Übungen zur Vorlesung „Mathematische Konzepte II“ SS 2013 Blatt 6

Übungen zur Vorlesung „Mathematische Konzepte II“
SS 2013 Blatt 6
Aufgabe 20: Komplexe Zahlen
a) Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke in der From x + i y: e i , i i , sin
(
π(1+i)
b) Finden Sie alle Werte von (−32) 1/5 . Wie lautet deshalb die allgemeine Lösung der
Differentialgleichung d 5 x(t)/dt 5 − 32x(t) = 0?
c) Finden Sie mit Hilfe der komplexen Zahlen eine Formel, die sin 3x als Polynom in
sin x ausdrückt.
d) Welche Punktmenge in der komplexen z-Ebene wird durch die Gleichung
zz ∗ + Bz + B ∗ z ∗ + C = 0
mit reellem C und komplexem B mit BB ∗ > C beschrieben?
Aufgabe 21: Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen
Betrachten Sie für z = x + iy die komplexe Funktion f : C → C: f(z) = u(x, y) + iv(x, y).
f heisst komplex differenzierbar in z 0 , wenn der folgende Grenzwert existiert
f(z) − f(z 0 )
lim
=: f ′ (z 0 ).
z→z 0 z − z 0
a) Zeigen Sie, dass komplex differenzierbare Funktionen die Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen
erfüllen:
4
)
.
∂u
∂x (x 0, y 0 ) = ∂v
∂y (x 0, y 0 ),
∂v
∂x (x 0, y 0 ) = − ∂u
∂y (x 0, y 0 ).
b) Ist C ein Weg in C, der durch eine stückweise stetig differenzierbare Funktion z(t),
t ∈ [0, 1], parametrisiert wird, so definiert man das Kurvenintegral über C durch
∫
∫ 1
f(z) dz := f(z(t))z ′ (t) dt.
C
0
Sei nun f überall komplex differenzierbar und f ′ stetig. Zeigen Sie mit dem Satz von
Stokes (oder mit dem Satz von Gauß, der in zwei Dimensionen äquivalent dazu ist),
dass für einen geschlossenen Weg C gilt:
∮
f(z) dz = 0.
C

Bemerkung: Dieser Satz ist in der Mathematik als Cauchy’scher Integralsatz bekannt.
Er wird dort unter wesentlich schwächeren Bedingungen bewiesen, allerdings mit
anderen Mitteln. Dabei benötigt man die Voraussetzung, dass f stetig ist, nicht.
Auch braucht der Weg nicht durch eine stückweise stetig differenzierbare Funktion
parametrisiert zu werden; es genügt, wenn er eine endliche Länge hat. Die
Beschränkung auf die hier zu beweisende schwache Version des Satzes bedeutet aber
nur einen Verlust an theoretischer Einsicht, die praktische Nützlichkeit bleibt voll
erhalten.
Hinweis: Fassen Sie den Real- und Imaginärteil von ∮ f(z) dz auf als ∮ A(r)·dr oder
als ∮ rotA(r) · n df.
c) Die Aussage von b) braucht nicht mehr zu gelten, falls es im Inneren des Weges C
Stellen gibt, an denen f nicht komplex differenzierbar ist (Singularitäten). Berechnen
Sie ∮ dz
über einen Kreis um 0 mit Radius 1 in positivem Umlaufsinn.
C z
Aufgabe 22: Funktionentheorie in der Elektrostatik
Es sei f(z) = u(x, y) + iv(x, y) eine komplex differenzierbare Funktion mit z = x + iy.
a) Zeigen Sie: u und v sind harmonische Funktionen, d.h. sie erfüllen die Laplace-
Gleichung ∆u = ∆v = 0, und es gilt: ∇u · ∇v = 0. Die Linien u = konst. in der
komplexen Ebene verlaufen also überall senkrecht zu den Linien v = konst.
b) Anwendung auf die Elektrostatik:
Ist u = φ ein elektrostatisches Potential, so sind die Linien v = konst. elektrische
Feldlinien, und entsprechend für v = φ. Wählen Sie speziell f(z) = z 2 und bestimmen
Sie mit der Wahl φ = u das elektrische Feld einer geladenen metallischen Kante und
mit der Wahl φ = v das elektrische Feld einer sogenannten Quadrupol-Linse. Fertigen
Sie jeweils eine Skizze an.
Aufgabe 23: Konforme Abbildungen
Die Funktion w = f(z) bildet ein Gebiet G in der komplexen z-Ebene (z = x + iy) auf
ein Gebiet G ′ in der komplexen w-Ebene (w = u + iv) ab. Skizzieren Sie für die folgenden
Funktionen jeweils G und G ′ :
(i) f(z) = iz und G ist das Rechteck 0 < x < a, 0 < y < b,
(ii) f(z) = 1/z und G ist der Halbkreis 0 < r < 2, 0 < ϕ < π,
(iii) f(z) = e z und G ist das Rechteck 0 < x < 1, 0 < y < π/2.
Bemerkung: Eine Abbildung f heisst konform, wenn sie glatte Wege in glatte Wege überführt
und bijektiv auf G ′ = f(G) abbildet.

Denksport (freiwillig)
Schatzsuche in der komplexen Ebene
Auf einer alten Karte einer kleinen Wüsteninsel mit nur zwei Bäumen und einem Brunnen
findet sich folgende Beschreibung der Lage eines vergrabenen Schatzes:
Gehe vom Brunnen zum Eichbaum und zähle die Schritte. Wende Dich am Eichbaum nach
links (um 90 ◦ ) und gehe noch einmal so weit. An dieser Stelle schlage einen Pfahl in den
Boden. Gehe zurück zum Brunnen. Gehe zur Kiefer, zähle die Schritte, wende Dich nach
rechts (um 90 ◦ ) und gehe noch einmal so weit. Schlage einen Pfahl in den Boden. Genau
in der Mitte zwischen beiden Pfählen grabe nach dem Schatz!
Ein junger Abenteurer macht sich auf den weiten Weg und findet auf der Insel tatsächlich
den Eichbaum und die Kiefer. Doch auch nach langem Suchen sieht er keine Spur mehr
von dem Brunnen. Mit leeren Händen will er die Heimreise aber nicht antreten. Muss er
resignieren?