Übungen zur Vorlesung “Mathematische Konzepte II” SS 2013 Blatt 2

Übungen zur Vorlesung “Mathematische Konzepte II”
SS 2013 Blatt 2
Aufgabe 5: Wegintegrale I
Berechnen Sie das Wegintegral ∫ F · dr längs eines Viertelkreisbogens in der x-y-Ebene um
den Ursprung x = y = 0 vom Punkt (0, 1) zum Punkt (1, 0). Das „Kraftfeld” sei
(i) F = (y, 0),
(ii) F = (y, x).
Aufgabe 6: Wegintegrale II
Durch die Parameterdarstellung
r(t) =
( ) a sin t
, 0 ≤ t ≤ π b cos t
2
ist ein Ellipsenbogen L mit Halbachsen a und b in der x-y-Ebene gegeben: (x/a) 2 +(y/b) 2 =
1. Berechnen Sie mittels ∫ F · dr und F = (y, 0) die Fläche, und mittels ∫ |dr| den Umfang
der
L L
Ellipse.
Hinweis: Bei der Berechnung des Umfangs landet man bei dem „elliptischen Integral”
∫ π/2
0
dt √ a 2 + (b 2 − a 2 ) sin 2 t, das nicht mehr elementar ausgewertet werden kann. Konzentrieren
Sie sich an dieser Stelle auf den Fall a = b (Kreisumfang).
Aufgabe 7: Fluss eines Vektorfeldes
Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes A(r) = r durch (i) die Mantelfläche und (ii) die
gesamte Oberfläche eines Zylinders mit Radius R und Länge L, dessen Schwerpunkt im
Ursprung liegt.
Hinweis: Für eine der Teilaufgaben ist der Gauß’sche Integralsatz nützlich.
Aufgabe 8: Partielle Integration von Vektorfeldern
a) Zeigen Sie formal mit Hilfe des Nabla-Operators, dass
b) Zeigen Sie mit Hilfe von a), dass
∫
∫
d 3 r ϕ(r) div A(r) =
V
div (ϕ(r)A(r)) = ϕ(r) div A(r) + A(r) · grad ϕ(r).
F(V )
∫
df · ϕ(r)A(r) −
V
d 3 r A(r) · grad ϕ(r).
Hier bezeichnet F(V ) die Oberfläche, die das Volumen V einschliesst.

c) Zeigen Sie mit Hilfe von b), dass für zwei Skalarfelder ϕ(r) und ψ(r) gilt:
∫
∫
∫
d 3 r ϕ(r) ∆ ψ(r) = df · ϕ(r) grad ψ(r) − d 3 r grad ϕ(r) · grad ψ(r)
V
F(V )
mit ∆ ψ(r) = div grad ψ(r). Dies ist der 1. Green’sche Satz.
Aufgabe 9: Elektrischer Dipol
a) Sei φ(r) ein Skalarfeld. Begründen Sie, dass φ(r + ɛ) = φ(r) + ɛ · ∇φ(r) + O(ɛ 2 ) den
Beginn der Taylor-Entwicklung von φ(r) an der Stelle r darstellt.
b) Berechnen Sie das Potential φ Dip (r) eines idealisierten Dipols gemäss
φ Dip (r) =
lim q [φ Mon(r − a) − φ Mon (r)],
q→∞,a→0
wobei φ Mon (r) = (4πɛ 0 r) −1 das Potential einer Einheitsladung bei r = 0 darstellt.
Beachten Sie, dass bei der Bildung des Limes qa = p = konstant gehalten werden
muss.
c) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke E Dip (r) = −∇φ Dip (r) des idealisierten Dipols.
Wie verhält sie sich in grosser Entfernung?
V