17 Exponentialfunktion und Logarithmus

Für a 1 n wird auch n√ a geschrieben. Aber — existiert eine solche Zahl? Die Antwort
liefert
(17.6) Satz. Zu jedem n ∈ N und a ∈ R ≥0 existiert eine eindeutig bestimmte reelle
Zahl
n √ a mit den Eigenschaften
n√ a ≥ 0 und
(
n√ a
) n
= a.
Beweis (Skizze). Wir betrachten die Menge W := {u ∈ R ; u n ≤ a}. Diese Menge ist
wegen 0 ∈ W nicht leer und durch max{1, a} nach oben beschränkt, besitzt also ein
Supremum s ≥ 0.
Etwas mühsamer ist es, die beiden Annahmen s n < a und s n > a zum Widerspruch zu
führen. Schließlich müsste die Eindeutigkeit gezeigt werden.
Definition. Man nennt n√ a die n-te Wurzel aus a.
(17.7) Bemerkung. 1.) Ein anderer Weg n√ a zu definieren ist die Bijektivität der
Funktion R ≥0 → R ≥0 ; x ↦→ x n zu zeigen und die Umkehrfunktion zu benutzen. Wir
werden das später etwas genauer untersuchen.
2.)
n √ a ist zunächst nur für a ≥ 0 definiert und selbst ≥ 0. Z. B. ist √ 4 = 2 und nicht
etwa −2. Völliger Unsinn wäre es √ 4 = ±2 zu schreiben.
3.)
n √ a zu bestimmen ist genau von der Aufgabe zu unterscheiden die Gleichung x n = a
zu lösen. Eine Lösung dieser Gleichung ist n√ a (und zwar die einzige positive). Ist
n gerade, so hat diese Gleichung zwei Lösungen, nämlich ± n√ a.
4.) Ist n ungerade, so kann man auch n√ a für a < 0 definieren; nämlich durch
n√ √ ( )
a = −
n
−a. Dann gilt n√ n
a = a.
In vielen Lehrbüchern wird dieser Ausdrucke aber undefiniert gelassen. Der Grund
dafür ist, dass für a < 0 die Potenzrechengesetze nicht uneingeschränkt gelten!
(Beispiel?) Man handelt sich also viele Fallunterscheidungen ein.
In jedem Fall gilt, dass im Fall a < 0 die Exponentenschreibweise verboten ist!
5.) VORSICHT! Es gilt immer
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