Kapitel 9 Quadratische Optimierung

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Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 Allgemeine Problemstellung und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Klassifizierung von Optimierungsproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Lösungsbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Literatur und Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Ergänzende Grundlagen und Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.1 Topologische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.2 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.3 Verwendung der Symbole O und O . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.4 Verwendete Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.5 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 I Freie nichtlineare Optimierung 16 2 Theoretische Grundlagen 18 2.1 Existenz von Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Notwendige und hinreichende Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Ein grundlegender Modellalgorithmus 22 3.1 Der Liniensuchalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Abstiegsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Algorithmen zur Liniensuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 Das Verfahren des steilsten Abstiegs 30 102
5 Newtonähnliche Verfahren 32 5.1 Das Newtonverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.1.1 Lokale Konvergenzeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.1.2 Die modifizierte Choleskyzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.1.3 Trust–Region–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.1.4 Levenberg–Marquardt–Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.2 Quasi–Newtonverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2.1 Konvergenzgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2.2 Globale Konvergenzeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2.3 Limited Memory Quasi–Newton Verfahren . . . . . . . . . . . . . . 46 6 Die Methode der konjugierten Gradienten 48 6.1 Quadratische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.2 Nichtlineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2.1 ”Truncated” Newton–Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2.2 Nichtlineares CG–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 7 Praktische Hinweise 55 7.1 Skalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.2 Abbruchkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 II Nichtlineare Optimierung mit Nebenbedingungen 60 8 Theoretische Grundlagen 61 8.1 Tangentialkegel, Kegel der Abstiegsrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.2 Theorie der linearen Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 8.3 Die Kuhn-Tucker Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 9 Quadratische Optimierung 77 9.1 Gleichungsrestriktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 9.1.1 Lösung linearer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 9.1.2 Lösung von (QP’) mit der verallgemeinerten Eliminationsmethode . 80 9.1.3 Lösen von (QP’) mit der Lagrange-Methode . . . . . . . . . . . . . 81 9.2 Aktive–Indexmengen–Strategie zur Lösung von (QP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 9.2.1 Positiv definite quadratische Optimierung . . . . . . . . . . . . . . 82 9.2.2 Allgemeine quadratische Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . 85 9.3 Lösung von (QP) mit Inneren–Punkt–Methoden . . . . . . . . . . . . . . . 87 9.3.1 Der zentrale Pfad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 9.3.2 Ein Prädiktor-Korrektor Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 103
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Seite 19 und 20: 2. Sei ¯x ∈ Ω ein lokales Minim
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Seite 23 und 24: Die Funktion ˆφ k (α) ist konvex
Seite 25: Literaturverzeichnis [1] J. F. Bonn

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