Nieswurz Bienen und Karnickel alles Mathematik

Abschluß-Veranstaltung 

zum 

Jahr der Mathematik 

2008 

Nieswurz, Bienen und Karnickel - überall Mathematik 1

Nieswurz, Bienen und Karnickelüberall 

Mathematik 

Vortrag zum Jahr der Mathematik 

2008 

Kinderhochschule Mannheim 


Reise ins Mittelalter 


Geschichte der Mathematik 

Leonardo di Pisa 

Fibonacci Zahlenfolge 

in der Geometrie 

in der Pflanzenwelt 

in der Tierwelt 

in der Moderne 

rätselhafter Abschluss 

Europa 

Griechen 


Ägypter 

Mittelalter 

Renaissance 

Barock 

Aufklärung 

Babylonier 

Araber 

Inder 

Weltmathematik 

Chinesen 

Mayas ? 

Japaner 

3000 v. Chr. 

2000 v. Chr. 

1000 v. Chr. 

0. 

1000 n. Chr. 

2000 n. Chr. 

West 

Ost 










Der Weg der Mathematik nach Europa 


Leonardo di Pisa (geb. um 1180 gest. nach 1241) 


Leonardus Pisanus de filiis Bonacci 


Leonardo di Pisa reiste viel 

Mit etwa 12 Jahren 

zog Leonardo 

mit seinem Vater 

nach Bejaja 

an der Nordküste 

Algeriens - 

dort lernte er die 

arabische 

Mathematik des 

Al Chwarizmi 

kennen 


ömische und indo-arabische Zahlen 

I V X L C D M 

MMVIII 

1 5 10 50 100 500 1000 2008 

indisch 3. Jhd. vor Chr. 

indisch 8. Jhd. 

Westarabisch 11. Jhd. 

Europäisch 15. Jhd. 

Europäisch 16. Jhd. 

Neuzeit 20 Jhd. 


Abacus und mehr ... 


Abakus : Rechenbrett oder Rechentisch 

pythagoräische Rechentafel 

mit Rechensteinchen: calculi 

späterer römischer Abacus 


Hauptwerk Fibonaccis: Ablösung des Abacus 

Bild des Karthäuserpriors Gregor 

Reisch aus dem Jahre 1503 zeigt zur 

Linken der Arithmetica den altgriechischen 

Gelehrten Pythagoras mit einem 

Rechenbrett. Zur Rechten ist der spätrömische 

Philosoph Boetius zu sehen, 

der bereits mit den neuen arabischen 

Ziffern rechnet. 

Da der Blick der Arithmetica bereits in 

Richtung der arabischen Ziffern geht 

und auch ihr Gewand damit bedeckt ist, 

scheint der Streit zwischen »Abakisten« 

und »Algoristen« bereits entschieden. 

So hat sich das Ziffernrechnen bei den 

Mathematikern und Astronomen auch 

sehr schnell durchgesetzt. Der Abakus 

spielte nur noch im kaufmännischen 

Bereich eine Rolle und wurde in der 

Französischen Revolution endgültig 

verboten. 


1202 liber abbaci (1201?) 

1220 Practica geometriae (1219?) 

1225 Flos * 

Liber quadratorum 

1227 zweite Edition des liber abbaci 

Fibonaccis Bücher 

Der Liber abbaci ist in 15 Kapitel (capitula) eingeteilt: 

Das umfangreichste Kapitel 12: De solutionibus multarum 

positarum questionum quas erraticas appellamus - Von den 

Lösungen vieler Fragen, die wir als erratische bezeichnen. 

ist seinerseits in 9 Unterkapitel eingeteilt, von denen das 

7. Kapitel die berühmte Kaninchenaufgabe enthält. 

De reliquis erraticis, que ad inuicem in eorum regulis 

uariantur: Von den übrigen erratischen Aufgaben, die 

sich untereinander in ihren Lösungswegen unterscheiden 

* flos, floris lateinisch bedeutet Blume oder Mehl 


Fibonacci-Zahlen in der Tierwelt 

Das Kaninchen-Problem: Regeln 

- jedes Kaninchenpaar wird im Alter 

von 2 Monaten gebärfähig 

- jedes Paar bringt von da an jeden 

Monat ein neues Paar zur Welt 

- Alle Kaninchen leben ewig 


Wie ginge es weiter mit den Kaninchen ? 

8 

13 

21 

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 ...... 


Die Fibonacci-Zahlenfolge F n 

Wir starten mit den Zahlen: F 0 =1 und F 1 =1 

1+1=2 

1+2=3 

2+3=5 

3+5=8 

5+8=13 

8+13=21 

…. 

…. 

…. 

F 

n 

= F 

− 2 + F 

n n−1 

I(n) 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 


Formel von Jacques Philippe Marie Binet (1843) 

⎛ n 

1 ⎛1+ 5 ⎞ ⎛1− 

5 ⎞ 

I(n) = ⎜ 

− 

5 ⎜⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 

⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 

n 

n 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 


Die Fibonacci Zahlenfolge 

Die rekursive Formel zur Berechnung der Glieder der 

Fibonacci-Folge lautet: 

Das nächste Folgeglied F n+1 berechnet sich aus der Summe 

seiner unmittelbaren beiden Vorgänger ! 

144 

5 

5 6 

6 7 

7 

8 

9 

10 

5 

5 8 

8 13 

13 

21 

34 

55 

8 

8 13 

13 21 

21 

34 

55 

89 

F n+1 =F n +F n-1 

n 

1 

2 

3 

4 

11 

F n 1 

1 

2 

3 

89 

F n+1 1 

2 

3 

5 

144 

F n /F n+1 

1 

0,5 

0,667 0,666 

0,6 

0,625 

0,615 

0,619 

0,618 

0,618 

0,618 

0,618 

F n+1 

/F n 

1 2 1,5 1,667 51,6 

1,625 1,615 1,619 1,618 81,618 

81,618 

bei allen Werten nur die ersten drei 

Nachkommastellen, nicht gerundet 


Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt 

Verhältnis zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen 

Fn+1 / Fn 

2,0 

F(n+1)/F(n) 

1,8 

1,6 

1+ 

5 

Φ = 

2 

≈ 1, 

618034 

1,4 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 

n 


Der Goldene Schnitt 

ein wenig Mathematik kann jetzt nicht schaden: 

ax² + bx + c = 0 hat dieLösungen : x = 

1/ 

2 

2 

− b ± b − 4ac 

2a 



Wer jetzt ein Schreck bekommen hat … 

hier die Alternative: 

⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ 

x² + px + q = 0 hat dieLösungen x1/ 

2 = − ⎜ ⎟ ± ⎜ ⎟ − q 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

a 

Wir definierendasGrößenverhältnis : x 

b = 

Die Ausgangsgleichung war : 

b a + b 

= 

a a 

a a + b b a 

= = 1+ 

wir setzen x für 

b a a b 

nunder Kehrwert 

Nieswurz, Bienen und Karnickel - überall Mathematik 20 

ein 

1 

x = 1+ wir multiplizieren mit x ≠ 0 und erhalten 

x 

x² = x + 1 wir subtrahieren x + 1 underhalten 

x² − x − 1 = 0 

2


−( − 1) ± ( −1)² − 4⋅1⋅( − 1) 

1± 

5 

x1/ 

2 = = 

2 2 

1 1 1 1 

x 1 = + 5 = 1, 61803... und x 2 = − 5 = −0, 61803... 

2 2 2 2 

addieren wir beideLösungen : 

1 1 1 1 

+ 5 + − 5 = 0 sieht man, dasssiesich zu 1 

2 2 2 2 

die positive Zahl x nennt man 

Φ 

1 

Φ = + = 

Φ 

1 

1 lim 

n+ 

1 

n→∞ 

F n 

ergänzen 

löst die Gleichung des goldenen Schnittes 

F 

Φ 

Hier ist eine Verbindung 

zu den Fibonacci-Zahlen 


Das regelmäßige Fünfeck 


Goldener Schnitt und Knoten 

Hinweis von H.Schnitzspan 


Goldene Rechtecke 

im Vergleich 

dazu DIN A4 


Wir bleiben in der Tierwelt: Nautilus 

3 

2 

1 1 

5 

8 


Fibonacci-Spiralen 


1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 .... 


Romanescu 

69 

8 5 

7 6 

10 

7 

11 

12 

13 8 

14 

9 

15 

16 

1718 

10 

19 

11 12 

20 

54 

4 

3 

3 

2 

2 

1 

1 

21 

13 

1 

1 

2 

3 

5 

8 

13 

21 


Blumenkohl 

5 

8 

1 

1 

2 

3 

5 

8 

13 

21 


Pinus maritima 

1 

2 

3 

5 

8 

13 

21 

... 


Fibonacci Zahlen in der Pflanzenwelt 

Nieswurz – eine heimische Pflanze 

8 

5 

3 

2 

1 

1 

Helleborus foetidus : Stinkende Nieswurz 


Fibonacci und Blumenblüten 


Fibonacci-Zahlen bei Bienen 


Wer sind die Eltern ? 

Königinnen-Baustein 

Drohnen-Baustein 

Eltern der Königin 

Eltern der Drohne 


D K 

Z 

Generation 

21 34 55 

9 

13 21 34 

8 

8 13 21 

5 8 13 

3 5 8 

2 3 5 

1 2 3 

1 1 2 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

0 1 1 

Nieswurz, Bienen und Karnickel - überall Mathematik 35 

1









Fibonacci Zahlen in der Moderne 

Leonardo da Vinci 

De divina proportione 

1451-1519 


Fibonacci und corporate design 


Fibonacci und Wirtschaft 

Trading nach neuen Fibonacci- 

Regeln. Workbook. 

Schritt für Schritt zum Börsenerfolg 

(Taschenbuch) 


Fibonacci im Film 

Quellen: 

A.Beutelspacher/B.Petri: 


http://de.wikipedia.org/wiki 

/Fibonacci 

http://www.ijon.de/mathe/ 

fibonacci/node8.html 


Quellen und weitere Literatur 

Heinz Lüneburg: Leonardo Pisani Liber 

Abbaci oder Lesevergnügen eines 

Mathematikers, BI Wissenschaftsverlag 

ISBN 3-411-15462-4 

Ian Stewart: Die Zahlen der Natur, 

Mathematik als Fenster zur Welt, Spektrum 

Akademischer Verlag ISBN 3-8274-1123-8 

Ian Stewart: Das Rätsel der Schneeflocke – 

Die Mathematik der Natur, Spektrum 

Akademischer Verlag, 

ISBN 078-3-8274-1934-7 

Pädagogisches Zentrum Rheinland-Pfalz: 

Mathematik begreifen; Ausstellungsband 

Katalog C/2004 www.mathematikbegreifen.de 

Norbert Herrmann: Können Hunde rechnen? 

Oldenbourg Verlag,2007, ISBN 978-3-486- 

58021-1 

Albrecht Beutelspacher: Pasta all‘infinito dtv 

2006, ISBN 3-406-45404-6 

Albrecht Beutelspacher & Marcus Wagner: 

Wie man durch eine Postkarte steigt, Herder 

2008, ISBN 978-3-451-29643-7 

Albrecht Beutelspacher: Christian und die 

Zahlenkünstler, dtv 2005, ISBN 978-3-423- 

62332-2 

Ian Stewart: Die wunderbare Welt der 

Mathematik, Piper 2007, ISBN 978-3-492- 

24978-2 

Carol Vorderman: Spannende Welt der 

Mathematik, DK-Verlag 2008, ISBN 978-3- 

8310-1183-4 


ein rätselhafter Abschluss 


Wer weiß noch was ? 














zum guten Schluß: 

Bitte sitzen bleiben, 

denn .... 

Gruppenfoto und ... 


Wenn es Euch Spaß gemacht hat, geben wir 

Euren Dank gerne an die Kinderkrebshilfe 

Waldpiraten-Camp Heidelberg weiter ! 

Wir sagen 

DANKE !

Nieswurz Bienen und Karnickel alles Mathematik

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