17 Exponentialfunktion und Logarithmus

Um dieser Vorgehensweise Sinn zu geben, sind mehrere Hilfsaussagen zu beweisen
1. Es muss sichergestellt werden, dass es für jede reelle Zahl x eine Folge rationaler
Zahlen gibt, die gegen x konvergiert.
2. Man muss zeigen, dass der Grenzwert aus der Definition existiert.
3. Es gibt immer (sogar überabzählbar) unendlich viele verschiedene Folgen, die gegen
eine fest reelle Zahl konvergieren. Sind die Grenzwerte aus der Definition alle gleich?
Andernfalls wäre unser Konstrukt nicht wohldefiniert.
4. Was ist mit rationalen Zahlen? Es gibt ja auch Folgen die gegen rationale Zahlen
konvergieren. Man muss zeigen, dass der Grenzwert aus der Definition den früher
definierten Wert liefert. Nur dann ist die Definition konsistent.
5. Schließlich muss die Gültigkeit der Potenzrechengesetze nachgewiesen werden. Dazu
müssen diese Gesetze für die rationalen Zahlen gezeigt werden, dann kann man mit
(15.11) den Beweis relativ leicht führen.
Dieser Weg scheint aufwendiger zu sein, kommt aber ohne eine eigenständige Definition
der Exponentialfunktion aus.
Beispiel. Für 2 √2
könnte man die Folge (q n ) aus dem Heron-Verfahren wählen. Bei
einem Startwert 2 ergibt sich
n 1 2 3 4 5 . . . → ∞
q n 2
3
2
17
12
577
408
665857
. . . → √ 2
470832
2 qn 4 2.828 2.66968 2.665148 2.665144 . . . → 2 √ 2
(
So ist beispielsweise 2 q 5
= 2 √ ) 665857 665857 470832
470832 = 2 ≈ 2.665144.
Vergleichen Sie das mit der Ausgabe Ihres Taschenrechners!
Was passiert, wenn man 470832√ 2 665857 rechnet?
Der allgemeine Logarithmus
Den Logarithmus kann man wie die Exponentialfunktion verallgemeinern. Da die Funktion
R → R >0 ; x ↦→ a x für alle a ∈ ]0, 1[ ∪ ]1, ∞[ = R >0 \ {1}
nach (17.11.3) bijektiv ist, besitzt sie eine (eindeutig bestimmte) Umkehrfunktion
log a : R >0 → R
für jedes a ∈ ]0, 1[ ∪ ]1, ∞[.
Diese Funktion heißt Logarithmus zur Basis a. Jede dieser Funktionen kann durch
jede andere ausgedrückt werden.
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