17 Exponentialfunktion und Logarithmus

Beweis. Übung!
Wir formulieren einige Eigenschaften der allgemeinen Exponentialfunktion.
(17.11) Satz. Es seien a ∈ R >0 und f : R → R ; x ↦→ a x .
(1) f(x) = a x > 0 für alle x ∈ R
{
fallend falls 0 < a < 1
(2) f ist streng monoton
wachsend falls a > 1
und damit injektiv in diesen Fällen. Der Fall a = 1 ist trivial.
(3) f : (R, +) → (R >0 , · ) ; x ↦→ a x ist für a ∈ R >0 \ {1} ein Gruppenisomorphismus.
Beweis. (1) und (3) direkt aus (17.1.4) bzw. (17.1.7) mit (17.10).
(2) Im Fall a > 1 ist a x = exp(x · ln(a)) die Verkettung zweier streng monoton wachsender
Funktionen x ↦→ x · ln(a) und exp, also selbst streng monoton wachsend.
Im Fall 0 < a < 1 ist ln(a) < 0, also x ↦→ x · ln(a) fallend. Dann gilt das auch für die
Verkettung.
Schließlich einige Eigenschaften der allgemeinen Potenzfunktion.
(17.12) Satz. Es seien p ∈ R und f : R >0 → R ; x ↦→ x p .
(1) f(x) = x p > 0 für alle x ∈ R >0 .
{
fallend falls p < 0
(2) f ist streng monoton
wachsend falls p > 0
und damit injektiv in diesen Fällen. Der Fall p = 0 ist trivial.
(3) f : (R >0 , · ) → (R >0 , · ) ; x ↦→ x p ist für p ∈ R \ {0} ein Gruppenisomorphismus.
Beweis. (1) folgt direkt aus (17.11.1).
(2) Im Fall p > 0 ist x p = exp(p·ln(x)) die Verkettung zweier streng monoton wachsender
Funktionen x ↦→ p · ln(x) und exp, also selbst streng monoton wachsend.
Im Fall p < 0 ist x ↦→ p · ln(x) fallend. Dann gilt das auch für die Verkettung mit exp.
(3) Die Homomorphie steht in (17.10). Nach (2) ist f injektiv. Die Surjektivität wird
später bewiesen.
(17.13) Bemerkung. Wir beschreiben eine alternative Vorgehensweise, die manchmal
auch in Schulbüchern vorgestellt wird.
Wie oben beschrieben werden Potenzen mit rationalen Exponenten definiert. Das ist
zwingend, wenn die Potenzrechengesetze gelten sollen. Um die „Lücken“ zu füllen, werden
Folgen betrachtet. Genauer: Um a x , a > 0, x ∈ R, zu definieren nimmt man eine Folge
(q n ) rationaler Zahlen, die gegen x konvergiert, und setzt
a x := lim
n→∞
a qn falls lim
n→∞
q n = x.
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