Kapitel 9 Quadratische Optimierung

einer exakten Straffunktion
φ k (α) := f(x k + αs k ) + ∑ i∈I 1
σ k i |c i (x k + αs k )| + ∑ i∈I 2
σ k i c + i (xk + αs k )
Zur Durchführung der Liniensuche ist zu beachten, dass die Straffunktion nicht differenzierbar
ist. In 1. Näherung gilt für diese Straffunktion
φ k (α) = f k + αg kT s k + ∑ i∈I 1
σ k i |c k i + αa k i
T
s k | + ∑ i∈I 2
σ k i (c k i + αa k i
T
s k ) + + O(α‖s k ‖)
=: ˆφk (α) + O(α‖s k ‖)
Weiters gilt
B k s k + g k + ∑
i∈I 1 ∪I 2
µ k i a k i = 0
∧
∧
µ k i (β i c k i + a k T
i s k ) = 0 =⇒
i∈I 1 ∪I 2
g kT s k = −s kT B k s k + ∑
i∈I 1 ∪I 2
µ k i β i c k i
≤ −s kT B k s k + ∑ i∈I 1
β i |µ k i | |c k i | + ∑ i∈I 2
µ k i β i (c k i ) +
wobei
{
1 − δ
k
für i ∈ I
β i :=
1 ∪ I2
k+
1 für i ∈ I2
k0
Durch mehrere Fallunterscheidungen überlegt man sich, dass
Damit ist
r k : = ˆφ k (1) − ˆφ k (0)
|c k i + a k i
T
s k | − |c k i | = −β i |c k i |
(c k i + a k T
i s k ) + − (c k i ) + ≤ −β i (c k i ) +
= g kT s k + ∑ i ∈ I 1
σ k i (|c k i + a k i
T
s k | − |c k i |) + ∑ i∈I 2
σ k i (max{c k i + a k i
T
s k , 0} − max{c k i , 0})
≤ −s kT B k s k − ∑ i∈I 1
β i (σ k i − |µ k i |)|c k i | − ∑ i∈I 2
β i (σ k i − |µ k i |) max{c k i , 0}
≤ −s kT B k s k < 0
vorausgesetzt, dass x k kein stationärer Punkt ist, der die Kuhn–Tuckerbedingungen 1.Ordnung
erfüllt (dann wäre s k = 0) und σ k ≥ |µ k | und δ k < 1 (ist δ k < 1 nicht möglich, sind
die in x k verletzten Nebenbdingungen degeneriert.)
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