Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 8

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 8
Barometrische Höhenformel, Entropie 12. Mai 2011
1. Betrachte die Erdatmosphäre im homogenen Gravitationspotential Mgz der Erde.
Unter der Annahme, dass sich die Atmosphäre über einer Fläche A im thermischen
Gleichgewicht befindet, d.h. die Temperatur unabhängig von der Höhe z ist, lässt sie
sich als ideales Gas beschreiben.
a) Bestimme die kanonische Zustandssumme und bestimme die mittlere Energie der
Gasteilchen sowie die Varianz der Energie.
b) Bestimme die barometrische Höhenformel, d.h. die Dichte der Atmosphäre als
Funktion der Höhe z.
(a) Die Hamiltonfunktion eines idealen Gases im homogenen Gravitationspotential
Mgz lautet:
N∑ p 2 N a
H[x, p] =
2M + ∑
Mgz a ,
a=1
wobei M die Masse eines einzelnen Gasteilchens ist. Die kanonische Zustandssumme
ist dann gegeben durch
∫
Z(β) = DxDp exp (−βH[x, p])
=
N∏
a=1
∫
1
h 3
d 3 x a d 3 p a
a=1
(
)
exp −β p2 a
2M − βMgz a = z(β) N ,
wobei die letzte Gleichheit folgt, da die Teilchen bei einem idealen Gas unabhängig
sind. Das Planck’sche Wirkungsquantum h muss eingeführt werden,
da es in der quantentheoretischen Betrachtung pro Phasenraumvolumen h d nur
einen Zustand mit bestimmter Energie gibt. Die Zustandssumme eines einzelnen
Teilchens z(β) ist dann gegeben durch
z(β) = 1 h 3 ∫
= 1 h 3 ∫
d 3 x d 3 p
∫
dx
= 1 h 3 A 1
βMg
∫
dy
exp
dz
( ) 2πM 3/2
,
β
(−β p2
2M − βMgz )
∫
exp(−βMgz)
d 3 p
)
exp
(−β p2
2M
wobei die Lösung des Gaussintegrals verwendet wurde. Die mittlere Energie
und die Varianz lassen sich nun einfach berechnen:
〈H〉 = − ∂logZ(β)
∂β
= −N ∂logz(β)
∂β
= 3 N
2 β + N β = 5 N
2 β

und
(∆H) 2 = ∂2 logZ(β)
∂β 2
= N ∂2 logz(β)
∂β 2 = 5 N
2 β 2 .
Beachte, dass die beiden Grössen unabhängig von der Phasenraumabzählung
1/h 3 sind. Für die relative Schwankung erhalten wir:
√
∆H 2
〈H〉 = 5N .
(b) Um die Dichte der Atmosphäre als Funktion der Höhe z zu bestimmen, können
wir einfach die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(z) berechnen, dass ein Teilchen die
Höhe z erreicht:
ρ(z) =
∫
)
1
dx dy d 3 p exp
(−β p2
z(β)
2M − βMgz
= βMg exp(−βMgz) = ρ(0) exp(−βMgz).
Man bemerkt, dass diese Funktion (barometrische Höhenformel) angibt, wie
sich die Dichte mit zunehmender Höhe verringert.
2. Betrachte ein Teilchen auf einer Energieleiter mit drei Stufen.
a) Wie gross ist die Entropie im kanonischen Ensemble?
b) Wie gross ist die freie Energie?
Die kanonische Zustandssumme eines Teilchens auf einer dreistufigen Leiter ist gegeben
durch
Z(β) = 1 + e −βɛ + e −2βɛ
und die Wahrscheinlichkeiten, dass das Teilchen auf einer jeweiligen Stufe ist, durch
p 0 = 1 Z ,
p 1 = e−βɛ
Z ,
p 2 = e−2βɛ
Z .

Somit kann die Entropie berechnet werden:
∑
S = −k B p i lnp i
i
( 1
= −k B
Z ln 1 Z + e−βɛ
Z
⎛
= k B
⎜
βɛe −βɛ + 2βɛe −2βɛ
⎝
⎛
⎞
= k B ⎜
⎝ −β ∂
ln (Z) + ln (Z) ⎟
∂β ⎠
} {{ }
β〈E〉
Z
= k B β
(〈E〉 + 1 )
β ln (Z)
= 1 (E − F ),
T
e−βɛ
ln
Z
+ e−2βɛ
Z
)
ln
e−2βɛ
Z
+ 1 + e−βɛ + e −2βɛ
} {{ Z }
wobei F die freie Energie ist welche folgendermassen definiert ist:
und es folgt, dass
Z(β) = exp(−βF ),
1
⎞
ln Z⎟
⎠
F = E − T S = − 1 β ln (Z) = − 1 β ln (1 + e −βɛ + e −2βɛ) .
3. Gegeben seien zwei unabhängige Systeme mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen p (1)
i
und p (2)
k
, sowie den Informationsdefiziten I(1) und I (2) . Zeige, dass das Informationsdefizit
I des Gesamtsystems I = I (1) + I (2) beträgt.
Die beiden Systeme sind unabhängig, daher sind die Wahrscheinlichkeiten des Gesamtsystems
gegeben durch:
p i = p (1)
i 1 · p (2)
i 2
,
wobei (i) = (i 1 , i 2 ). Das Informationsdefizit eines einzelnen Systems ist
I (k) = − 1
ln 2
∑
i k
p (k)
i k
ln p (k)
i k
k = 1, 2,

und dasjenige des Gesamtsystems:
I = − 1 ∑
p i ln p i
ln 2
i
= − 1 ∑
i
ln 2 1 · p (2)
i 2
= − 1
ln 2
(∗)
= − 1
ln 2
i 1 ,i 2
p (1)
∑
p (1)
i 1 · p (2)
i 1 ,i 2
∑
p (1)
i 1
i 1
( )
ln p (1)
i 1 · p (2)
i 2
i 2
(ln
( ) ( ))
p (1)
i 1
+ ln p (2)
i 2
( )
ln p (1)
i 1
− 1 ∑ ( )
p (2)
i
ln 2 2
ln p (2)
i 2
i 2
= I (1) + I (2) ,
( ∑
wobei in (∗) die Normierung
i k
p k i k
= 1 k = 1, 2)
verwendet wurde.
4. Eine von 9 goldenen Münzen ist falsch und leichter als die anderen. Man hat eine
Apothekerwaage zu Verfügung, welche für zwei betrachtete Gewichte G 1 < G 2 , G 1 =
G 2 oder G 1 > G 2 anzeigt. Wieviele Messungen braucht man um die falsche Münze zu
finden? Wieviel Information braucht man? Wieviel Information kann eine Messung
liefern?
Man braucht genau 2 Messungen um die falsche Münze zu finden.
Die 9 Münzen werden in 3 Dreierhaufen geteilt und zwei davon mit der Waage
verglichen:
Sind sie gleich schwer befindet sich die Fälschung im dritten Haufen. Ist eine der
beiden verglichenen Haufen leichter befindet sich die falsche Münze in diesem.
Wir führen nochmals die Messung durch, vergleichen also 2 der verbleibenden 3
Münzen mithilfe der Waage. Sind sie gleich, so ist die dritte die Fälschung, ist aber
eine der beiden leichter, so ist diese offensichtlich die falsche Münze.
In unserem System gibt es 9 mögliche Zustände, welche alle gleichwahrscheinlich
sind: p i = 1/9. Der Informationsmangel beträgt dann
I = − 2 log p i = ln 9
ln 2 = 3.17 ,
also überbringt die Mitteilung des Systemzustandes nach Definition 3.17 bit Information.
Da wir genau 2 Messungen brauchen, um den Zustand herauszufinden,
steckt
I Messung = I/2 = 1.58
bit Information in einer Messung. In der Tat entspricht eine Messung mit der Waage
in diesem Fall nicht einer ja/nein-Frage, sondern einer 1/2/3-Frage, da wir bei einer
Messung drei mögliche Antworten erhalten (linker Haufen leichter, rechter Haufen
leichter, beide gleich schwer). Um die optimale Anzahl 1/2/3-Fragen zu bestimmen,
müssen wir deshalb den Logarithmus der Anzahl Zustände zur Basis 3 bestimmen:
F = 3 ln 9 = 2 .

5. Betrachte ein einzelnes Teilchen mit möglichen Zuständen n = 0, 1, 2, . . . , E n = nɛ.
a) Anfangs befindet sich das Teilchen im kanonischen Ensemble bei T = 0. Wie
lautet die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung P 0 (n)?
b) Nun wird das Teilchen in ein Wärmebad mit T > 0 gebracht. Das Wärmebad
ist wie üblich modelliert: mit Wahrscheinlichkeit q wechselt ein Teilchen vom Zustand
n nach n + 1 und mit Wahrscheinlichkeit 1 − q von n nach n − 1 (für n > 0)
und von 0 nach 0 (für n = 0). Das Teilchen wechselwirkt zweimal mit dem Wärmebad.
Berechne die Wahrscheinlichkeitsverteilungen P 1 (n) und P 2 (n) nach der ersten
bzw. zweiten Wechselwirkung.
c) Berechne die Entropie S 0 des Teilchen vor der Wechselwirkung mit dem Wärmebad,
sowie die Entropie S 1 und S 2 nach der ersten bzw. zweiten Wechselwirkung mit
dem Wärmebad und zeige, dass die Entropie in jedem Schritt zunimmt.
(a) In einem kanonischen Ensemble ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben
durch:
P (n) = 1 Z e−β En = 1 Z e−β nɛ .
Für T = 0 wird β = 1
k B T
→ ∞ und somit werden alle Zustände ausser dem
Grundzustand exponentiell unterdrückt:
P 0 (n) = δ n,0 .
(b) Nach einer Wechselwirkung mit dem Wärmebad
P 1 (0) = 1 − q ,
P 1 (1) = q ,
P 1 (n) = 0, falls n ≥ 2.
Nach der zweiten Wechselwirkung erhält man
P 2 (0) = (1 − q) 2 + q(1 − q) = 1 − q ,
P 2 (1) = q(1 − q) ,
P 2 (2) = q 2 ,
P 2 (n) = 0, falls n ≥ 3.

(c) Berechne die Entropie des Systems vor, nach der ersten und nach der zweiten
Wechselwirkung:
∑
S = −k B P (n)lnP (n) ,
S 0 = 0 ,
n
S 1 = −k B [(1 − q) ln(1 − q) + q ln q] > 0 ,
S 2 = −k B
[
(1 − q) ln(1 − q) + q(1 − q) ln (q(1 − q)) + q 2 ln q 2] > 0.
S 2 − S 1 = −k B
[
q(1 − q) ln(1 − q) + q 2 ln q ] > 0 =⇒ S 2 > S 1 > S 0
Marti, Rothen, Steinhauer