet mit 0 /∈ Ω. Eine in Ω holomorphe Funktion F heißt Zweig des Logarithmus, wenn gilt e F (z) = z, z ∈ Ω. Satz: Zweig des Logarithmus Zu einem einfachen Gebiet Ω mit 0 /∈ Ω gibt es unendlich viele Zweige des Logarithmus. Sie unterscheiden sich um ganzzahlige Vielfache von 2πi. Definition: kompakte Konvergenz Für ein Gebiet Ω ⊂ C, stetige Funktionen f n : Ω −→ C, die gleichmäßig auf jeder kompakten gleichmäßig Teilmenge von Ω gegen f streben, f n −→ f, sagt man: f n streben gegen f in Ω im Sinne der kompakten Konvergenz. Satz: über kompakte Konvergenz Seien f n stetig, die in Ω gegen f im Sinne der kompakten Konvergenz streben. Dann ist f in Ω stetig und es gilt für jeden Weg γ ∫ ∫ f(z)dz = lim f n (z)dz. Satz: über Potenzreihen Besitzt f eine Potenzreihendarstellung γ n←∞ γ ∞∑ f(z) = a n (z − z 0 ) n : n=0 |z − z 0 | < R mit 0 < R < ∞, so ist f dort beliebig oft komplex differenzierbar und man erhält die Ableitung durch Gliedweise Differentiation. Definition: analytische Funktion Eine Funktion f : Ω −→ C heißt analytisch, wenn ∀z 0 ∈ Ω ∃R > 0 : f in B ◦ R(z 0 ) als Potenzreihe darstellbar mit f(z) = ∞∑ a n (z − z 0 ) n Satz: Identitätssatz für analytische Funktion Seien f, g analytische Funktionen auf dem Gebiet Ω und f(z n ) = g(z n ) für eine bestimmte Folge dann ist f ≡ g. (z n ) ⊂ Ω −→ z 0 ∈ Ω, z n ≠ z 0 Satz: Cauchyscher Integralsatz Sei f holomorph in einem einfachen Gebiet Ω, dann gilt ∫ f(z)dz = 0 für jeden geschlossenen Weg γ in Ω. γ n=0 5
Seite 1 und 2: Wichtige Formeln, Definitionen & S
Seite 3: Satz: über Kombinationen von diffe
Seite 7 und 8: Definition: isolierte Singularität
Seite 9: Definition: ganz-transzentente Funk

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