17 Exponentialfunktion und Logarithmus

Beispiel. In jeder Stunde verdopple sich die Population. Ist N 0 = 1000 = N(0), so gilt
N(1) = 2000 = 1000 · 2 1 , N(2) = 4000 = 1000 · 2 2 usw. Man findet
Tatsächlich gilt
N(t) = N 0 · 2 t = N 0 · e t ln(2) für t ≥ 0.
N(t + s)
N(t)
=
1000 · 2t+s
1000 · 2 t = 2 t+s−t = 2 s =⇒ N(t + s) = 2 s N(t).
Der Zunahmefaktor (hier 2 s ) hängt nur von der verstrichenen Zeitspanne s ab, nicht
aber vom Zeitpunkt t.
Beispiel (Fortsetzung). Mit den obigen Daten gilt etwa N(30 min) = N( 1 2 ) ≈ 1414.2,
und N(24) = N(1 Tag) ≈ 16.8 · 10 9 also 16.8 Milliarden.
Auch hier haben wir eine Modellierung vorgenommen: Ein Vorgang in der Natur wird
mathematisch beschrieben in der Hoffnung eine tieferes Verständnis für den Vorgang zu
gewinnen, und quantitative Voraussagen machen zu können.
(17.15) Bemerkung. 1.) N 0 und der Faktor sind die Kennzahlen des Systems. Sie
können im Prinzip gemessen werden.
2.) Die Bedingung (1.) charakterisiert die „Natur des Prozesses“. Hier werden Annahmen
gemacht, die meist nicht bewiesen werden können. Selten erfassen sie das betrachtete
System präzise. Oft enthalten sie Ungenauigkeiten wie in unserem Beispiel etwa:
• Die Anzahl der Bakterien ist eine natürliche Zahl (man sagt N(t) sei diskret),
wir habe aber ein kontinuierliches Modell gewählt, N(t) wird als reelle Zahl
angenommen. Bei großen Anzahlen liefert das trotzdem meist gute Resultate.
• Das Wachstum kann nicht lange so weiter gehen! Nimmt man z. B. den Durchmesser
eines Bakteriums mit 2µm an, so hätte man nach einer Woche 1.5 ·
10 24 km 3 Bakterienvolumen. Die Erde hat ein Volumen von ca. 10 12 km 3 . Schon
nach 5 Tagen wäre das Volumen der Bakterien bei 5.6 · 10 9 km 3 .
Das ist offensichtlich nicht möglich. Das Modell kann also nur innerhalb eines
gewissen Zeitintervalls Gültigkeit haben. Dann treten Effekte in den Vordergrund,
die wir vernachlässigt haben; etwa ein begrenztes Nahrungsangebot.
3.) Jedes Modell nimmt Vereinfachungen vor, die die Gültigkeit begrenzen. Diese Tatsache
sollte man nie vergessen, wenn uns bestimmte Behauptungen als „wissenschaftlich
erwiesen“ verkauft werden.
Der radioaktive Zerfall verläuft nach einem ähnlichen Muster. In festen Zeiteinheiten
reduziert sich die Menge um einen festen Faktor.
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