Übungen zur Vorlesung „Mathematische Konzepte II“ SS 2013 Blatt 6

Bemerkung: Dieser Satz ist in der Mathematik als Cauchy’scher Integralsatz bekannt.
Er wird dort unter wesentlich schwächeren Bedingungen bewiesen, allerdings mit
anderen Mitteln. Dabei benötigt man die Voraussetzung, dass f stetig ist, nicht.
Auch braucht der Weg nicht durch eine stückweise stetig differenzierbare Funktion
parametrisiert zu werden; es genügt, wenn er eine endliche Länge hat. Die
Beschränkung auf die hier zu beweisende schwache Version des Satzes bedeutet aber
nur einen Verlust an theoretischer Einsicht, die praktische Nützlichkeit bleibt voll
erhalten.
Hinweis: Fassen Sie den Real- und Imaginärteil von ∮ f(z) dz auf als ∮ A(r)·dr oder
als ∮ rotA(r) · n df.
c) Die Aussage von b) braucht nicht mehr zu gelten, falls es im Inneren des Weges C
Stellen gibt, an denen f nicht komplex differenzierbar ist (Singularitäten). Berechnen
Sie ∮ dz
über einen Kreis um 0 mit Radius 1 in positivem Umlaufsinn.
C z
Aufgabe 22: Funktionentheorie in der Elektrostatik
Es sei f(z) = u(x, y) + iv(x, y) eine komplex differenzierbare Funktion mit z = x + iy.
a) Zeigen Sie: u und v sind harmonische Funktionen, d.h. sie erfüllen die Laplace-
Gleichung ∆u = ∆v = 0, und es gilt: ∇u · ∇v = 0. Die Linien u = konst. in der
komplexen Ebene verlaufen also überall senkrecht zu den Linien v = konst.
b) Anwendung auf die Elektrostatik:
Ist u = φ ein elektrostatisches Potential, so sind die Linien v = konst. elektrische
Feldlinien, und entsprechend für v = φ. Wählen Sie speziell f(z) = z 2 und bestimmen
Sie mit der Wahl φ = u das elektrische Feld einer geladenen metallischen Kante und
mit der Wahl φ = v das elektrische Feld einer sogenannten Quadrupol-Linse. Fertigen
Sie jeweils eine Skizze an.
Aufgabe 23: Konforme Abbildungen
Die Funktion w = f(z) bildet ein Gebiet G in der komplexen z-Ebene (z = x + iy) auf
ein Gebiet G ′ in der komplexen w-Ebene (w = u + iv) ab. Skizzieren Sie für die folgenden
Funktionen jeweils G und G ′ :
(i) f(z) = iz und G ist das Rechteck 0 < x < a, 0 < y < b,
(ii) f(z) = 1/z und G ist der Halbkreis 0 < r < 2, 0 < ϕ < π,
(iii) f(z) = e z und G ist das Rechteck 0 < x < 1, 0 < y < π/2.
Bemerkung: Eine Abbildung f heisst konform, wenn sie glatte Wege in glatte Wege überführt
und bijektiv auf G ′ = f(G) abbildet.