Übungsblätter

Blatt 1 Vorkurs Mathematik WS 2009/2010
Ein kleiner Test (natürlich anonym)
a) Diskutieren Sie die Funktionen
(1) f(x) = x 4 − x 2 ,
(2) f(x) = sin(4x),
(3) f(x) = e x ,
(4) f(x) = ln(1 + x).
Skizzieren Sie die Funktionen, berechnen Sie die erste und die zweite Ableitung, bestimmen Sie
Minima, Maxima und ggfs. Wendepunkte.
b) Bestimmen Sie die Stammfunktionen der Funktionen
(1) f(x) = x 7 ,
(2) f(x) = √ x/3,
(3) f(x) = − cos(3x),
(4) f(x) = (3 + 2x) −1 .
c) Berechnen Sie die bestimmten Integrale
∫ 2
0
x 3 dx,
∫ π
0
cos(2x)dx,
∫ π
0
x sin(x)dx.
d) Berechnen Sie den Betrag der Vektoren
sowie das Skalarprodukt ⃗a ·⃗b.
⃗a =
( ( ) 1
, ⃗ 2 b =
5)
3
e) Berechnen Sie den Betrag der komplexen Zahlen z 1 = 1 + 2i, z 2 = 5 + i sowie deren Produkt
z 1 z 2 . Hier ist i die imaginäre Einheit mit i 2 = −1. Bestimmen Sie 1/z 1 und 1/z 2 .
f) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die (normierten) Eigenvektoren der Matrix
( )
2 5
A = .
0 7

1 Dimensionsanalyse
Wie schnell muß ein Auto, das eine Tonne wiegt, fahren, damit die Kraft des Luftwiderstandes vergleichbar
mit seinem Gewicht ist? Die Querschnittsfläche des Wagens sei 2 m 2 und die Dichte der Luft
1 kg/m 3 . Wir nehmen an, dass der Luftwiderstand vom Querschnitt A, von der Geschwindichkeit des
Wagens v und von der Dichte der Luft ρ, die der Wagen vor sich herschiebt, abhängt:
Finden Sie p, q, r!
F Wider. ∼ A p ρ q v r .
2 Irrationale Zahlen, Widerspruchsbeweis
Zeigen Sie, dass √ 2 irrational ist, das heißt, es gibt keine natürlichen Zahlen m und n mit
√
2 =
m
n .
Führen Sie einen sogenannten Widerspruchsbeweis, d.h. zeigen Sie, dass die Annnahme, es gäbe m, n
mit der gewünschten Eigenschaft, zu einem Widerspruch führt. Zeigen Sie zunächst folgende Aussagen:
a) Es genügt, teilerfremde natürliche Zahlen m, n zu betrachten.
b) Das Quadrat einer geraden Zahl ist immer ein geraden Zahl, und das Quadrat einer ungeraden
Zahl ist immer ein ungeraden Zahl.
3 Betrag
Der Betrag einer reellen Zahl x ist definiert als
{
x falls x ≥ 0
|x| :=
−x falls x < 0
Zeigen Sie
a) |x| ≥ 0
b) |x| = 0 ⇔ x = 0
c) |xy| = |x| |y|
d) |x + y| ≤ |x| + |y|
e) |x − y| ≥ ∣ ∣ |x| − |y|
∣ ∣
4 Abbildungen
Die Abbildungen f : A → B und g : B → C seien beide eineindeutig, d.h. die Umkehrabbildungen
f −1 und g −1 existieren. Zeigen Sie, dass auch die Verknüpfung g ◦ f : A → C eineindeuting ist, d.h.
(g ◦ f) −1 existiert, und dass gilt (g ◦ f) −1 = f −1 ◦ g −1 .

Blatt 2 Vorkurs Mathematik WS 2009/2010
5 Basiswechsel
a) Schreiben Sie a x als Potenz von b.
b) Schreiben Sie log a (x) mit Hilfe des Logarithmus zur Basis b.
6 Logarithmen
a) Berechnen Sie log 2 8, log 3 81 und log 5 5 n .
b) Lösen Sie die Gleichung 3 x · 9 (x2) = 27 nach x auf.
7 Stetige Funktionen
Gegeben sind die Funktionen
[
f(x) = ∣ x + 1 ]
∣
− x∣, g(x) =
2
x 4
(x 2 − 1)|x| .
Geben Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich an, entscheiden Sie wo die Funktionen stetig sind
und skizzieren Sie die Funktionen. Dabei bezeichnet die sogenannte Gauß-Klammer [x] die größte
ganze Zahl ≤ x, also z.B. [2.2762987] = 2 = [2].
8 Rationale Funktionen
Bestimmen Sie die Pole und Nullstellen sowie das Verhalten für x → 0, ±∞ der rationalen Funktionen
9 Polynomdivision
f(x) = x3 − 1
x 2 − 1 , g(x) = x2 + x − 2
x 2 .
+ 1
Führen Sie mit den rationalen Funktionen aus Aufgabe 8 sowie mit
eine Polynomdivision durch.
h(x) = x3 + 4x 2 − 10x + 1
x − 2

Blatt 3 Vorkurs Mathematik WS 2009/2010
10 Hyperbolische Funktionen
Bestimmen Sie den Funktionswert für einige Argumente x und skizzieren Sie den Graphen für die
folgenden, sogenannten hyperbolischen Funktionen:
a) sinh(x) = ex − e −x
2
b) cosh(x) = ex + e −x
2
c) tanh(x) = sinh(x)
cosh(x)
d) coth(x) = cosh(x)
sinh(x)
(sinus hyperbolicus)
(cosinus hyperbolicus)
(tangens hyperbolicus)
(cotangens hyperbolicus)
11 Hyperbolische Funktionen: Additionstheoreme
Beweisen Sie unter Verwendung von e x+y = e x e y folgende Additionstheoreme:
a) sinh(x + y) = sinh(x)cosh(y) + cosh(x)sinh(y)
b) cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + sinh(x)sinh(y)
c) cosh 2 (x) − sinh 2 (x) = 1
d) 2 cosh 2 (x) = cosh(2x) + 1
12 Summenformeln, Geometrische Reihe
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ N 0 := N ∪ {0} gilt:
a)
n∑
k=0
k 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1);
6 b)
∑ n
k=0 xk = 1−xn+1
1−x
, falls x ∈ R\{1}
13 Binomische Formel
Beweisen Sie durch vollständige Induktion die binomische Formel
n∑
( n
(x + y) n = x
m)
m y n−m
für alle x, y ∈ R, n ∈ N 0 .
( n n!
Der Binomialkoeffizient ist definiert als = , wobei 0! = 1, n! = n(n − 1)!
m)
m!(n − m)!
( ) ( ( )
n + 1 n n
Hinweis: Beweisen Sie zuerst = +
m m)
m − 1
m=0
Hinweis: Vollständige Induktion
Ein Beweis durch vollständige Induktion besteht aus zwei Teilen: (i) dem Beweis der Behauptung
für das erste n (Induktionsanfang) (ii) dem Beweis der Behauptung für den Fall n + 1 unter der
Voraussetzung, dass sie für n bereits bewiesen ist (Induktionsschluss oder Vererbung).

Blatt 4 Vorkurs Mathematik WS 2009/2010
14 Quotientenregel
Leiten Sie die Quotientenregel mit Hilfe der Produkt- und der Kettenregel her.
15 Ableitungen
Leiten Sie folgende Funktionen nach x ab:
a) b x , x α , log b x, mit b ∈ R + , α ∈ R
b) ln |f(x)| mit einer beliebigen, differenzierbaren Funktion f(x)
c) x x
d) exp(1/x), xexp(x)
e) 1 + x
1 − x
16 Ableitung der trigonometrischen Umkehrfunktionen
Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen sinx, cosx, tanx und cotx. Zeigen Sie jeweils durch
Ableiten der Umkehrfunktion, dass gilt:
a)
b)
c)
d)
d
dx arcsinx = 1
√
1 − x
2
d
dx arccosx = − 1
√
1 − x
2
d
dx arctanx = 1
1 + x 2
d
dx arccotx = − 1
1 + x 2
17 Hyperbolische Funktionen: Umkehrfunktion
Zeigen Sie mit Hilfe der Relation x = ln(e x ), dass
Arsinh(x) = ln(x + √ x 2 + 1)
(area sinus hyperbolicus)
die Umkehrfunktion von sinh(x) ist.
a) Leiten Sie obige Darstellung von Arsinh(x) nach x ab.
b) Berechnen Sie die Ableitung von sinh(x) unter Verwendung der Formel für die Ableitung der
Umkehrfunktion.
Zeigen Sie in gleicher Weise, die entsprechenden Darstellungen der Übrigen hyperbolischen Umkehrfunktionen
und berechnen Sie deren Ableitungen.
Arcosh(x) = ln(x + √ x 2 − 1), Artanh(x) = 1 ( ) 1 + x
2 ln , Arcoth(x) = 1 ( ) x + 1
1 − x
2 ln x − 1
Hinweis: cosh 2 (x) − sinh 2 (x) = 1.

Blatt 5 Vorkurs Mathematik WS 2009/2010
18 Grenzwerte
Zeigen Sie, dass für alle α > 0 gilt:
x α
lim
x→∞ e x = 0,
lim lnx
x→∞ x α = 0.
Das bedeutet, dass die Exponentialfunktion stärker steigt als jede Potenz und jede Potenz strker steigt
als der Logarithmus.
19 Regel von l’Hospital
Berechnen Sie mit Hilfe der Regel von l’Hospital die Grenzwerte
e x − 1 − x
lim
x→0 x 2 , lim
wobei α > 0 und p(x) Polynom in x vom Grad n
1 − coshx
x→0 x
, lim
x→∞ p(x)e−αx ,
20 Mittelwertsatz
Beweisen Sie die Ungleichung e x ≥ 1 + x für alle x ∈ R. Verwenden Sie dazu den Mittelwertsatz für
die Funktion f(x) = e x im Intervall [0, x] bzw. [x, 0] und die Monotonie der Exponentialfunktion, d.h.
e a < e ξ < e b für a < ξ < b. Unterscheiden Sie die Fälle x = 0, x > 0 und x < 0.
21 Taylor-Entwicklung
Zeigen Sie folgende Taylor-Entwicklungen:
a) √ 1 + x = 1 + 1 2 x − 1 8 x2 + 1 16 x3 − 5
128 x4 ± . . .
b) ln(1 + x) = x − x2
2 + x3
3 − x4
4 ± . . . = − ∞ ∑
22 Lineare Näherung
k=1
(−x) k
Bestimmen Sie die lineare Näherung der folgenden Funktionen in der Nähe von x = 0:
k
a) sinh(x) b) tan(x) c)
x
e x − 1

Blatt 6 Vorkurs Mathematik WS 2009/2010
23 Komplexe Zahlen
Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von
a)
1 (1 + 2i)2
, b) .
1 + i 2 + 3i
24 Komplexes Gleichungssystem
Lösen Sie das Gleichungssystem
ix + 3y = 1,
2x + iy = 2i.
25 Komplex Konjugiertes
Zeigen Sie für beliebige z 1 , z 2 ∈ C, dass
a) (z 1 + z 2 ) ∗ = z ∗ 1 + z∗ 2
b) (z 1 z 2 ) ∗ = z ∗ 1 z∗ 2
c) (z ∗ ) ∗ = z
d)
(
z1
) ∗
= z∗ 1
z 2 z2
∗ , wobei z 2 ≠ 0
e) z ∈ R ⇔ z ∗ = z
26 Komplexe Zahlen II
a) Berechnen Sie e i3π/2 .
b) Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
z n − 1 = 0, n ∈ N, z ∈ C.
Schreiben Sie die Nullstellen in der Form re iφ . Skizzieren Sie die Lösungen für n = 3, 4 in der
Gaußschen Ebene.
c) Zeigen Sie, dass (cosz + i sinz) n = cos(nz) + i sin(nz) für alle z = a + ib ∈ C.
d) Beweisen Sie das Additionstheorem sin(3x) = 3 sin(x) − 4 sin 3 (x).

Blatt 7 Vorkurs Mathematik WS 2009/2010
27 Integrale
Berechnen Sie folgende Integrale:
∫ ∫
a) dx lnx, dx xlnx,
b)
c)
d)
e)
∫
∫
∫
∫ 4
1
dx tan(x),
dx √ 1 − x 2 ,
dx
∫
∫
1
1 − x 2 ,
dx exp(√ x)
√ x
∫
∫
dx cos(x)sin(x),
dx
dx √ 1 + x 2
x 4
1 + x 2 ,
dx (ln x) 2
28 Rekursionsformel für Integrale
Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N gilt:
Γ n =
∫ ∞
0
∫
dx sin(x)cos(x)
1 + cos 2 (x)
dx x n−1 e −x = (n − 1)!
Hinweis: Leiten Sie durch partielle Integration eine Rekursionsformel für Γ n her.
29 Skalarprodukt
Für Vektoren ⃗v, ⃗w ∈ R n sei das Skalarprodukt ⃗v · ⃗w = ∑ n
k=1 v kw k gegeben. Zeigen Sie folgende
Eigenschaften:
a) ⃗v · ⃗v ≥ 0, wobei ⃗v · ⃗v = 0 ⇔ ⃗v = ⃗0
b) Die k-te Komponente v k des Vektors ⃗v ist durch v k = ⃗e k · ⃗v gegeben und somit gilt
n∑
⃗v = ⃗e k (⃗e k · ⃗v).
30 Vektorprodukt
Für die Vektoren ⃗a, ⃗ b ∈ R 3 ist das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) durch den Ausdruck
⎛
⃗a × ⃗ b = ⎝ a ⎞ ⎛
1
a 2
⎠ × ⎝ b ⎞ ⎛
1
b 2
⎠ = ⎝ a ⎞
2b 3 − a 3 b 2
a 3 b 1 − a 1 b 3
⎠
a 3 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1
definiert. Zeigen Sie die Beziehungen
a) ⃗a × ⃗ b = − ⃗ b ×⃗a
b) ⃗a · ( ⃗ b ×⃗c) = ⃗ b · (⃗c ×⃗a) = ⃗c · (⃗a × ⃗ b)
c) ⃗a × ( ⃗ b × ⃗c) = ⃗ b(⃗a · ⃗c) − ⃗c(⃗a ·⃗b)
d) ⃗a × ( ⃗ b × ⃗c) +⃗c × (⃗a × ⃗ b) + ⃗ b × (⃗c ×⃗a) = ⃗0
k=1

Blatt 8 Vorkurs Mathematik WS 2009/2010
31 Matrixmultiplikation
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ N gilt:
⎛
⎝ 1 1 0 ⎞n
⎛
0 1 1⎠
= ⎝ 1 n 1 ⎞
2n(n − 1)
0 1 n ⎠ .
0 0 1 0 0 1
32 Lineare Gleichungen
a) Berechnen Sie das Inverse der Matrix
⎛
A = ⎝ 1 2 3 ⎞
2 1 0⎠.
1 0 2
b) Lösen Sie die linearen Gleichungssysteme
⎛
⎝ 1 2 3 ⎞ ⎛
2 1 0⎠⃗x = ⎝ 4 ⎞
4⎠ ,
1 0 2 4
⎛
⎞ ⎛ ⎞
2 2 −2 −4 −2
⎜0 4 4 3
⎟
⎝0 2 2 3 ⎠ ⃗x = ⎜14
⎟
⎝10⎠ .
3 −1 −9 −2 −5
33 Eigenwerte und Eigenvektoren
Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrizen
( ) ( ) ( )
1 0 0 1 0 −i
, ,
0 −1 1 0 i 0
.
34 Drehungen
Die 2 × 2-Matrix
beschreibt eine Transformation in der x-y-Ebene.
( ) cosα sin α
U(α) =
− sinα cosα
a) Skizzieren Sie die Wirkung von U(α) auf die Basisvektoren
( ( 1 0
⃗e x = , ⃗e
0)
y = .
1)
Wie wirkt U(α) somit auf einen beliebigen Vektor ⃗a = a 1 ⃗e x + a 2 ⃗e y ?
b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von U(α).
c) Nähern Sie U(α) für α ≪ 1.

Blatt 9 Vorkurs Mathematik WS 2009/2010
35 Bewegungsgleichungen
Unter dem Einfluss einer orts- und geschwindigkeitsabhängigen Kraft F(x, v) bewegt sich ein Teilchen
mit Masse m gemäß der Newtonschen Bewegungsgleichung
mẍ(t) = m˙v(t) = F(x, v),
wobei x(t) den Ort zur Zeit t und v(t) = ẋ(t) die Geschwindigkeit bezeichnen. Bestimmen Sie die
allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung für folgende Kräfte:
a) Rückstellkraft einer Feder, F(x) = −kx,
b) Reibungskraft F(v) = −γmv = −γmẋ.
36 Relaxation
Eine physikalische Größe X relaxiere nach der Gleichung
Ẋ = −αX 2 ,
wobei α eine Konstante ist. Bestimmen Sie X(t) für die Anfangsbedingung X(0) = X 0 .
37 Gradient
Berechnen Sie den Gradienten
für folgende Funktionen:
⎛
⃗F = ⎝ ∂/∂x ⎞
∂/∂y⎠φ(x, y, z)
∂/∂z
a) φ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 , b) φ(x, y, z) = x
Überlegen Sie sich, in welche Richtung der Gradient zeigt und wie die äquipotentialflächen aussehen.