17 Exponentialfunktion und Logarithmus

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(17.14) Satz. Seien a, b ∈ R >0 \ {1}, dann gilt log b (x) = log a(x) log a (b) . Insbesondere gelten die Aussagen (1), (2), (5) aus (17.4) { Weiter ist R >0 fallend falls 0 < a < 1 → R ; x ↦→ log a x streng monoton wachsend falls a > 1 und damit injektiv in diesen Fällen. Beweis. Übung! Bemerkung. 1.) Mit diesem Satz kann man die Funktionalgleichung (17.4.1) direkt aus der für ln herleiten. 2.) Übliche Abkürzungen: lg = log 10 , lb= log 2 3.) Die Stärke eines Sinneseindrucks hängt von einer physikalischen Größe wie Helligkeit oder Lautstärke ab. Dieser Zusammenhang wird am Besten durch einen Logarithmus beschrieben. 4.) Ein analoger Zusammenhang besteht zwischen wahrgenommener Tonhöhe und der Frequenz eines Tones. 5.) Der Schalldruckpegel ist definiert durch L p := 20 log 10 ( p p 0 ) , wobei p der effektive Schalldruck und p 0 ein Referenzwert ist. Die Einheit wird Dezibel (i.Z.: dB) genannt. Wachstum und Zerfall Wir studieren einige Beispiele für Wachstum bzw. Zerfall. Wenn man konstante Wachstumsraten annimmt, so wird man direkt auf die Exponentialfunktion geführt. Beim Wachstum einer Bakterienkultur nehmen wir an, dass jedes Bakterium mit der gleichen Rate Nachkommen produziert, unabhängig von der Größe der gesamten Kultur und von der verstrichenen Zeit. Wir formalisieren diese Bedingungen um eine mathematische Beschreibung zu erhalten. (1.) In gleichlangen Zeitintervallen soll sich die Anzahl um den selben Faktor vergrößern. (2.) Zu einem bestimmten Zeitpunkt (oft t = 0), sei die Anzahl N 0 der Bakterien bekannt. Ziel ist es eine Vorhersage über die Anzahl N(t) der Bakterien zu einem späteren Zeitpunkt t zu machen. Wir betrachten ein konkretes 34
Beispiel. In jeder Stunde verdopple sich die Population. Ist N 0 = 1000 = N(0), so gilt N(1) = 2000 = 1000 · 2 1 , N(2) = 4000 = 1000 · 2 2 usw. Man findet Tatsächlich gilt N(t) = N 0 · 2 t = N 0 · e t ln(2) für t ≥ 0. N(t + s) N(t) = 1000 · 2t+s 1000 · 2 t = 2 t+s−t = 2 s =⇒ N(t + s) = 2 s N(t). Der Zunahmefaktor (hier 2 s ) hängt nur von der verstrichenen Zeitspanne s ab, nicht aber vom Zeitpunkt t. Beispiel (Fortsetzung). Mit den obigen Daten gilt etwa N(30 min) = N( 1 2 ) ≈ 1414.2, und N(24) = N(1 Tag) ≈ 16.8 · 10 9 also 16.8 Milliarden. Auch hier haben wir eine Modellierung vorgenommen: Ein Vorgang in der Natur wird mathematisch beschrieben in der Hoffnung eine tieferes Verständnis für den Vorgang zu gewinnen, und quantitative Voraussagen machen zu können. (17.15) Bemerkung. 1.) N 0 und der Faktor sind die Kennzahlen des Systems. Sie können im Prinzip gemessen werden. 2.) Die Bedingung (1.) charakterisiert die „Natur des Prozesses“. Hier werden Annahmen gemacht, die meist nicht bewiesen werden können. Selten erfassen sie das betrachtete System präzise. Oft enthalten sie Ungenauigkeiten wie in unserem Beispiel etwa: • Die Anzahl der Bakterien ist eine natürliche Zahl (man sagt N(t) sei diskret), wir habe aber ein kontinuierliches Modell gewählt, N(t) wird als reelle Zahl angenommen. Bei großen Anzahlen liefert das trotzdem meist gute Resultate. • Das Wachstum kann nicht lange so weiter gehen! Nimmt man z. B. den Durchmesser eines Bakteriums mit 2µm an, so hätte man nach einer Woche 1.5 · 10 24 km 3 Bakterienvolumen. Die Erde hat ein Volumen von ca. 10 12 km 3 . Schon nach 5 Tagen wäre das Volumen der Bakterien bei 5.6 · 10 9 km 3 . Das ist offensichtlich nicht möglich. Das Modell kann also nur innerhalb eines gewissen Zeitintervalls Gültigkeit haben. Dann treten Effekte in den Vordergrund, die wir vernachlässigt haben; etwa ein begrenztes Nahrungsangebot. 3.) Jedes Modell nimmt Vereinfachungen vor, die die Gültigkeit begrenzen. Diese Tatsache sollte man nie vergessen, wenn uns bestimmte Behauptungen als „wissenschaftlich erwiesen“ verkauft werden. Der radioaktive Zerfall verläuft nach einem ähnlichen Muster. In festen Zeiteinheiten reduziert sich die Menge um einen festen Faktor. 35
Seite 1 und 2: 17 Exponentialfunktion und Logarith
Seite 3 und 4: Wir notieren ein weitere Konsequenz
Seite 5 und 6: Für a 1 n wird auch n√ a geschri
Seite 7 und 8: Machen Sie sich Skizzen der Graphen
Seite 9: Um dieser Vorgehensweise Sinn zu ge

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