Einführung in die Theoretische Physik - Institut für Physik

3. Zufallswanderer III (16. KW, R. Mahnke)
Betrachte Kontinuumsgrenzfall (a → a, τ → 0):
(Symmetrische) Diffusion ist (im Gegensatz zur Drift) eine ungerichtete
Bewegung. Diffusion ist ein zufälliger Prozeß. Das Galtonbrett ist eine
experimentelle Realisierung der (diskreten) Diffusion. Der Zufallswanderer
ist ein einfaches Modell der Diffusion. Eine zentrale Gleichung
der Physik (Nichtgleichtgewichtsdynamik, Diffusionskonstante D) ist
die Diffusionsgleichung
mit der Anfangsbedingung
∂p(x, t)
∂t
= D 2
∂ 2 p(x, t)
∂x 2 (11)
p(x, t = 0) = δ(x − x 0 ) . (12)
Die Lösung der Diffusionsgleichung ist die bekannte Normal– bzw.
Gauss–Verteilung
1
p(x, t) = √ exp
(− (x − x )
0) 2
. (13)
2πDt 2Dt
Berechnung der ersten drei Momente (k = 0, 1, 2)
liefert
〈x k 〉(t) =
∫ +∞
−∞
x k p(x, t) dx . (14)
〈x 0 〉(t) = 1 (15)
〈x 1 〉(t) = x 0 (16)
〈x 2 〉(t) = Dt + x 2 0 (17)
und Varianz
∆x ≡ √ 〈x 2 〉 − 〈x〉 2 = √ Dt . (18)
Betrachte Erweiterung auf den Drift–Diffusion–Fall (asymmetrische Diffusion).
Bewegungsgleichung (Spezialfall der Fokker–Planck–Gleichung)
ist Erweiterung der Diffusionsgleichung (11) der Form
∂p(x, t)
∂t
= −v D
∂p(x, t)
∂x
wobei v D die Driftgeschwindigkeit ist.
+ D 2
∂ 2 p(x, t)
∂x 2 , (19)
4