Kapitel 9 Quadratische Optimierung

9.1.2 Lösung von (QP’) mit der verallgemeinerten Eliminationsmethode
Es seien nun S,Z wie im letzten Abschnitt beschrieben, x 0 eine spezielle Lösung von A T x =
b. Da
A T x = b ⇐⇒ x = x 0 + Zp, p ∈ R n−m
folgt
∧
x∈R n
Ax=b
q(x) = q(x 0 + Zp) =: ψ 0 (p)
Wir zeigen nun, daß das freie Optimierungsproblem, die Funktion ψ 0 (p) bezüglich p ∈ R n−m
zu minimieren, äquivalent mit (QP ′ ) ist. Nach der Kettenregel folgt
∇ p ψ 0 (p) = Z T ∇ x q(x) = Z T g(x) (reduzierter Gradient),
∇ 2 pψ 0 (p) = Z T (∇ 2 xq(x))Z = Z T GZ (reduzierte Hessematrix).
Lemma 9.1 1. ¯x = x 0 + Z ¯p ist genau dann ein stationärer Punkt für (QP ′ ), wenn ¯p
stationärer Punkt von ψ 0 ist (d.h. ∇ p ψ 0 (¯p) = 0).
2. ¯x ist genau dann lokales Minimum für (QP ′ ), wenn es auch globales Minimum ist. ¯p
ist genau dann lokales Minimum von ψ 0 , wenn es auch globales Minimum ist.
3. ¯x = x 0 + Z ¯p ist genau dann lokales Minimum von (QP ′ ), wenn ¯p lokales Minimum
von ψ 0 ist.
Bestimmung von ¯p: Notwendige Bedingung ∇ p ψ 0 (¯p) = Z T g = 0 ⇒
Z T (d + G¯x) = Z T (d + G(x 0 + Zp)) = Z T (d + Gx 0 ) + Z T GZ ¯p = 0 ⇒
Bestimmung der Lagrangemultiplikatoren ¯λ
Z T GZ ¯p = −Z T g 0
A¯λ = −g ⇒ ¯λ = S T A¯λ = −S T g
Numerische Realisierung im Falle der orthogonalen Faktorisierung:
Zur Berechnung von
x 0 = Sb
¯p
ist durchzuführen
x 0 = Q 1 y, wobei y durch Lösen von R1 T y = b gefunden
wird
Bestimmen von Z T GZ und Z T g 0 mit Z = Q 2 , Lösen
des Gleichungssystems
Z T GZ ¯p = −Z T g 0
¯x
¯λ
durch LDL T –Zerlegung, dabei kann gleichzeitig festgestellt
werden, ob Z T GZ positiv (semi) definit ist.
¯x = x 0 + Z ¯p
Lösen von R 1¯λ = −Q
T
1 g
80