Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern
Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern
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<strong>Mathematische</strong> <strong>Methoden</strong> <strong>der</strong> <strong>Physik</strong> I<br />
Thomas Becher<br />
Albert Einstein Center für fundamentale <strong>Physik</strong><br />
Institut für theoretische <strong>Physik</strong><br />
Universität <strong>Bern</strong><br />
Herbstsemester 2011
.<br />
Der vorliegende Text basiert auf einem Skript von Prof. Jürg Gasser und<br />
Prof. Christoph Greub, mit einigen Än<strong>der</strong>ungen von Prof. Urs Wenger und<br />
mir. Ich danke meinen Kollegen für die Zurverfügungstellung des Manuskripts.<br />
Thomas Becher <strong>Bern</strong>, September 2011
Vorbemerkung<br />
<strong>Physik</strong> ist eine quantitative Wissenschaft, <strong>der</strong>en Ergebnisse mathematisch<br />
formuliert werden können. Allein die Tatsache, dass dies überhaupt möglich<br />
ist, macht <strong>Physik</strong> zu einer sehr faszinierenden Wissenschaft. In <strong>der</strong> Tat ist<br />
die Mathematik die Sprache, in <strong>der</strong> die Naturgesetze geschrieben sind. So<br />
wie die Beschäftigung mit an<strong>der</strong>en Kulturen das Erlernen von Fremdsprachen<br />
erfor<strong>der</strong>t, erfor<strong>der</strong>t das Studium <strong>der</strong> <strong>Physik</strong> das Erlernen <strong>der</strong> Sprache<br />
<strong>der</strong> Mathematik. Dass diese Sprache ausserordentlich präzise, enorm aussagekräftig<br />
und wi<strong>der</strong>spruchsfrei ist, lernen Sie im Detail in den Mathematikvorlesungen.<br />
Dort wird aus guten Gründen grosser Wert auf mathematische<br />
Strenge gelegt. <strong>Physik</strong>studierende lernen auf diese Weise eine Form des logischen<br />
Denkens, die auch in <strong>der</strong> <strong>Physik</strong> selbst extrem hilfreich ist. Allerdings<br />
wollen wir nicht mit dem Studium <strong>der</strong> <strong>Physik</strong> warten müssen bis die Grundausbildung<br />
in Mathematik abgeschlossen ist. Deshalb konzentrieren wir uns<br />
hier vor allem auf das Erlernen von Techniken und <strong>der</strong>en Anwendungen. Auf<br />
diese Weise können wir uns möglichst früh sinnvoll mit den Problemen <strong>der</strong><br />
klassischen Mechanik beschäftigen. Dabei verzichten wir notgedrungen auf<br />
mathematische Strenge in den Herleitungen, wie sie in den mathematischen<br />
Vorlesungen angeboten wird. Die vorliegende Veranstaltung kann und will<br />
die mathematischen Vorlesungen auf keinen Fall ersetzen, son<strong>der</strong>n sinnvoll<br />
ergänzen. Auf diese Weise können wir uns von Beginn des Studiums an über<br />
<strong>Physik</strong> in <strong>der</strong> angemessenen Sprache <strong>der</strong> Mathematik unterhalten.<br />
Literatur:<br />
• S. Grossmann, <strong>Mathematische</strong>r Einführungskurs für die <strong>Physik</strong>, Teubner<br />
Verlag, 2000.<br />
• J.E. Marsden, A.J. Tromba, Vector Calculus, Freeman and Company,<br />
New York, 2003. In englischer Sprache.<br />
• Hermann Schulz, <strong>Physik</strong> mit Bleistift, Springer Verlag, 2006.<br />
• L. Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Aus<br />
<strong>der</strong> Reihe: Viewegs Fachbücher <strong>der</strong> Technik, Vieweg Verlag, 2001.
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Elementare Vektorrechnung 1<br />
1.1 Systematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br />
1.2 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br />
1.3 Addition, Subtraktion, Multiplikation mit Skalaren . . . . . . 2<br />
1.4 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.5 Linearkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.6 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.7 Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.8 Orthonormale Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
1.9 Komponentenschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.10 Mehrfachprodukte von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.11 Ortsvektoren, Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.12 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.12.1 Eigenschaften und Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.12.2 Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
1.12.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
1.12.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
2 Vektorfunktionen 17<br />
2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.2 Die erste Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
2.2.1 Rechenregeln für die Ableitung von Vektorfunktionen . 20<br />
2.3 Die zweite Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
2.4 Bewegung eines Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
3 Taylor–Entwicklung 23<br />
3.1 Taylor–Entwicklung 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
3.2 Taylor-Entwicklung 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
3.3 Taylor-Entwicklung beliebiger Ordnung . . . . . . . . . . . . . 27<br />
4 Komplexe Zahlen 28<br />
4.1 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
5 Hinweise zur Integration 31<br />
5.1 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
5.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
5.3 Grenzen im Unendlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
5.4 Pole (Beispiele) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
5.5 Unbestimmtes Integral: Substitution . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
i
5.6 Bestimmtes Integral: Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
5.7 Partielle Integration (unbestimmt) . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
5.8 Partielle Integration (bestimmt) . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
5.9 Ableiten nach Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
6 Differentialgleichungen 37<br />
6.1 Beispiele und Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
6.2 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
6.2.1 Lineare Differentialgleichung erster Ordnung . . . . . . 40<br />
6.2.2 Allgemeine Lösung <strong>der</strong> linearen DG 1. Ordnung . . . . 43<br />
6.2.3 Lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . 44<br />
6.3 Separation <strong>der</strong> Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
6.4 Numerische Lösung: Schrittweise Integration . . . . . . . . . . 49<br />
6.5 Lösen von Differentialgleichungen mit MAPLE . . . . . . . . . 51<br />
6.6 Literatur zu gewöhnlichen Differentialgleichungen . . . . . . . 52<br />
7 Funktionen von 2 o<strong>der</strong> mehr Variablen 53<br />
7.1 F(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
7.1.1 Partielle Ableitungen (nach x) . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
7.1.2 F(x, y). Taylorentwicklung 1. Ordnung . . . . . . . . . 55<br />
7.1.3 Totale Ableitung, Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
7.1.4 Höhere partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
7.1.5 F(x, y). Taylorentwicklung 2. Ordnung . . . . . . . . . 58<br />
7.1.6 Der Gradient (2-dim.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
7.2 Funktionen von drei (o<strong>der</strong> mehr) Variablen . . . . . . . . . . . 61<br />
7.3 Kugelsymmetrische Fel<strong>der</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
8 Skalare Fel<strong>der</strong>, Vektorfel<strong>der</strong> 63<br />
9 Linienintegrale 65<br />
9.1 Einführung am Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
9.2 Berechnung im einfachsten Spezialfall . . . . . . . . . . . . . . 66<br />
9.3 Berechnung im allgemeinen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br />
9.4 Eigenschaften von Linienintegralen . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
9.5 Beispiele für das Auftreten von Linienintegralen in <strong>der</strong> <strong>Physik</strong> 69<br />
9.5.1 Mechanik: Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
9.5.2 Mechanik: kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
9.5.3 Magnetostatik: Gesetz von Ampère . . . . . . . . . . . 70<br />
9.6 Linienintegrale in Gradientfel<strong>der</strong>n . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
9.7 Umkehrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
9.8 Weitere Integrale längs einer Kurve C . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
ii
10 Doppelintegrale 75<br />
10.1 Rechteckiges Integrationsgebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
10.2 Beliebige Integrationsgrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
11 Flächenintegrale 78<br />
11.1 Flächenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br />
11.2 Definition von ∫ d⃗σ · ⃗ω(⃗x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
Σ<br />
11.3 Beschreibung von Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
11.3.1 Kurven im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
11.3.2 Flächen. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br />
11.3.3 Flächen allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br />
11.3.4 Flächenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83<br />
11.4 Berechnung von Flächenintegralen mittels Parameterdarstellung 84<br />
11.5 Beispiele von Flächenintegralen in <strong>der</strong> <strong>Physik</strong> . . . . . . . . . 86<br />
11.6 Weitere Flächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
11.7 Anwendung: Variablentransformation bei Doppelintegralen . . 88<br />
12 Volumenintegrale 91<br />
12.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />
12.2 Berechnung in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . 92<br />
12.3 Variablentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
12.3.1 Häufig verwendete Koordinatentransformationen . . . . 95<br />
13 Die Divergenz 96<br />
13.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96<br />
13.2 Der Satz von Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97<br />
13.3 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97<br />
13.3.1 G = Qua<strong>der</strong> ‖ Koordinatenachsen . . . . . . . . . . . . 97<br />
13.3.2 “Beliebiges” Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
13.4 Interpretation von ∇ ⃗ · ⃗ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
13.5 Interpretation von ∇ ⃗ · ⃗ω als Quelldichte . . . . . . . . . . . . . 101<br />
13.6 Die Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103<br />
13.7 Die skalaren Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
13.8 Divergenz kugelsymmetrischer Fel<strong>der</strong> . . . . . . . . . . . . . . 105<br />
iii
1 Elementare Vektorrechnung<br />
1.1 Systematik<br />
Wir unterscheiden zwischen Skalaren, Vektoren und Tensoren.<br />
(a) Skalare: viele physikalische Grössen werden durch eine Zahl (und evtl. einer<br />
entsprechenden Masseinheit) charakterisiert.<br />
Beispiele:<br />
- Anzahl Teilchen in einem Volumen<br />
- Masse eines Teilchens<br />
- Temperatur<br />
- Stromstärke<br />
- Zeitdauer zwischen zwei Ereignissen<br />
- Distanz zwischen zwei Orten<br />
(b) Vektoren: es gibt physikalische Grössen, welche durch eine Zahl nicht<br />
genügend charakterisiert sind.<br />
(c) Tensoren: gewisse physikalische Grössen wie z.B. Drehungen eines Körpers<br />
können durch Tensoren beschrieben werden.<br />
Im Folgenden befassen wir uns vor allem mit Skalaren und Vektoren.<br />
1.2 Vektoren<br />
Vektoren sind gerichtete Grössen:<br />
- Geschwindigkeit<br />
- Beschleunigung<br />
- elektrische Feldstärke<br />
- Gradient des Luftdrucks<br />
Vektoren haben eine Länge und eine Richtung. <strong>Physik</strong>alische Anwendungen<br />
spielen sich oft in d = 3 Dimensionen ab. Beispiele und Übungen oft in d = 2<br />
Dimensionen.<br />
1
Gebundener Vektor:<br />
geordnetes Punktepaar (A, E).<br />
→ Vektor −→ AE<br />
Länge | −→ AE| ≥ 0.<br />
−→<br />
AE heisst auch “Ortsvektor von E bezüglich A”.<br />
Freier Vektor:<br />
Länge und Richtung gegeben. Zusammenfassung zur Äquivalenzklasse<br />
⃗a.<br />
Notation: ⃗a :“Vektor” ; a = |⃗a| : Länge, Betrag<br />
a = 1 : Einheitsvektor (oft ⃗e)<br />
a = 0 : Nullvektor (⃗0 o<strong>der</strong> 0).<br />
Definition von −⃗a: gleicher Betrag wie ⃗a, aber entgegengesetzte<br />
Richtung.<br />
<br />
<br />
<br />
Gleichheit zweier Vektoren: ⃗a = ⃗ b, genau dann wenn ⃗a und ⃗ b gleichen Betrag<br />
und gleiche Richtung haben.<br />
<br />
<br />
1.3 Addition, Subtraktion, Multiplikation mit Skalaren<br />
Definition <strong>der</strong> Summe von ⃗a und ⃗ b:<br />
Eigenschaften:<br />
1. ⃗a + (−⃗a) = 0<br />
⃗c = ⃗a + ⃗ b<br />
<br />
<br />
<br />
2. |⃗a + ⃗ b| ≤ a + b<br />
3. (⃗a + ⃗ b) + ⃗c = ⃗a + ( ⃗ b + ⃗c)<br />
4. ⃗a + ⃗ b = ⃗ b +⃗a<br />
5. ⃗a + ⃗ b = 0 =⇒ ⃗a = − ⃗ b, ⃗ b = −⃗a.<br />
2
Definition <strong>der</strong> Differenz:<br />
Übungen:<br />
a) Gesucht: ⃗x in <strong>der</strong> Figur.<br />
<br />
⃗a − ⃗ b = . <br />
⃗a + (− ⃗ b)<br />
<br />
<br />
b) begründe: −(⃗a − ⃗ b) = ⃗ b −⃗a<br />
Ü<br />
<br />
c) begründe: ⃗a − ⃗ b = 0 =⇒ ⃗a = ⃗ b<br />
Multiplikation mit einem Skalar:<br />
Skalar α: Vorläufig reelle Zahl, später u. U. komplex<br />
⃗ b = α⃗a. Der Vektor ⃗ b hat folgende Eigenschaften:<br />
1. | ⃗ b| = |α| · |⃗a|<br />
2. α > 0; ⃗ b ↑↑ ⃗a<br />
3. α = 0; ⃗ b = 0<br />
4. α < 0; ⃗ b ↑↓ ⃗a<br />
Beispiele: α = 2, α = 1, α = − 1 2 . 3
1.4 Rechenregeln<br />
Aus den obigen Definitionen folgt:<br />
(a) ⃗a, ⃗ b gegeben. Dann ist ⃗a + ⃗ b definiert.<br />
(b) ⃗a + ⃗ b = ⃗ b +⃗a<br />
(⃗a + ⃗ b) + ⃗c = ⃗a + ( ⃗ b + ⃗c)<br />
(c) Es existiert ein neutrales Element: ⃗a +⃗0 = ⃗a<br />
(d) Es existiert ein inverses Element: ⃗a + (−⃗a) = ⃗0<br />
(e) Multiplikation mit Skalar definiert: α⃗a<br />
α(β⃗a) = (αβ)⃗a<br />
(f) (α + β)⃗a = α⃗a + β⃗a<br />
(g) α (⃗a + ⃗ b) = α⃗a + α ⃗ b<br />
(h) 1 ·⃗a = ⃗a<br />
Algebraische Strukturen, welche die Eigenschaften (a)–(d) aufweisen, heissen<br />
kommutative Gruppen. Strukturen, die alle Eigenschaften (a)–(h) aufweisen,<br />
heissen Vektorräume (VR).<br />
Wir betrachten im folgenden endlich dimensionale Vektorräume, meistens<br />
d = 2, 3, 4. Daneben gibt es VR mit beliebiger Dimension (siehe lineare<br />
Algebra) und auch ∞-dim. VR.<br />
Es existieren beliebig viele Realisierungen eines Vektorraumes. Die freien<br />
Vektoren sind ein Beispiel. Ein an<strong>der</strong>es, etwas abstrakteres Beispiel ist das<br />
folgende:<br />
Beispiel: Betrachte alle möglichen Polynome in <strong>der</strong> reellen Variablen τ. x 1 (τ)<br />
und x 2 (τ) seien 2 solche Polynome (mit Grad 2 zur Illustration ):<br />
wobei α i , β i , γ i ∈ R (i = 1, 2)<br />
x 1 (τ) = α 1 + β 1 τ + γ 1 τ 2<br />
x 2 (τ) = α 2 + β 2 τ + γ 2 τ 2 ,<br />
Addition: (x 1 + x 2 )(τ) . = x 1 (τ) + x 2 (τ) , explizit:<br />
(x 1 + x 2 )(τ) = (α 1 + α 2 ) + (β 1 + β 2 ) τ + (γ 1 + γ 2 ) τ 2 .<br />
4
Multiplikation mit Skalar ρ ∈ R:<br />
(ρ x)(τ) . = ρ x(τ), explizit:<br />
(ρ x 1 )(τ) = (ρα 1 ) + (ρβ 1 ) τ + (ργ 1 ) τ 2 .<br />
Übung: Die Menge dieser Polynome ist ein Vektorraum. Die Elemente dieses<br />
Vektorraumes x(τ) werden ohne Pfeile geschrieben.<br />
Übung: Betrachte die Menge C <strong>der</strong> auf dem Intervall −1 ≤ τ ≤ 1 stetigen<br />
Funktionen f(τ) <strong>der</strong> Variablen τ. Addition? Multiplikation mit Skalaren?<br />
Vektorraum?<br />
1.5 Linearkombinationen<br />
Beispiele:<br />
}<br />
α i : Folge von Skalaren<br />
⃗a i : Folge von Vektoren<br />
i = 1, ..., N<br />
∑ N<br />
Linearkombination (LK): ⃗ b = α i ⃗a i<br />
1. Mittel von 4 Geschwindigkeiten<br />
2. ⃗a = a 1 ⃗e 1 + a 2 ⃗e 2 + a 3 ⃗e 3 (⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 Basis)<br />
Übungen:<br />
(1) Dreieck. Gegeben: ⃗a, ⃗ b und<br />
<br />
die Mitte<br />
ÜÅ<br />
<br />
M <strong>der</strong> dritten Seite. ⃗x =?<br />
i=1<br />
(2) Gegeben: ⃗a, ⃗ b in d = 2.<br />
a) Diskutiere für variable α, β: ⃗x(α, β) = α⃗a + β ⃗ b<br />
b) ⃗x(α) = α⃗a + ⃗ b<br />
(3) Wie (2), aber in d = 3 Dimensionen.<br />
(4) Beweise, dass sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt<br />
schneiden, und zwar im Verhältnis 1:2.<br />
5
1.6 Das Skalarprodukt<br />
Jedem Vektorpaar wird eine reelle Zahl ⃗a·⃗b (“Skalarprodukt“) wie folgt zugeordnet:<br />
⃗a ·⃗b = |⃗a| | ⃗ b| cos γ<br />
Eigenschaften:<br />
1. ⃗a ·⃗b = ⃗ b ·⃗a<br />
2. (α⃗a) ·⃗b = α(⃗a ·⃗b)<br />
<br />
3. ⃗a · ( ⃗ b + ⃗c) = ⃗a ·⃗b +⃗a · ⃗c<br />
Beweis: Am Einfachsten in Komponentenschreibweise, siehe Abschnitt<br />
1.9.<br />
4. ⃗a ·⃗a ≥ 0 ; ⃗a ·⃗a = 0 ↔ |⃗a| = 0.<br />
Weitere Eigenschaften:<br />
i) γ = π 2 : ⃗a ·⃗b = 0<br />
ii) γ = 0: ⃗a ·⃗b = |⃗a| | ⃗ b|<br />
iii) γ = π: ⃗a ·⃗b = −|⃗a| | ⃗ b|<br />
iv) ⃗a ·⃗b invariant gegenüber simultanen Drehungen von ⃗a und ⃗ b.<br />
v) Schwarz’sche Ungleichung: |⃗a ·⃗b| ≤ |⃗a| | ⃗ b|<br />
Betragsquadrat eines Vektors:<br />
⃗a 2 . = ⃗a ·⃗a = |⃗a| |⃗a| cos 0 = |⃗a|<br />
2<br />
→ |⃗a| = √ ⃗a 2<br />
Anwendung Cosinussatz: Gegeben: ⃗a, ⃗ b; Gesucht: |⃗a + ⃗ b|.<br />
(⃗a + ⃗ b) 2 = (⃗a + ⃗ b) · (⃗a + ⃗ b)<br />
= (⃗a + ⃗ b) ·⃗a + (⃗a + ⃗ b) ·⃗b<br />
= ⃗a 2 + 2ab cosγ + ⃗ b 2<br />
= ⃗a 2 − 2ab cosγ ′ + ⃗ b 2<br />
<br />
¼ ·<br />
<br />
Speziell: γ ′ = π 2 (Pythagoras) 6
Beispiel einer Anwendung des Skalarproduktes in <strong>der</strong> <strong>Physik</strong>:<br />
Verschiebung eines Massenpunktes um den Weg ∆⃗x, Kraft<br />
⃗F. Welche Arbeit ∆A leistet dabei die Kraft ⃗ F?<br />
Definition: ∆A = |∆⃗x| F ′ = |∆⃗x| | ⃗ F | cosγ = ∆⃗x · ⃗F.<br />
1.7 Das Vektorprodukt<br />
<br />
<br />
¡Ü<br />
³<br />
Das Vektorprodukt stellt (neben dem Skalarprodukt) eine weitere Möglichkeit<br />
dar, ein Produkt ⃗c = ⃗a × ⃗ b von zwei gegebenen Vektoren ⃗a und ⃗ b zu definieren:<br />
<br />
(i) ⃗c ⊥ ⃗a, ⃗ b<br />
(ii) |⃗c| = |⃗a| | ⃗ b| sin γ (0 ≤ γ < π)<br />
(iii) ⃗a, ⃗ b, ⃗c bilden ein Rechtssystem: blickt man in Richtung<br />
⃗c, so lässt sich ⃗a mit einer Rechtsdrehung<br />
0 ≤ γ < π in ⃗ b drehen.<br />
Eigenschaften<br />
<br />
(i) ⃗c = ⃗a × ⃗ b<br />
ist ein Vektor<br />
(ii) ⃗a ×⃗a = 0<br />
(iii) Bei festen Beträgen a und b: ⃗a × ⃗ b ist maximal für γ = π.<br />
2<br />
(iv) ⃗a × ⃗ b = − ⃗ b ×⃗a<br />
(v) (α⃗a) × ⃗ b = α (⃗a × ⃗ b)<br />
(vi) ⃗a × ( ⃗ b + ⃗c) = ⃗a × ⃗ b +⃗a ×⃗c<br />
(vii) ⃗a × ( ⃗ b ×⃗c) ≠ (⃗a × ⃗ b) ×⃗c<br />
im allgemeinen. Beispiel: ⃗ b = ⃗c.<br />
(iix) |⃗a × ⃗ b| = Fläche des von ⃗a und ⃗ b aufgespannten Parallelogrammes.<br />
⃗Σ = ⃗a × ⃗ b: “Flächenvektor”<br />
¦<br />
<br />
<br />
7
(ix) Lorentzkraft ⃗ F = q⃗v × ⃗ B ; ⃗ F ⊥ ⃗v, ⃗ B ; F = q v B sin γ<br />
<br />
Õ· <br />
Ú<br />
Die bisherigen Definitionen und Beziehungen haben kein Koordinatensystem,<br />
resp. keine Basis vorausgesetzt.<br />
1.8 Orthonormale Basis<br />
“Basis” ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3<br />
• |⃗e i | = 1 für i = 1, 2, 3<br />
• ⃗e i · ⃗e k = 0<br />
für i ≠ k<br />
• In <strong>der</strong> Reihenfolge ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 bilden die Basisvektoren<br />
ein Rechtssystem: ⃗e 1 ×⃗e 2 = ⃗e 3 , ⃗e 2 ×⃗e 3 = ⃗e 1 , ⃗e 3 ×⃗e 1 =<br />
⃗e 2 .<br />
Einführen des Kroneckersymbols δ ik :<br />
⎛<br />
⎝<br />
⃗e i · ⃗e k =<br />
{ 1 i = k<br />
0 i ≠ k<br />
⎞ ⎛<br />
δ 11 δ 12 δ 13<br />
δ 21 δ 22 δ 23<br />
⎠ = ⎝<br />
δ 31 δ 32 δ 33<br />
}<br />
.=<br />
δik<br />
1 0 0<br />
0 1 0<br />
0 0 1<br />
⎞<br />
⎠<br />
½<br />
¿<br />
¾<br />
Einführen des total antisymmetrischen Tensors 3. Stufe (ε–Tensor):<br />
⃗e i · (⃗e j × ⃗e k ) =<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
+1 (i, j, k) zyklische Permutation zu (1,2,3)<br />
−1 (i, j, k) anti-zyklische Permutation zu (1,2,3)<br />
0 (i, j, k) sonstwie (z.B. i = j, i = k o<strong>der</strong> j = k)<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
.<br />
= ε ijk<br />
8
“Orthonormalsystem ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 ”<br />
Die drei Vektoren ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 bilden (im 3 dimensionalen Raum) ein vollständiges System,<br />
d.h. je<strong>der</strong> Vektor ⃗a lässt sich als Linearkombination von ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 schreiben:<br />
3∑<br />
⃗a = a 1 ⃗e 1 + a 2 ⃗e 2 + a 3 ⃗e 3 = a i ⃗e i<br />
Begründung: Definiere ⃗ ∆ durch<br />
i=1<br />
Dann gilt:<br />
⃗a = (⃗a · ⃗e 3 )⃗e 3 + (⃗a · ⃗e 2 )⃗e 2 + ⃗ ∆<br />
⃗∆ · ⃗e 3 = ⃗ ∆ · ⃗e 2 = 0<br />
=⇒ ⃗ ∆ ist parallel zu ⃗e 1 ,<br />
=⇒ ⃗ ∆ = x⃗e 1 | · ⃗e 1<br />
⃗∆ · ⃗e 1 = x = [⃗a − (⃗a · ⃗e 3 )⃗e 3 − (⃗a · ⃗e 2 )⃗e 2 ] · ⃗e 1 =⇒ x = ⃗a · ⃗e 1<br />
Also zusammengefasst:<br />
⇒ ⃗a = (⃗a · ⃗e 1 )⃗e 1 + (⃗a · ⃗e 2 )⃗e 2 + (⃗a · ⃗e 3 )⃗e 3<br />
⇒ ⃗a als LK von ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 dargestellt. □<br />
⃗a = a 1 ⃗e 1 + a 2 ⃗e 2 + a 3 ⃗e 3 =<br />
3∑<br />
a i ⃗e i<br />
Die reellen Zahlen a k heissen Komponenten von ⃗a (bezüglich ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 ). Die<br />
Zerlegung ist eindeutig: Sei<br />
i=1<br />
⃗a = a 1 ⃗e 1 + a 2 ⃗e 2 + a 3 ⃗e 3<br />
⃗a · ⃗e k = a k □<br />
Für gegebene Basis ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 :<br />
⎛<br />
⎞<br />
⃗a<br />
⎝ Basisunabhängiges ⎠ ←→<br />
Objekt<br />
⎛<br />
⎝<br />
| · ⃗e k<br />
(a 1 , a 2 , a 3 )<br />
“Darstellung von ⃗a”<br />
bezüglich gegebener Basis<br />
Studiere folgende an<strong>der</strong>e Schreibweise <strong>der</strong> obigen Rechnung:<br />
⎞<br />
⎠<br />
⃗a = ∑ i<br />
a i ⃗e i<br />
| · ⃗e k<br />
⃗a · ⃗e k<br />
= ∑ i<br />
= ∑ i<br />
a i (⃗e i · ⃗e k )<br />
a i δ ik = a k (1.1)<br />
9
1.9 Komponentenschreibweise<br />
Oft schreibt man Vektoren in <strong>der</strong> Form<br />
⎛ ⎞<br />
a 1<br />
⃗a = ⎝ a 2<br />
⎠<br />
a 3<br />
o<strong>der</strong><br />
⃗a = (a 1 , a 2 , a 3 ) .<br />
Nach dem oben Gesagten sind die Zahlen a 1 , a 2 , a 3 durch den Vektor ⃗a eindeutig<br />
festgelegt. (Bemerkung: Falls nicht explizite vermerkt, so verwenden<br />
wir immer ein Orthonormalsystem als Basis).<br />
Elementare Operationen in Komponenten<br />
1. ⃗c = ⃗a + ⃗ b : c i = a i + b i<br />
2. ⃗c = λ⃗a : c i = λ a i<br />
3. ⃗a ·⃗b = (a 1 ⃗e 1 + a 2 ⃗e 2 + a 3 ⃗e 3 ) · (b 1 ⃗e 1 + b 2 ⃗e 2 + b 3 ⃗e 3 )<br />
= a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 =<br />
= ∑ i<br />
a i b i<br />
O<strong>der</strong>:<br />
⃗a ·⃗b = ∑ i<br />
= ∑ i,k<br />
a i ⃗e i · ∑<br />
b k ⃗e k<br />
a i b k δ ik<br />
k<br />
= ∑ i<br />
a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3<br />
4. ⃗a × ⃗ b = (a 1 ⃗e 1 + a 2 ⃗e 2 + a 3 ⃗e 3 ) × (b 1 ⃗e 1 + b 2 ⃗e 2 + b 3 ⃗e 3 )<br />
O<strong>der</strong> an<strong>der</strong>s geschrieben:<br />
= ⃗e 1 (a 2 b 3 − a 3 b 2 ) +<br />
⃗e 2 (a 3 b 1 − a 1 b 3 ) +<br />
⃗e 3 (a 1 b 2 − a 2 b 1 )<br />
} {{ }<br />
Komponenten<br />
10
(⃗a × ⃗ b) 1 = a 2 b 3 − a 3 b 2<br />
(⃗a × ⃗ b) 2 = a 3 b 1 − a 1 b 3<br />
(⃗a × ⃗ b) 3 = a 1 b 2 − a 2 b 1 ,<br />
beziehungsweise mit Hilfe des ε–Tensors<br />
(⃗a × ⃗ b) i = ∑ j,k<br />
ε ijk a j b k .<br />
1.10 Mehrfachprodukte von Vektoren<br />
Verschiedene Produkte von drei Vektoren:<br />
a)<br />
b)<br />
⃗a ( ⃗ b · ⃗c)<br />
} {{ }<br />
Skalar<br />
} {{ }<br />
Vektor in Richtung ⃗a<br />
; (⃗a ·⃗b) ⃗c<br />
} {{ }<br />
Vektor in Richtung ⃗c<br />
⃗a × ( ⃗ b ×⃗c)<br />
Vektor ⊥ ⃗ b ×⃗c, demzufolge in <strong>der</strong> Ebene ⃗ b,⃗c.<br />
Satz:<br />
Beweis: Übung<br />
⃗a × ( ⃗ b ×⃗c) = (⃗a · ⃗c) ⃗ b − (⃗a ·⃗b)⃗c .<br />
c) ⃗a · ( ⃗ b ×⃗c)<br />
- Skalar<br />
- Geometrische Bedeutung: Volumen V des Parallelepipedes ⃗a, ⃗ b, ⃗c.<br />
<br />
<br />
<br />
¢<br />
³<br />
<br />
<br />
<br />
V =<br />
| ⃗ b ×⃗c|<br />
} {{ }<br />
|⃗a| cos ϕ = |⃗a · (<br />
} {{ }<br />
b ×⃗c)|<br />
Grundfläche Höhe<br />
11
Bemerkungen:<br />
1) Mit <strong>der</strong> Definition V = ⃗a·( ⃗ b×⃗c) kann V positiv o<strong>der</strong> negativ sein.<br />
2) Falls ⃗a, ⃗ b, ⃗c in einer Ebene: ⃗a · ( ⃗ b ×⃗c) = 0.<br />
3) Es gilt:<br />
⃗a · ( ⃗ b ×⃗c) = ⃗c · (⃗a × ⃗ b) = ⃗ b · (⃗c ×⃗a)<br />
= −⃗a · (⃗c × ⃗ b) = −⃗c · ( ⃗ b ×⃗a) = − ⃗ b · (⃗a ×⃗c)<br />
4) In Komponenten:<br />
⃗a · ( ⃗ b ×⃗c) = ∑ i<br />
a i ( ⃗ b ×⃗c) i = ∑ i,j,k<br />
ε ijk a i b j c k .<br />
d) Hinweise zu 4-fachen Produkten:<br />
(⃗a × ⃗ b) · (⃗c × d) ⃗ = (⃗a · ⃗c) ( ⃗ b · ⃗d) − (⃗a · ⃗d) ( ⃗ b · ⃗c)<br />
e) (⃗a × ⃗ b) 2 : Setze ⃗c = ⃗a, d ⃗ = ⃗ b in d).<br />
(⃗a × ⃗ b) 2 = ⃗a 2 ⃗ b 2 − (⃗a ·⃗b) 2<br />
1.11 Ortsvektoren, Koordinaten<br />
Gegeben: Ursprung O, Basis ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 .<br />
Ü¿¾<br />
Ü<br />
¼<br />
ܽ ½ ¿<br />
È<br />
ȼ<br />
ܾ<br />
Punkt P: definiert den Ortsvektor ⃗x:<br />
⃗x = ∑ i<br />
x i ⃗e i<br />
x i = “Komponenten von ⃗x” o<strong>der</strong><br />
x i = “Koordinaten von P” bezüglich Basis ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 und Ursprung O.<br />
(x 1 , x 2 , x 3 ) ←→ P<br />
Ursprung O fest; P, ⃗x variabel.<br />
12
1.12 Matrizen<br />
Neben Vektoren, <strong>der</strong>en Komponenten einen Index tragen, z.B.<br />
⎛ ⎞<br />
( ) b 1<br />
a1<br />
⃗a = , ⃗ b = ⎝ b<br />
a 2<br />
⎠ ,<br />
2<br />
b 3<br />
ist es nützlich auch Matrizen zu betrachten, <strong>der</strong>en Komponenten zwei Indizes<br />
tragen, also etwa<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
( ) b<br />
a11 a 11 b 12 b 13 c 11 c 12<br />
A = 12<br />
, B = ⎝ b<br />
a 21 a 21 b 22 b 23<br />
⎠, C = ⎝ c 21 c 22<br />
⎠ .<br />
22<br />
b 31 b 32 b 33 c 31 c 32<br />
Definition: Unter einer m × n Matrix A verstehen wir ein Schema<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 a 12 . . . a 1n<br />
a 21 a 22 . . . a 2n<br />
A = (a ij ) = ⎜<br />
⎝<br />
.<br />
. . . . . . ..<br />
⎟ . . . ⎠<br />
a m1 a m2 . . . a mn<br />
von m × n Zahlen, bestehend aus m Zeilen und n Spalten. Der erste Index<br />
i = 1, . . ., m bezeichnet die Zeilen, <strong>der</strong> zweite Index j = 1, . . ., n die Spalten.<br />
In <strong>der</strong> <strong>Physik</strong> haben Matrizen zweierlei Anwendungen. Erstens gibt es<br />
physikalische Grössen, die sich in einem gegebenen Koordinatensystem durch<br />
eine Matrix darstellen lassen. Solche Grössen heissen Tensoren zweiter Stufe.<br />
Die Stufe eines Tensors ist dabei die Anzahl Indizes, ein Vektor ist also ein<br />
Tensor erster Stufe. Ein Beispiel für einen Tensor ist <strong>der</strong> Trägheitstensor,<br />
welcher beschreibt was für ein Drehimpuls resultiert, wenn ein starrer Körper<br />
um eine bestimmte Achse rotiert wird.<br />
Zweitens können Matrizen lineare Abbildungen (Drehungen und Streckungen)<br />
von Vektoren beschreiben. Matrizen können also dazu benutzt werden<br />
um die Komponenten eines Vektors in einem neuen Bezugssystem auszurechnen,<br />
wie wir unten sehen werden.<br />
1.12.1 Eigenschaften und Rechenregeln<br />
1) Gleicheit zweier Matrizen A und B:<br />
A = B ⇐⇒ a ij = b ij ∀ i, j<br />
Beachte: A und B müssen gleichen Typs m × n sein.<br />
13
2) Summe zweier Matrizen A und B:<br />
C = A + B ⇐⇒ c ij = a ij + b ij ∀ i, j<br />
Beachte: A und B müssen gleichen Typs m × n sein. Die Addition ist<br />
kommutativ.<br />
3) Die Nullmatrix besteht aus lauter Nullen:<br />
⎛ ⎞<br />
0 · · · 0<br />
⎜<br />
0 = ⎝<br />
.<br />
. ..<br />
⎟ . ⎠ .<br />
0 · · · 0<br />
4) Die Einheitsmatrix ist immer vom Typ n × n, also quadratisch:<br />
⎛ ⎞<br />
1 0<br />
. 0 1 ..<br />
1 = ⎜ ⎟<br />
⎝ .. .<br />
.. . 0 ⎠ = δ ij .<br />
0 1<br />
5) Multiplikation mit einem Skalar α:<br />
⎛<br />
⎞<br />
αa 11 αa 12 · · · αa 1n<br />
αa 21 αa 22 · · · αa 2n<br />
α · A = ⎜<br />
⎝ . .<br />
..<br />
⎟ . . ⎠ = (α · a ij) .<br />
αa m1 αa m2 · · · αa mn<br />
6) Transponierung einer Matrix: Sei A = (a ij ) vom Typ m × n. Dann ist<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 a 21 · · · a m1<br />
A T a 12 a 22 · · · a m2<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
.<br />
. . ..<br />
⎟ . ⎠ = (a ji)<br />
a 1n a 2n · · · a mn<br />
die transponierte Matrix vom Typ n × m.<br />
1.12.2 Multiplikation von Matrizen<br />
Definition: Sei A = (a ij ) eine m A × n A -Matrix und B = (b ij ) eine m B × n B -<br />
Matrix. Wenn n A = m B , dann ist das Produkt C = A · B definiert durch<br />
C = (c ik ) =<br />
14<br />
n A<br />
∑=m B<br />
j=1<br />
a ij b jk
und vom Typ m A × n B .<br />
Beachte, dass im allgemeinen A · B ≠ B · A. Beispiele:<br />
( ) ( )<br />
1) 1 2 5<br />
A = , B = ⇒ A · B =<br />
3 4 6<br />
( 17<br />
39<br />
)<br />
2) A = ( 1 2 ) (<br />
3<br />
, B =<br />
4<br />
)<br />
⇒ A · B = ( 11 )<br />
3) A = ( 1 2 ) ( 3<br />
, B =<br />
4<br />
)<br />
⇒ B · A =<br />
( 3 6<br />
4 8<br />
)<br />
1.12.3 Determinanten<br />
Definition: Sei A = (a ij ) eine quadratische n × n Matrix. Dann ist<br />
det A = |A| =<br />
n∑<br />
i,j,k,...=1<br />
ε ijk... · a 1i a 2j a 3k . . .<br />
die Determinante von A, wobei ε ijk... das Vorzeichen <strong>der</strong> Permutation (123 . . .) →<br />
(ijk . . .) darstellt.<br />
Beispiele:<br />
1) A = (a ij ) vom Typ 1 × 1: det A = a 11<br />
2) A = (a ij ) vom Typ 2 × 2:<br />
det A =<br />
∣ a ∣<br />
11 a 12 ∣∣∣<br />
= a<br />
a 21 a 11 · a 22 − a 12 · a 21<br />
22<br />
3) A = (a ij ) vom Typ 3 × 3:<br />
∣ a 11 a 12 a 13 ∣∣∣∣∣<br />
det A =<br />
a 21 a 22 a 23<br />
∣ a 31 a 32 a 33<br />
= a 11 · a 22 · a 33 + a 12 · a 23 · a 31 + a 21 · a 32 · a 13<br />
−a 13 · a 22 · a 31 − a 12 · a 21 · a 33 − a 23 · a 32 · a 11<br />
15
Eigenschaften:<br />
1) Determinante ist homogen bezüglich <strong>der</strong> Multiplikation einer Zeile mit<br />
einem Skalar:<br />
a 11 a 12 · · · a 1n<br />
a 11 a 12 · · · a 1n<br />
. . .<br />
. . .<br />
= λ ·<br />
λa i1 λa i2 · · · λa in<br />
a i1 a i2 · · · a in<br />
∣ . . . ∣ ∣ . . . ∣<br />
2) Analog für die Multiplikation einer Spalte mit einem Skalar.<br />
3) Vorzeichenwechsel unter Vertauschung zweier beliebiger Zeilen:<br />
. . .<br />
. . .<br />
a i1 a i2 · · · a in<br />
a j1 a j2 · · · a jn<br />
. . .<br />
= −<br />
. . .<br />
a j1 a j2 · · · a jn<br />
a i1 a i2 · · · a in<br />
∣ . . . ∣ ∣ . . . ∣<br />
4) Analog für die Vertauschung zweier beliebiger Spalten.<br />
5) ∣ ∣ A<br />
T = |A|<br />
6) |A · B| = |A| · |B|<br />
1.12.4 Beispiele<br />
1) Kroneckersymbol δ ij :<br />
Matrix vom Typ n × n (bisher n = 2 o<strong>der</strong> 3)<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
δ 11 δ 12 δ 13 1 0 0<br />
δ ij = ⎝ δ 21 δ 22 δ 23<br />
⎠ = ⎝ 0 1 0<br />
δ 31 δ 32 δ 33 0 0 1<br />
2) Lineare Transformationen von Vektoren (z.B. Drehungen, Streckungen):<br />
Es seien zwei Basissysteme {⃗e 1 ,⃗e 2 } und { d ⃗ 1 , d ⃗ 2 } gegeben,<br />
( 1<br />
⃗e 1 =<br />
0<br />
)<br />
, ⃗e 2 =<br />
( 0<br />
1<br />
)<br />
und ⃗ d 1 = 1 √<br />
2<br />
( 1<br />
1<br />
16<br />
⎞<br />
⎠ .<br />
)<br />
, ⃗ d 2 = 1 √<br />
2<br />
( −1<br />
1<br />
)<br />
.
Eine Abbildung ⃗e 1 → d ⃗ 1 und ⃗e 2 → d ⃗ 2 ist nun durch die Matrix R<br />
definiert,<br />
( )<br />
1√2<br />
− √ 1<br />
R =<br />
2<br />
√<br />
1 √2<br />
1 .<br />
2<br />
Übung: Überprüfe R · ⃗e 1 = ⃗ d 1 und R · ⃗e 2 = ⃗ d 2 .<br />
Allgemein wird je<strong>der</strong> beliebige Vektor im Basissystem {⃗e 1 ,⃗e 2 } durch<br />
Multiplikation mit R auf das Basissystem { ⃗ d 1 , ⃗ d 2 } abgebildet.<br />
3) Volumen eines Parallelepipeds:<br />
⎛<br />
V (⃗a, ⃗ ( )<br />
b,⃗c) = ⃗a · ⃗b ×⃗c = det ⎝<br />
⎞<br />
a 1 b 1 c 1<br />
a 2 b 2 c 2<br />
⎠ .<br />
a 3 b 3 c 3<br />
2 Vektorfunktionen<br />
2.1 Definition<br />
u: reell; jedem Wert von u ∈ [u a , u b ] ist ein Vektor ⃗ω(u) zugeordnet:<br />
⃗ω = ⃗ω(u) .<br />
Explizite Zuordnung z.B. durch Wahl einer Basis und Angabe <strong>der</strong> Komponentenfunktionen:<br />
⃗ω = ⃗ω(u) = (ω 1 (u), ω 2 (u), ω 3 (u)) .<br />
Beispiel 1: ⃗ω(u) → ⃗x(t), wobei ⃗x(t) <strong>der</strong> Ort eines Massenpunktes zur Zeit t<br />
ist. ⃗x(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t))<br />
ܾ<br />
ܴص<br />
Ü´Ø·¡Øµ<br />
Abbildung 2.1: Zu Beispiel 1.<br />
Beispiel 2: ⃗ω(u) → ⃗v(t). Geschwindigkeit ⃗v(t) einer Rakete zum Zeitpunkt t.<br />
ܽ<br />
17
Ú¾<br />
ڴص<br />
ܾ<br />
ڴص<br />
Ú´Ø·¡Øµ<br />
Ú½<br />
ܽ<br />
Abbildung 2.2: Zu Beispiel 2.<br />
Stetigkeit: ⃗ω(u) heisst stetig in u = u 0 , wenn alle Komponenten stetig sind<br />
in u = u 0 .<br />
Graphik: Trägt man ⃗ω(u) von einem festen Punkt aus auf, so beschreibt die<br />
Spitze von ⃗ω eine Kurve im Raum.<br />
Ein- und dieselbe Kurve kann verschieden parametrisiert<br />
sein. Beispiel:<br />
a) ⃗x(ϕ) = (cosϕ, sin ϕ, 0)<br />
ܾ Ü ³ ܽ<br />
b) ⃗x(t) = (cos(at 2 ), sin(at 2 ), 0)<br />
Interpretation:<br />
b) t=Zeit: Bewegungsablauf.<br />
a) “Parameterdarstellung <strong>der</strong> Bahn (Kurve)”. Hier ist <strong>der</strong> Winkel ϕ als<br />
Parameter gewählt. Ein an<strong>der</strong>er denkbarer Parameter wäre z.B. u = x 2 :<br />
⃗x(u) = ( √ 1 − u 2 , u, 0)<br />
Bem.: Auch b) ist eine Parameterdarstellung <strong>der</strong> Bahn. Parameter ist die<br />
Zeit t.<br />
18
2.2 Die erste Ableitung<br />
Sei ⃗ω(u) = (ω 1 (u), ω 2 (u), ω 3 (u)) gegeben. Bilde<br />
(<br />
⃗ω ′ dω1<br />
(u) =<br />
du , dω 2<br />
du , dω )<br />
3<br />
= (ω 1 ′ du<br />
, ω′ 2 , w′ 3 )<br />
( )<br />
ω1 (u + ∆u) − ω 1 (u) ⃗ω(u + ∆u) − ⃗ω(u)<br />
= lim<br />
, ... = lim<br />
∆u→0 ∆u<br />
∆u→0 ∆u<br />
∆⃗ω .<br />
= lim = d⃗ω<br />
∆u→0 ∆u du .<br />
Bedeutung:<br />
Û¼´Ùµ<br />
1. u wählen (fest)<br />
2. ∆u wählen, ∆⃗ω<br />
∆u bilden<br />
Û´Ùµ<br />
¡Û<br />
Û´Ù·¡Ùµ<br />
3. ∆u kleiner werden lassen, Grenzwert ∆u → 0<br />
bilden; ∆⃗ω → d⃗ω = ∆u du ⃗ω′ (u).<br />
4. ⃗ω ′ (u) definiert die Tangente.<br />
Bemerkungen:<br />
1. ⃗ω ′ (u) = (ω 1, ′ ω 2, ′ ω 3) ′ ist definiert, falls die Ableitungen ω k ′ (u) existieren.<br />
2. In <strong>der</strong> Situation ⃗ω(u) → ⃗x(t) heisst d⃗x<br />
dt<br />
die Geschwindigkeit; Ableitungen<br />
nach <strong>der</strong> Zeit werden üblicherweise mit einem Punkt abgekürzt:<br />
Beispiele<br />
1.<br />
⃗x(t) =<br />
d⃗x<br />
dt = ˙⃗x(t) = (ẋ 1 (t), ẋ 2 (t), ẋ 3 (t)) .<br />
(0, 0, − 1 2 g t2 )<br />
˙⃗x(t) = (0, 0, −g t)<br />
2. ⃗x(u) = ⃗a + u ⃗ b; ⃗a, ⃗ b konstant<br />
⃗x ′ (u) = ⃗ b<br />
Ü¿<br />
ܴص<br />
ܴص<br />
ܽ¾<br />
19
3. ⃗x(ϕ) = (R cosϕ, R sin ϕ, 0)<br />
⃗x ′ (ϕ) = (−R sin ϕ, R cos ϕ, 0)<br />
ܾ Ü Ü¼<br />
³ ܽ<br />
4. Gleichförmige Kreisbewegung<br />
Gleichförmige Zunahme des Winkels ϕ im Beispiel<br />
2:<br />
ϕ = ω t , ω konstant<br />
⃗x(t) = (R cos(ω t), R sin(ω t), 0)<br />
˙⃗x(t) = (−R ω sin(ω t), R ω cos(ω t), 0)<br />
Eigenschaften:<br />
a) ⃗x · ˙⃗x = 0<br />
= R ω (− sin(ω t), cos(ω t), 0)<br />
b) |⃗x| = R , | ˙⃗x| = ω R<br />
= ω : “Winkelgeschwindigkeit”, “Kreisfrequenz”<br />
dt<br />
d) Umlaufszeit T: ω T = 2π → T = 2π.<br />
ω<br />
c) dϕ<br />
e) Frequenz ν: ν = 1 T = ω 2π<br />
2.2.1 Rechenregeln für die Ableitung von Vektorfunktionen<br />
Es gelten folgende Beziehungen, die sich via Komponentenschreibweise<br />
leicht beweisen lassen:<br />
d<br />
[<br />
⃗a(u) +<br />
du<br />
⃗ ]<br />
b(u) = ⃗a ′ + ⃗ b ′<br />
d<br />
[ ]<br />
⃗a(u) ·⃗b(u) = ⃗a ′ ·⃗b +⃗a ·⃗b ′<br />
du<br />
d<br />
[<br />
⃗a(u) ×<br />
du<br />
⃗ ]<br />
b(u) = ⃗a ′ × ⃗ b +⃗a × ⃗ b ′<br />
d<br />
du [λ(u)⃗a(u)] = λ′ ⃗a + λ⃗a ′<br />
Anwendung: Massenpunkt bewege sich auf einer festen Kugelfläche vom Ra-<br />
20
dius R. ⃗x(t) bezeichne den Ortsvektor:<br />
⃗x 2 (t) = R 2 ; Diese Gleichung nach t abgeleitet ergibt:<br />
d<br />
dt ⃗x2 (t) = 0<br />
⃗x · ˙⃗x + ˙⃗x · ⃗x = 0<br />
2⃗x · ˙⃗x = 0 → ˙⃗x ⊥ ⃗x.<br />
Übung: Bewegung eines Massenpunktes m mit <strong>der</strong> Ladung q im Magnetfeld<br />
⃗B(⃗x). Die Geschwindigkeit ⃗v(t) erfüllt die Newtonsche Gleichung<br />
m˙⃗v(t) = q⃗v(t) × ⃗ B (⃗x(t))<br />
} {{ }<br />
Lorentzkraft<br />
Zeige hieraus, dass die kinetische Energie konstant bleibt, d.h.,<br />
( )<br />
d 1<br />
dt 2 m⃗v2 = 0.<br />
2.3 Die zweite Ableitung<br />
Sei ⃗ω(u) gegeben. In 2.2 haben wir die erste Ableitung ⃗ω ′ (u) = (ω ′ 1, ω ′ 2, ω ′ 3)<br />
gebildet. Die zweite Ableitung ist wie folgt definiert:<br />
Beispiel:<br />
⃗ω ′′ (u) = d2 ⃗ω<br />
du = d<br />
2 du ⃗ω′ (u) = d<br />
du (ω′ 1 , ω′ 2 , ω′ 3 )<br />
( )<br />
d<br />
= (ω 1 ′′<br />
2 , ω′′ 2 , ω′′ 3 ) = ω 1<br />
du , d2 ω 2<br />
2 du , d2 ω 3<br />
.<br />
2 du 2<br />
⃗ω(u) → ⃗x(ϕ) = R (cosϕ, sin ϕ, 0)<br />
⃗x ′ (ϕ) = R (− sin ϕ, cosϕ, 0)<br />
⃗x ′′ (ϕ) = −R (cosϕ, sin ϕ, 0) .<br />
2.4 Bewegung eines Punktes<br />
ܾ<br />
ܼ¼ ܼ<br />
³ ܽ<br />
Ü<br />
⃗ω(u) → ⃗x(t); Ort als Funktion <strong>der</strong> Zeit t.<br />
⃗x(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t))<br />
21
Definition <strong>der</strong> Geschwindigkeit:<br />
⃗v(t) = d⃗x<br />
dt = ˙⃗x(t) = (ẋ 1 (t), ẋ 2 (t), ẋ 3 (t)) = (v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t))<br />
Die Geschwindigkeit ist die Verän<strong>der</strong>ung des Ortes pro Zeit:<br />
Definition <strong>der</strong> Beschleunigung:<br />
⃗x(t + ∆t) − ⃗x(t) ∆⃗x<br />
⃗v(t) = lim<br />
= lim<br />
∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t .<br />
⃗a(t) = d⃗v<br />
dt = ˙⃗v(t) = (˙v 1 (t), ˙v 2 (t), ˙v 3 (t))<br />
= d2 ⃗x<br />
dt 2 = ¨⃗x(t) = (ẍ 1 (t), ẍ 2 (t), ẍ 3 (t))<br />
Die Beschleunigung ist die Verän<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Geschwindigkeit pro Zeit:<br />
⃗a(t) = lim<br />
∆t→0<br />
⃗v(t + ∆t) − ⃗v(t)<br />
∆t<br />
∆⃗v<br />
= lim<br />
∆t→0 ∆t .<br />
Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind Vektoren.<br />
Beispiel 1:<br />
(<br />
⃗x(t) = v 01 t, v 02 t − 1 )<br />
2 g t2 , 0<br />
Beispiel 2:<br />
˙⃗x(t) = (v 01 , v 02 − g t, 0)<br />
¨⃗x(t) = (0, −g, 0)<br />
⃗x(t) = ⃗x 0 + ⃗v 0 t = (x 01 + v 01 t, x 02 + v 02 t, x 03 + v 03 t)<br />
˙⃗x(t) = ⃗v 0<br />
¨⃗x(t) = 0<br />
Beispiel 3:<br />
⃗x(t) = ⃗x 0 + ⃗v 0 t + 1 2 ⃗a 0 t 2<br />
˙⃗x(t) = ⃗v 0 +⃗a 0 t<br />
¨⃗x(t) = ⃗a 0<br />
→ Gleichmässig beschleunigte Bewegung.<br />
22
Beispiel 4:<br />
⃗x(t) = R (cos(ω t), sin(ω t), 0)<br />
˙⃗x(t) = R ω (− sin(ω t), cos(ω t), 0)<br />
¨⃗x(t) = −R ω 2 (cos(ω t), sin(ω t), 0)<br />
Für die gleichmässige Kreisbewegung gilt also:<br />
¨⃗x(t) = −ω 2 ⃗x(t)<br />
|¨⃗x| = R ω 2<br />
| ˙⃗x| = R ω<br />
ÜÜ<br />
ܾ<br />
ĐÜ Ü<br />
³ ܽ<br />
Ü<br />
Beispiel 5: ⃗x(t) = R (cos ϕ(t), sin ϕ(t), 0)<br />
Spezialfälle:<br />
ϕ(t) = λ t 3 .<br />
1. Richtung von ⃗v(t) konstant: ∆⃗v ‖ ⃗v , ˙⃗v ‖ ⃗v . → Geradlinige Bewegung.<br />
Der Betrag von ⃗v kann sich verän<strong>der</strong>n:<br />
2. Betrag von ⃗v(t) konstant:<br />
⃗x(t) = ⃗ A + ⃗ B h(t) ; ⃗ A, ⃗ B konstant.<br />
d<br />
dt (⃗v2 ) = 0 ; → ⃗v · ˙⃗v = 0 ; → ˙⃗v ⊥ ⃗v .<br />
Bsp.: Bewegung im Magnetfeld.<br />
3 Taylor–Entwicklung<br />
3.1 Taylor–Entwicklung 1. Ordnung<br />
Wir betrachten eine Funktion w,<br />
w(u) : IR → IR,<br />
und vergleichen ihren Wert an <strong>der</strong> Stelle u 0 mit demjenigen an <strong>der</strong> Stelle<br />
u 0 + ∆u. Insbeson<strong>der</strong>e setzen wir<br />
ω(u 0 + ∆u) = ω(u 0 ) + ∆ω ,<br />
23
wobei ∆ω den Zuwachs des Funktionswertes bezeichnet, siehe die Figur.<br />
Näherungsweise hat man<br />
w(u 0 + ∆u) = ω(u 0 ) + ω ′ (u 0 ) · ∆u , (3.1)<br />
wobei ω ′ (u 0 ) · ∆u Ûeine Näherung für den Zuwachs ist. Vergleiche mit <strong>der</strong><br />
Figur. Für viele Zwecke handelt es sich in (3.1) um eine hinreichend gute<br />
Ù¼<br />
¡Ù<br />
Û¼´Ù¼µ¡Ù<br />
Ù¼·¡ÙÙ<br />
¡Û<br />
Abbildung 3.1: Definition des Zuwachses ∆ω.<br />
Näherung. Sie entspricht <strong>der</strong> Approximation des exakten Verlaufes von ω(u)<br />
in <strong>der</strong> Umgebung von u = u 0 durch eine lineare Funktion ω 1 (u):<br />
ω 1 (u) = ω(u 0 ) + ω ′ (u 0 ) (u − u 0 ) .<br />
ω 1 (u) heisst “Taylorentwicklung 1. Ordnung” (T.E.1.O.) <strong>der</strong> Funktion ω(u)<br />
um die Stelle u 0 und ist eine Funktion 1. Grades in u, welche an <strong>der</strong> Stelle<br />
u 0 in <strong>der</strong> nullten und ersten Ableitung mit ω(u) überesintimmt:<br />
Die Approximation ω(u) ≃ ω 1 (u)<br />
ω 1 (u 0 ) = ω(u 0 )<br />
ω ′ 1 (u 0) = ω ′ (u 0 )<br />
ω(u) ≃ ω 1 (u) = ω(u 0 ) + ω ′ (u 0 ) (u − u 0 )<br />
heisst “Taylor–Näherung 1. Ordung” (T.N.1.O.). Sie bezieht sich auf eine<br />
bestimmte Entwicklungsstelle u 0 .<br />
Beispiele:<br />
1. ω(u) = u , u 0 = 1<br />
Exakt: ω(1 + ∆u) = 1 + ∆u<br />
T.E.1.O: ω 1 (1 + ∆u) = 1 + ∆u<br />
Stimmt mit exaktem Wert überein.<br />
24
2. ω(u) = u 2 , u 0 = 1<br />
Exakt: ω(1 + ∆u) = (1 + ∆u) 2 = 1 + 2 ∆u + ∆u 2<br />
T.E.1.O: ω 1 (1 + ∆u) = 1 + 2 ∆u<br />
∆u Zuwachs ω(u) − 1 ω 1 (u) − 1 rel. Fehler im Zuwachs<br />
0.01 0.0201 0.0200 0.005<br />
0.1 0.21 0.20 0.05<br />
Tabelle 3.1: Numerischer Vergleich von ω(u) und ω 1 (u).<br />
Die Bedeutung <strong>der</strong> T.N.1.O. liegt darin, dass <strong>der</strong> relative Fehler für den<br />
Zuwachs mit ∆u → 0 beliebig klein wird.<br />
Übung: ω(u) = √ u in <strong>der</strong> Umgebung von u 0 = 2. √ 2 + ∆u =?<br />
3.2 Taylor-Entwicklung 2. Ordnung<br />
ω 1 (u) :<br />
ω 2 (u) :<br />
Analog:<br />
Funktion ersten Grades in u, welche in u 0 in <strong>der</strong> nullten und in <strong>der</strong><br />
ersten Ableitung mit ω(u) übereinstimmt.<br />
Funktion zweiten Grades in u, welche in u 0 bis zur zweiten Ableitung<br />
mit ω(u) übereinstimmt.<br />
ω 2 (u) = ω(u 0 ) + ω ′ (u 0 ) (u − u 0 ) + 1 2 ω′′ (u 0 ) (u − u 0 ) 2<br />
Wie leicht zu sehen ist, gilt tatsächlich:<br />
ω 2 (u 0 ) = ω(u 0 )<br />
ω ′ 2(u 0 ) = ω ′ (u 0 )<br />
ω ′′<br />
2(u 0 ) = ω ′′ (u 0 )<br />
ω 1 (u) hat in u 0 die richtige Steigung. ω 2 (u) hat in u 0 sowohl die richtige<br />
Steigung, als auch die richtige Krümmung.<br />
Die Approximation ω(u) ≃ ω 2 (u):<br />
ω(u) ≃ ω(u 0 ) + ω ′ (u 0 ) (u − u 0 ) + 1 2 ω′′ (u 0 ) (u − u 0 ) 2<br />
heisst “Taylor–Näherung 2. Ordnung” (T.N.2.O.) in u = u 0 .<br />
25
Û<br />
Ù¼<br />
Û´Ùµ<br />
Û¾´Ùµ<br />
Û½´Ùµ<br />
Ù<br />
Abbildung 3.2: Taylor Approximationen w 1 (u), w 2 (u) an die Funktion w(u).<br />
Numerisches Beispiel: ω(u) → F(x) = sin x (x statt u; F statt ω.)<br />
Entwicklung um x 0 = π/4:<br />
( π<br />
( π<br />
) (<br />
F 1 (x) = F + F<br />
4)<br />
′ x − π )<br />
,<br />
4 4<br />
( π<br />
( π<br />
) (<br />
F 2 (x) = F + F<br />
4)<br />
′ x − π )<br />
+ 1 ( π<br />
) (<br />
4 4 2 F ′′ x − π 2<br />
,<br />
4 4)<br />
wobei<br />
( π<br />
F<br />
4)<br />
Somit gilt:<br />
( √<br />
π 2<br />
( π<br />
) ( π<br />
= sin =<br />
4)<br />
2 ; F ′ = cos =<br />
4 4)<br />
√<br />
2<br />
F 1 (x) =<br />
2<br />
√ [ 2<br />
F 2 (x) = 1 +<br />
2<br />
[ (<br />
1 + x − π )]<br />
.<br />
4<br />
(<br />
x − π )<br />
− 1 (<br />
x − π ) ] 2<br />
4 2 4<br />
√<br />
2<br />
( π<br />
) ( √<br />
π 2<br />
2 ; F ′′ = − sin = −<br />
4 4)<br />
2 .<br />
26
Abbildung 3.3: F 1 (x): gestrichelt; F 2 (x): gestrichpunktet; F(x): ausgezogen.<br />
Die vertikale Linie ist bei x = π/4.<br />
3.3 Taylor-Entwicklung beliebiger Ordnung<br />
ω N (u) =<br />
N∑<br />
k=0<br />
1<br />
k! ω(k) (u 0 ) (u − u 0 ) k ; ω (k) (u) = . dk ω(u)<br />
du k<br />
stimmt an <strong>der</strong> Stelle u = u 0 bis zur N-ten Ableitung mit ω(u) überein.<br />
“Taylor–Entwicklung N-ter Ordnung” um u 0 .<br />
Die Approximation ω(u) ≃ ω N (u) heisst “Taylor–Näherung N-ter Ordnung”.<br />
Unter bestimmten Voraussetzungen existiert ω ∞ (u) und stellt die ursprüngliche<br />
Funktion ω(u) in einer Umgebung von u 0 exakt dar:<br />
ω(u) =<br />
∞∑<br />
k=0<br />
1<br />
k! ω(k) (u 0 ) (u − u 0 ) k .<br />
Diese Entwicklung heisst “Taylor–Reihe” von ω(u) in u 0 .<br />
Beson<strong>der</strong>s bekannt sind die Entwicklungen um u 0 = 0 (Potenzreihen) [siehe<br />
Formeln und Tafeln]:<br />
e x<br />
= 1 + x + x2<br />
2! + x3<br />
3! + x4<br />
4! + · · ·<br />
cos x = 1 − x2<br />
2! + x4<br />
4! − x6<br />
6! ± · · ·<br />
sin x = x − x3<br />
3! + x5<br />
5! − x7<br />
7! ± · · ·<br />
27
4 Komplexe Zahlen<br />
Komplexe Zahlen spielen in <strong>der</strong> <strong>Physik</strong> eine wichtige Rolle. Im Folgenden<br />
wird davon ausgegangen, dass im bisherigen Unterricht komplexe Zahlen eingeführt<br />
wurden. Interessierte finden bei www.wikipedia.org unter dem Stichwort<br />
Komplexe Zahlen eine gut lesbare Darstellung. Hier werden nur wichtige<br />
Eigenschaften kurz diskutiert.<br />
1) Definition: Als komplexe Zahlen bezeichnet man Objekte <strong>der</strong> Form<br />
z = α + iβ ,<br />
wobei α, β beliebige reelle Zahlen sind. Man nennt α (β) den Realteil<br />
(Imaginärteil) <strong>der</strong> komplexen Zahl z. Die imaginäre Einheit i ist ein<br />
Objekt mit <strong>der</strong> Eigenschaft i 2 = −1.<br />
2) Gauss’sche Zahlenebene: Definiere die komplexe Zahl α + iβ als Punkt<br />
(α, β) in <strong>der</strong> Ebene IR 2 .<br />
Die Teilmenge <strong>der</strong> reellen Zahlen (β = 0) bildet die waagrechte Achse,<br />
diejenige <strong>der</strong> rein imaginären komplexen Zahlen (α = 0) die senkrechte<br />
Achse.<br />
Der Addition zweier komplexer Zahlen z 1 , z 2 entspricht in <strong>der</strong> Gauss’schen<br />
Zahlenebene die komponentenweise Addition von Vektoren mit den<br />
Komponenten (α 1 , β 1 ), (α 2 , β 2 ).<br />
3) Addition: Die Summe zweier komplexer Zahlen z 1 = α 1 + iβ 1 , z 2 =<br />
α 2 + iβ 2 ist definiert durch<br />
z 1 + z 2 = (α 1 + α 2 ) + i(β 1 + β 2 ) .<br />
4) Multiplikation: Das Produkt zweier komplexer Zahlen z 1 , z 2 ist definiert<br />
durch<br />
z 1 z 2 = (α 1 α 2 − β 1 β 2 ) + i(α 1 β 2 + α 2 β 1 ).<br />
5) Komplexe Konjugation: Die zu z = α + iβ komplex konjugierte Zahl<br />
ist definiert durch<br />
¯z = z ∗ = α − iβ .<br />
28
Im z<br />
4<br />
iφ<br />
z=4+3i = 5 e<br />
−3<br />
−2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
−1<br />
−1<br />
0<br />
Laenge = 5<br />
φ<br />
1 2 3 4 5<br />
Re z<br />
−2<br />
−3<br />
−iφ<br />
z=4−3i = 5 e<br />
Abbildung 4.1: Die Gauss’sche Zahlenebene.<br />
6) Betrag: Der Betrag einer komplexen Zahl ist definiert durch<br />
|z| = (α 2 + β 2 ) 1/2 .<br />
Der Betrag |z| ist eine reelle Zahl und gleich <strong>der</strong> Länge des entsprechenden<br />
Vektors (α, β) in <strong>der</strong> komplexen Zahlenebene.<br />
7) Die Menge <strong>der</strong> komplexen Zahlen wird im folgenden mit C bezeichnet.<br />
8) Exponentialform<br />
Die Exponentialdarstellung von komplexen Zahlen ist äusserst nützlich<br />
für Rechnungen. Sie lautet<br />
z = ρe iφ = ρ(cosφ + i sin φ) ; ρ = |z| .<br />
Die Exponentialfunktion wird im Abschnitt 4.1 kurz diskutiert. In Abbildung<br />
4.1 ist tan φ = 3/4 ⇒ φ = 36.7 ◦ , im Bogenmass φ = 36.7 π = 180<br />
0.643.<br />
Die Multiplikation erscheint in dieser Darstellung beson<strong>der</strong>s einfach.<br />
Mit z 1 = ρ 1 e iφ 1<br />
und z 2 = ρ 2 e iφ 2<br />
haben wir<br />
z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e i(φ 1+φ 2 ) .<br />
29
4.1 Die Exponentialfunktion<br />
Die Exponentialfunktion kann auf verschiedensten Wegen eingeführt werden.<br />
Hier definieren wie sie durch<br />
e z . =<br />
∞<br />
∑<br />
n=0<br />
z n<br />
n! , z ǫ C<br />
Dabei haben wir das Symbol n! = 1 · 2 · 3 · · ·n benutzt (ausgesprochen als<br />
“n Fakultät”). Die Reihe ist konvergent ∀ z ∈ C.<br />
Eigenschaften <strong>der</strong> Exponentialfunktion<br />
e z e w<br />
e iϕ<br />
e x<br />
e 0<br />
= e z+w<br />
= cosϕ + i sin ϕ, ϕ ǫ R<br />
> 0, x ǫ R; e z ≠ 0, z ǫ C<br />
= 1; e 1 = 2.71828...; e iπ = −1<br />
(e x ) ′ = e x<br />
f ′ (x) = f(x) ↦→ f(x) = C e x , C konstant<br />
Bemerkung: Die Notation cis φ = cosφ + i sin φ wird nirgends benutzt.<br />
Logarithmusfunktion<br />
Exponentialfunktion: e x : R → R +<br />
Umkehrfunktion: ln x : R + → R<br />
e lnx = x, x > 0<br />
Eigenschaften <strong>der</strong> Logarithmusfunktion<br />
ln(x · y) = ln x + ln y<br />
d<br />
dx ln x = 1 x<br />
(4.1)<br />
30
5 Hinweise zur Integration<br />
5.1 Das unbestimmte Integral<br />
Gegeben: Funktion f(x)<br />
Gesucht: Funktionen F(x), mit <strong>der</strong> Eigenschaft, dass<br />
Symbolik:<br />
dF(x)<br />
dx<br />
∫<br />
F(x) =<br />
= f(x) .<br />
dxf(x) .<br />
F heisst “unbestimmtes Integral” o<strong>der</strong> “Stammfunktion” von f.<br />
Beispiel:<br />
∫<br />
f(x) = x ; F(x) =<br />
dxx = 1 2 x2 + C .<br />
F enthält eine Integrationskonstante C, welche durch die Definition von F<br />
nicht festgelegt ist.<br />
Die unbestimmte Integration ist die Umkehrung <strong>der</strong> Differentiation:<br />
F(x)<br />
R<br />
f(x) dx<br />
ableiten<br />
←—————– f(x) , F(x) —————–→ f(x) .<br />
Tafeln: Gradshteyn and Ryzhik, Table of Integrals, Series and Products, Academic<br />
Press (Bibliothek).<br />
Ebenfalls Computerprogramme (REDUCE, MATHEMATICA, MAPLE, etc.).<br />
5.2 Das bestimmte Integral<br />
Gegeben: f(x); a, b.<br />
Gesucht: Fläche unter <strong>der</strong> Kurve?<br />
I =<br />
∫ b<br />
a<br />
dxf(x)<br />
“bestimmtes Integral”<br />
31
´Üµ<br />
¡Ü<br />
ܼ<br />
ܾܽ<br />
Ü<br />
Ü Ò<br />
Ü<br />
Definition:<br />
I = lim<br />
∆x→0<br />
n∑<br />
∆x i f(x i ) =<br />
.<br />
i=1<br />
∫ b<br />
a<br />
dxf(x) .<br />
Mit ∆x → 0 ist gemeint, dass alle ∆x i gegen 0 streben sollen und somit<br />
n → ∞. Für eine grosse Klasse von Funktionen f(x) existiert <strong>der</strong> Grenzwert<br />
unabhängig von <strong>der</strong> Einteilung ∆x i ; siehe Mathematikvorlesungen.<br />
Hauptsatz <strong>der</strong> Differential- und Integralrechnung: Wenn f(x) im Intervall J<br />
stetig ist, so gilt für jede Stammfunktion F(x) von f(x) und für beliebige<br />
a, b ∈ J<br />
I =<br />
∫ b<br />
Kommentare zum Satz:<br />
1. Enorm nützlich.<br />
a<br />
dxf(x) = F(b) − F(a) ≡ F(x)| b a .<br />
2. Die Berechnung bestimmter Integrale stetiger Funktionen ist auf die<br />
Bestimmung von Stammfunktionen zurückgeführt.<br />
3. Beispiel: f(x) = x 2 ; a = 0 , b = 1 .<br />
4. Die additive Konstante C in F(x) fällt bei <strong>der</strong> Berechnung von I weg.<br />
5. Die Fläche I exisitert nicht immer. Typische Problemfälle:<br />
(a) f(x) pathologisch, z.B. Pol: f(x) = 1/x.<br />
(b) Grenzen im Unendlichen (I = ∞ ?)<br />
6. Flächenstücke unter <strong>der</strong> x–Achse werden negativ gezählt.<br />
32
Satz: Eine in einem Intervall J stetige Funktion f(x) besitzt dort eine Stammfunktion,<br />
z.B.<br />
Bemerkungen:<br />
F(x) =<br />
∫ x<br />
a<br />
dξ f(ξ) ; a ∈ J . (5.1)<br />
a) Die Stammfunktion F(x) in Gl. (5.1) besitzt in J eine Nullstelle (bei<br />
x = a).<br />
b) Jede an<strong>der</strong>e Stammfunktion unterscheidet sich von (5.1) lediglich um<br />
eine Konstante.<br />
c) f(x) stetig =⇒ ∫ x<br />
0<br />
dξ f(ξ) differenzierbar: “Integration glättet”.<br />
5.3 Grenzen im Unendlichen<br />
a) Def.:<br />
Existiert nicht immer.<br />
Bsp. 1:<br />
Bsp. 2: ∫ ∞<br />
1<br />
b) Def.:<br />
∫ ∞<br />
1<br />
dx<br />
x<br />
∫ ∞<br />
a<br />
dx 1 ∫ b<br />
= lim<br />
x 2 b→∞<br />
1<br />
∫ b<br />
f(x) dx = lim<br />
b→∞<br />
a<br />
= lim<br />
b→∞<br />
{1 − 1 b<br />
existiert nicht (Fläche zu gross).<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
f(x) dx = lim<br />
a→−∞<br />
f(x) dx<br />
(<br />
dx<br />
x b→∞{ = lim − 1 )∣ }<br />
∣∣∣<br />
b<br />
2 x<br />
1<br />
}<br />
= 1 (unproblematisch)<br />
lim<br />
b→∞<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx<br />
Es sind auch an<strong>der</strong>e Definitionen denkbar, wie zum Beispiel<br />
Bsp. 1:<br />
Bsp. 2:<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
= lim<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
f(x) dx = lim<br />
A→∞<br />
dx<br />
1 + x 2 = lim<br />
a→−∞<br />
a→−∞<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
∫ A<br />
−A<br />
dxf(x) dx<br />
lim<br />
{ }<br />
atan(x)|<br />
b<br />
a<br />
b→∞<br />
lim {atan(b) − atan(a)} = π (−<br />
b→∞ 2 − π )<br />
= π .<br />
{ 2<br />
dx · x<br />
1<br />
1 + x = lim lim<br />
2 a→−∞ b→∞ 2 ln(1 + x2 ) ∣ }<br />
b a<br />
dx·x<br />
= 0, weil <strong>der</strong> Integrand un-<br />
1+x 2<br />
∫ A<br />
exisitiert nicht. Beachte, dass lim A→∞ −A<br />
gerade ist.<br />
33
5.4 Pole (Beispiele)<br />
Mit<br />
∫ b<br />
a<br />
dx<br />
x = lim<br />
ǫ→0<br />
{ ∫ −|ǫ|<br />
a<br />
dx<br />
x + ∫ b<br />
+|ǫ|<br />
}<br />
dx<br />
≡<br />
x<br />
(a < 0, b > 0) definiert man den Hauptwert des Integrales über einen Pol.<br />
∫ b<br />
P<br />
a<br />
dx<br />
x<br />
∫ b<br />
−→ P<br />
a<br />
dx<br />
x = ln b<br />
|a|<br />
(Übung)<br />
5.5 Unbestimmtes Integral: Substitution<br />
Die Substitution ist eine Methode, eine Integration (eventuell) zu bewältigen.<br />
Prinzip: Suche die geeignete Variable.<br />
Beispiel allgemein<br />
I = ∫ dxx · e −x2 I = ∫ f(x) dx<br />
z = x 2<br />
z = g(x)<br />
x = √ z x = h(z) [= g −1 (z)]<br />
dx = dz dx = dz 1<br />
dz 2 √ dx = dz dx = dz · z dz h′ (z)<br />
I = ∫ dz 1 √<br />
2 √ z z e<br />
−z<br />
I = ∫ dz h ′ (z) f[h(z)]<br />
I = − 1 2 e−z I = s(z)<br />
I = − 1 I = s(g(x)) = ŝ(x)<br />
2 e−x2<br />
Kontrolle: differenzieren!<br />
5.6 Bestimmtes Integral: Substitution<br />
Bsp. 1: I =<br />
∫ 2<br />
1<br />
dxx · e −x2<br />
Methode a): unbestimmtes Integral nach Substitutionsmethode (−→ ŝ(x),<br />
siehe oben); dann Grenzen von x einsetzen:<br />
I =<br />
∫ 2<br />
1<br />
dxx · e −x2 = − 1 ∣ ∣∣<br />
x=2<br />
= − 1 2 e−x2 2 e−4 + 1 2 e−1 .<br />
Methode b): unbestimmtes Integral nach Substitutionsmethode in <strong>der</strong> Variablen<br />
z (−→ s(z), siehe oben); dann Grenzen von z einsetzen:<br />
I =<br />
∫ 2<br />
1<br />
dxx · e −x2 =<br />
∫ 4<br />
1<br />
x=1<br />
dz 1 2 e−z = − 1 2 e−z∣ ∣ z=4<br />
z=1 = ......<br />
34
Bsp. 2:<br />
I<br />
Neue Variable:<br />
.<br />
=<br />
=<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
Unter Verwendung von<br />
∫ ∞<br />
erhält man somit<br />
−∞<br />
I =<br />
dx e −A x2 +B x<br />
dx e −A(x2 − B A x) =<br />
x − B<br />
2 A = z √<br />
A<br />
(A > 0)<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
dx e −A(x− B<br />
2 A) 2 e B2<br />
4 A<br />
x = B<br />
2 A + z √<br />
A<br />
; dx = 1 √<br />
A<br />
dz<br />
I = 1 √<br />
A<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
dz e −z2 · e B2 /(4 A)<br />
dz e −z2 = √ π (ohne Beweis) (5.2)<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
dx e −A x2 +B x =<br />
√ π<br />
A e1 4<br />
Gilt auch für komplexe A, B, sofern ReA > 0.<br />
B 2<br />
A .<br />
5.7 Partielle Integration (unbestimmt)<br />
u = u(x), v = v(x) seien beliebige (differenzierbare) Funktionen.<br />
=⇒<br />
d<br />
dx (u v) = u′ v + u v ′<br />
∫<br />
∫<br />
d<br />
dx (u v) dx = (u ′ v + u v ′ ) dx<br />
∫ ∫<br />
u v + C = u ′ v dx + u v ′ dx<br />
∫<br />
∫<br />
=⇒ u v ′ dx = C + u v − u ′ v dx<br />
Beispiel:<br />
∫<br />
dx }{{} x ·}{{}<br />
e −x ; u = x ; v ′ = e −x ; u ′ = 1 ; v = −e −x .<br />
u v ′<br />
∫<br />
∫<br />
x e −x dx = C − x e −x + dx · 1 · e −x<br />
Kontrolle: differenzieren!<br />
C − x e −x − e −x<br />
35
5.8 Partielle Integration (bestimmt)<br />
Beispiel:<br />
∫ ∞<br />
0<br />
dxx 2 e −x2 =<br />
∫ b<br />
a<br />
∫ ∞<br />
0<br />
∫ b<br />
dx (u v ′ ) = (u v)| b a − dxu ′ v .<br />
dx<br />
(− 1 )<br />
2 x<br />
} {{ }<br />
u<br />
a<br />
·<br />
(−2 x e −x2)<br />
} {{ }<br />
v ′<br />
= ...Übung = 1 4<br />
√ π unter Verwendung von Gl. (5.2).<br />
5.9 Ableiten nach Parameter<br />
F(A) =<br />
∫ b<br />
a<br />
dxg(x, A) ;<br />
dF<br />
dA =?<br />
In sehr vielen Fällen (für genaue Voraussetzungen siehe Mathematikvorlesungen)<br />
darf man Integration und Differentiation vertauschen, d.h.,<br />
∫<br />
dF b<br />
dA =<br />
a<br />
dx<br />
∂g(x, A)<br />
∂A .<br />
Oft ist es günstig, einen Parameter (künstlich) einzuführen, nach diesem<br />
abzuleiten, und ihn am Schluss wie<strong>der</strong> wegzunehmen. Ein Beispiel dazu ist<br />
das folgende:<br />
I =<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
dx x 2 · e −x2 .<br />
Um dieses Integral zu lösen, betrachten wir<br />
I A<br />
. =<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
= − d<br />
dA<br />
= − d<br />
dA<br />
∫ ∞<br />
(<br />
dx − d )<br />
−A x2<br />
e<br />
−∞ dA<br />
dx e −A x2 ; x = √ 1 u<br />
A<br />
√ π<br />
dxx 2 e −A x2 =<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
1<br />
√ · √π =<br />
A 2 A<br />
√ 3/2<br />
π<br />
=⇒ I = I A=1 =<br />
2 . 36
Durch fortgesetztes Differenzieren nach dem Parameter λ lassen sich die folgenden<br />
Formeln gewinnen:<br />
∫ ∞<br />
0<br />
∫ ∞<br />
0<br />
∫ ∞<br />
0<br />
dxx n e −λx = n! λ −(n+1) ; n = 0, 1, 2, 3, ....; λ > 0<br />
dxx 2n e −λx2 =<br />
√<br />
1 · 3 · 5... · (2n − 1) π<br />
; λ > 0 ; n = 0, 1, 2, 3, ...<br />
2 (2 λ) n λ<br />
dxx 2n+1 e −λx2 = n! ; λ > 0 ; n = 0, 1, 2, 3, ...<br />
2 λn+1 6 Differentialgleichungen<br />
Eine Gleichung, welche neben einer unbekannten Funktion auch Ableitungen<br />
dieser Funktion enthält, heisst Differentialgleichung. Falls die unbekannte<br />
Funktion nur von einer einzigen Variablen abhängt, so spricht man von einer<br />
gewöhnlichen Differentialgleichung; hängt die unbekannte Funktion von<br />
mehreren Variablen ab, und kommen in <strong>der</strong> Gleichung diese Funktion und<br />
ihre partiellen Ableitungen vor, so spricht man von einer partiellen Differentialgleichung.<br />
Ein weiteres Merkmal ist die Ordnung <strong>der</strong> Differentialgleichung. Darunter<br />
versteht man die höchste Ordnung <strong>der</strong> vorkommenden Ableitungen.<br />
Differentialgleichungen sind ein ausserordentlich wichtiges mathematisches<br />
Instrument in allen Gebieten <strong>der</strong> <strong>Physik</strong>. Viele Probleme <strong>der</strong> klassischen<br />
<strong>Physik</strong> lassen sich auf das Lösen von Differentialgleichungen zurückführen.<br />
Es gibt eine grosse mathematische Literatur zum Thema Differentialgleichungen,<br />
in <strong>der</strong> Regel lassen sich aber nur die wenigsten Gleichungen analytisch<br />
lösen. In diesem Kapitel werden wir die Lösung für eine Klasse von einfachen,<br />
aber für die <strong>Physik</strong> wichtigen Gleichungen herleiten. Ausserdem besprechen<br />
wir ein einfaches Verfahren, mit dem sich Differentialgleichungen numerisch<br />
lösen lassen.<br />
6.1 Beispiele und Klassifikation<br />
Beispiele:<br />
1. y ′ (x) = 0 ⇒ y(x) = c.<br />
Randbedingung y(x 0 ) = y 0 legt c = y 0 fest.<br />
37
y<br />
g<br />
x<br />
Φ<br />
l<br />
m<br />
Abbildung 6.1: Das Pendel im Gravitationsfeld ⃗g<br />
2. y ′ (x) = βx ⇒ y(x) = 1/2βx 2 + c.<br />
Randbedingung y(x 0 ) = y 0 legt c = y 0 − 1/2βx 2 0 fest:<br />
y(x) = 1 (<br />
2 βx2 + y 0 − 1 )<br />
2 βx2 0<br />
3. y ′ (x) = −γy(x) beschreibt z.B. die Bewegung eines Massenpunktes,<br />
<strong>der</strong> im homogenen Gravitationsfeld fällt,<br />
˙v(t) + γv(t) = g<br />
˙v(t) :<br />
γv(t) :<br />
g :<br />
Beschleunigung des Massenpunktes<br />
durch Atmosphäre (Reibung) erzeugte Bremsbeschleunigung<br />
Erdbeschleunigung<br />
4. Newtonsche Bewegungsgleichungen für Massenpunkte sind gewöhnliche<br />
Differentialgleichungen für die Koordinaten <strong>der</strong> Massenpunkte (als<br />
Funktion <strong>der</strong> Zeit). Beispiel Pendel, siehe obige Figur, und Skript Experimentalphysik<br />
I, S.53:<br />
d 2 φ(t)<br />
+ ω 2 φ(t) = 0 ; ω 2 = |⃗g| .<br />
dt 2 l<br />
Dies ist eine gewöhnliche Dgl. für den Auslenkungswinkel φ(t). Die<br />
gesuchte Funktion hängt nur von einer Variablen ab, <strong>der</strong> Zeit t.<br />
38
y(x,t)<br />
−L 0<br />
L<br />
x<br />
Abbildung 6.2: Die schwingende Saite, eingespannt bei x = ±L.<br />
5. Die einfachste Newtonsche Bewegungsgleichung ist die gleichförmig beschleunigte<br />
Bewegung: ÿ(t) = a<br />
1. Integration: ẏ(t) = at + c 1<br />
2. Integration: y(t) = at2 + c 2 1t + c 2<br />
2 Randbedingungen: sowohl <strong>der</strong> Anfangsort, wie auch die Anfangsgeschwindigkeit<br />
müssen vorgegeben werden: c 1 = v(0), c 2 = x(0).<br />
6. Gleichung einer schwingenden Saite. y(x, t) bedeute die Auslenkung<br />
<strong>der</strong> Saite an <strong>der</strong> Stelle x, zur Zeit t , siehe obige Figur und Skript<br />
Experimentalphysik I, S. 181:<br />
∂ 2 y(x, t)<br />
− ∂2 y(x, t)<br />
= 0 (“Wellengleichung”).<br />
v 2 ∂t 2 ∂x 2<br />
Dies ist ein Beispiel einer partiellen Differentialgleichung: Die gesuchte<br />
Funktion y(x, t) hängt von 2 Variablen ab (Zeit t und Ort x). Der<br />
Parameter v ist vorgegeben (materialabhängig) und bedeutet die Fortpflanzungsgeschwindigkeit<br />
<strong>der</strong> Welle.<br />
Klassifikation:<br />
Eine Differentialgleichung (z.B. in v(t)) beschreiben wir häufig mit folgenden<br />
Begriffen:<br />
gewöhnlich:<br />
partiell:<br />
n-ter Ordnung:<br />
linear:<br />
homogen:<br />
Gesuchte Funktion v(t) hängt nur von einer Variablen<br />
ab (hier t),<br />
Funktion hängt von mehreren Variablen ab,<br />
vorkommende Ableitungen haben höchstens<br />
Ordnung n,<br />
Funktion v(t) und ihre Ableitungen erscheinen nur linear,<br />
v = 0 ist eine Lösung <strong>der</strong> Gleichung.<br />
Wir betrachten im ersten Teil dieser Vorlesung ausschliesslich gewöhnliche<br />
Differentialgleichungen. Im zweiten Teil werden wir uns auch partielle Differentialgleichungen<br />
anschauen, z.B. die Wellengleichung 6.).<br />
39
6.2 Lineare Differentialgleichungen<br />
Die allgemeine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung für eine Funktion<br />
y(t) hat die Form<br />
d n y(t)<br />
dt n<br />
+ A n−1 (t) dn−1 y(t)<br />
dt n−1<br />
+ · · · + A 1 (t) dy(t)<br />
dt<br />
+ A 0 (t) y(t) = f(t) . (6.1)<br />
Falls f(t) = 0 ist die Gleichung homogen. Die Gleichung, die man erhält,<br />
wenn man bei einer gegebenen Gleichung f(t) = 0 setzt, nennt man die<br />
zugehörige homogene Gleichung.<br />
Falls y 1 (t) und y 2 (t) Lösungen <strong>der</strong> homogenen Gleichung sind, so ist auch<br />
die Linearkombination y(t) = αy 1 (t) + βy 2 (t) eine Lösung <strong>der</strong> homogenen<br />
Gleichung, weil die Ableitung eine lineare Operation ist:<br />
d m y(t)<br />
dt m<br />
= αdm y 1 (t)<br />
dt m<br />
+ βdm y 2 (t)<br />
dt m . (6.2)<br />
6.2.1 Lineare Differentialgleichung erster Ordnung<br />
Als Beispiel einer linearen Gleichung betrachten wir einen Massenpunkt, <strong>der</strong><br />
im Gravitationsfeld <strong>der</strong> Erde nach unten fällt (nahe <strong>der</strong> Erdoberfläche, Gravitationsfeld<br />
konstant). Der Massenpunkt erfährt eine Reibungskraft durch<br />
die Atmosphäre und wir nehmen <strong>der</strong> Einfachheit halber an, dass diese Kraft<br />
proportional zur Geschwindigkeit ist. Für eine eindimensionale Bewegung<br />
lautet die Differentialgleichung für die Geschwindigkeit<br />
˙v(t) + γv(t) = g . (6.3)<br />
Dabei ist g ≃ 9.8 ms −2 die Erdbeschleunigung, und die durch die Atmosphäre<br />
erzeugte Reibung wird durch die Konstante γ beschrieben. Die physikalische<br />
Fragestellung lautet: Wie verhält sich die Geschwindigkeit v(t) als Funktion<br />
<strong>der</strong> Zeit? In an<strong>der</strong>en Worten, wie muss die Funktion v(t) beschaffen sein,<br />
damit sie die Differentialgleichung (6.3) erfüllt?<br />
Für die folgende Diskussion ist es günstig, das Problem in einer allgemeineren<br />
Form zu schreiben und zuzulassen, dass γ, g auch zeitabhängig sind,<br />
Es gilt <strong>der</strong> folgende<br />
˙v(t) + α(t)v(t) = β(t) . (6.4)<br />
40
Satz D 1 : Die Funktionen α(t), β(t) seien stetig. Zu vorgegebenen Werten<br />
von t 0 , v 0 gibt es genau eine Lösung <strong>der</strong> Differentialgleichung (6.4) mit <strong>der</strong><br />
Eigenschaft<br />
v(t 0 ) = v 0 . (6.5)<br />
Offenbar gibt es nicht nur eine Lösung zu (6.4), sonst könnten wir den<br />
Wert <strong>der</strong> Geschwindigkeit zur Zeit t 0 nicht beliebig vorgeben. An<strong>der</strong>erseits<br />
ist die Lösungsschar auch nicht beliebig gross: Es genügt, den Wert <strong>der</strong> Geschwindigkeit<br />
zu einem Zeitpunkt t 0 vorzuschreiben, um alles festzulegen.<br />
Man sagt, es liege eine eindimensionale Lösungsschar vor. Wir werden weiter<br />
unten diesen Satz beweisen, indem wir die allgemeine Lösung von (6.4)<br />
explizit herleiten. Die Bedingung (6.5) heisst die zur Dgl. (6.3) gehörende Anfangsbedingung.<br />
Ein analoger Satz zu D 1 gilt für Gleichungen n-ter Ordnung:<br />
in diesem Fall benötigt man nicht nur eine, son<strong>der</strong>n n Anfangsbedingungen,<br />
um die Lösung eindeutig festzulegen.<br />
Wir kehren wie<strong>der</strong> zum ursprünglichen Problem (6.3) zurück. Ausserdem<br />
setzen wir <strong>der</strong> Einfachheit halber in <strong>der</strong> Bedingung (6.5) t 0 = 0.<br />
i) Es sei γ = g = 0. Dann lautet die Dgl.<br />
˙v = 0 . (6.6)<br />
Die Geschwindigkeit ist in diesem Fall unabhängig von <strong>der</strong> Zeit, und<br />
die Lösung <strong>der</strong> Dgl. lautet offenbar<br />
v = c = konstant . (6.7)<br />
Der Satz D 1 ist richtig in diesem Fall: Wir wählen c = v 0 . Dann ist die<br />
Bedingung (6.5) erfüllt und die Lösung ist eindeutig festgelegt. Die oben<br />
erwähnte eindimensionale Schar von Lösungen ist hier parametrisiert<br />
durch die Konstante c (ein Parameter).<br />
ii) Es sei g = 0, γ ≠ 0. Dann lautet die Dgl.<br />
Wir stellen fest, dass jede Funktion<br />
˙v + γv = 0 . (6.8)<br />
v(t) = c e −γt (6.9)<br />
für beliebige Werte <strong>der</strong> Konstanten c eine Lösung darstellt. Die Differentialgleichung<br />
(6.8) hat also zumindest eine 1-parametrige Schar von<br />
41
Lösungen. Gibt es neben <strong>der</strong> Lösungsschar (6.9) weitere Lösungen <strong>der</strong><br />
Differentialgleichung (6.8), die sich nicht in <strong>der</strong> Form (6.9) schreiben<br />
lassen? Dass dies nicht <strong>der</strong> Fall ist, lässt sich folgen<strong>der</strong>massen einsehen.<br />
Es sei ¯v(t) irgendeine Lösung <strong>der</strong> Dgl. (6.8). Bilde h(t) = e γt¯v(t). Dann<br />
gilt<br />
ḣ(t) = γh(t) + e γt ˙¯v(t)<br />
= γh(t) − γh(t) = 0 . (6.10)<br />
Die Funktion h(t) ist also unabhängig von t, h(t)= konst. Daraus folgt<br />
¯v(t) = he −γt . Mit an<strong>der</strong>en Worten, jede Lösung <strong>der</strong> Dgl. (6.8) ist von<br />
<strong>der</strong> Form (6.9).<br />
Die Konstante c lässt sich bestimmen aus dem Wert <strong>der</strong> Geschwindigkeit<br />
zur Zeit t = 0.<br />
Wir schliessen, dass <strong>der</strong> Satz D 1 auch in diesem Fall richtig ist.<br />
iii) Wir betrachten nun den allgemeinen Fall (6.3), mit γ, g ≠ 0. Zum<br />
Auffinden <strong>der</strong> Lösung stellen wir vorerst folgendes fest. Es seien mit<br />
v p , v 1 zwei Lösungen vorgegeben. Wir bilden die Differenz<br />
∆ = v 1 − v p . (6.11)<br />
Durch Differenzieren finden wir, dass ∆ die homogene Dgl.<br />
˙∆ + γ∆ = 0 (6.12)<br />
erfüllt und stellen fest, dass wir diese Gleichung eben gelöst haben. Mit<br />
an<strong>der</strong>en Worten: Wenn wir irgendeine Lösung v p (t) <strong>der</strong> inhomogenen<br />
Gleichung (6.3) finden, so lässt sich jede an<strong>der</strong>e Lösung v 1 darstellen<br />
als<br />
v 1 (t) = ∆(t) + v p (t)<br />
= ce −γt + v p (t) . (6.13)<br />
Und was hilft dies hier? Wir stellen fest, dass v = g/γ eine Lösung <strong>der</strong> Dgl.<br />
(6.3) ist. Die Geschwindigkeit ist eine Konstante für diese Lösung - sicher<br />
nicht <strong>der</strong> allgemeingültige Fall! Aber nach dem eben Gesagten lässt sich jede<br />
an<strong>der</strong>e Lösung schreiben als<br />
v(t) = ce −γt + g/γ . (6.14)<br />
Wie wir sehen, ist <strong>der</strong> Satz D 1 auch hier richtig: Wenn wir c = v 0 − g/γ<br />
wählen, so ist die Anfangsbedingung (6.5) offensichtlich erfüllt, und die Lösung<br />
eindeutig, weil die Konstante c festgelegt ist.<br />
Dazu nochmals etwas Nomenklatur:<br />
42
i) Die Funktion v(t) in (6.14) heisst allgemeine Lösung <strong>der</strong> Dgl. (6.3).<br />
Man hat diesen Namen gewählt, weil sich jede Lösung so darstellen<br />
lässt, mit einer geeigneten Konstanten c. Diese Konstante heisst Integrationskonstante.<br />
ii) Die Lösung (6.9) heisst allgemeine Lösung <strong>der</strong> zur Dgl. (6.3) gehörenden<br />
homogenen Dgl. (6.8).<br />
iii) Die spezielle Lösung v p = g/γ heisst partikuläre Lösung.<br />
Wir können das Resultat (6.14) folgen<strong>der</strong>massen zusammenfassen: Die<br />
allgemeine Lösung <strong>der</strong> Dgl. (6.3) ist die Summe <strong>der</strong> allgemeinen Lösung <strong>der</strong><br />
homogenen Gleichung (6.8), plus einer partikulären Lösung <strong>der</strong> Dgl. (6.3).<br />
Die Prozedur, mit <strong>der</strong> wir die Lösung erhalten haben ist, kann auch bei an<strong>der</strong>en<br />
linearen Gleichungen angewendet werden. Man löst lineare Gleichungen,<br />
indem man zuerst die allgemeine Lösung <strong>der</strong> homogenen Gleichung herleitet<br />
und dazu noch eine partikuläre Lösung <strong>der</strong> inhomogenen Gleichung findet. Es<br />
gibt spezielle Techniken, um eine partikuläre Lösung zu konstruieren, diese<br />
laufen etwa unter dem etwas unglücklichen Namen “Variation <strong>der</strong> Konstanten”.<br />
6.2.2 Allgemeine Lösung <strong>der</strong> linearen DG 1. Ordnung<br />
Wir lösen nun die Gleichung<br />
y ′ (x) + α(x)y(x) = β(x) , (6.15)<br />
explizit, für beliebige, stetige Funktionen α(x) und β(x). Als Vorbereitung,<br />
definieren wir dazu zunächst die Funktion<br />
∫<br />
A(x) = dxα(x) + C 1 ,<br />
mit einer Integrationskonstanten C 1 , weil die Stammfunktion von α(x) nicht<br />
eindeutig ist. Danach multiplizieren die Gleichung (6.15) mit e A (x)<br />
e A (x)y ′ (x) + e A (x)α(x)y(x) = e A (x)β(x) ,<br />
d [<br />
y(x)e A (x) ] = e A (x)β(x) .<br />
dx<br />
Die Grösse e A (x) heisst auch ein integrieren<strong>der</strong> Faktor, weil es uns damit<br />
gelungen ist, die Gleichung in einer Form zu schreiben, dass wir sie direkt<br />
43
integrieren können. Durch Integration auf beiden Seiten erhält man<br />
∫<br />
y(x)e A (x) = dxβ(x)e A (x) + C 2 ,<br />
y(x) = e −A(x) { ∫ dxβ(x)e A(x) + C 2<br />
}<br />
Damit haben wir die allgemeine Lösung explizit konstruiert. Es scheint allerdings,<br />
dass diese zwei Integrationskonstante C 1 und C 2 aufweist. Durch<br />
explizites Auswerten sieht man aber, dass die Lösung nur von einer Kombination<br />
abhängt:<br />
∫<br />
y(x) = e<br />
{C −Â(x) +<br />
dxβ(x)eÂ(x) }<br />
,<br />
wobei C = e −C 1<br />
C 2 und Â(x) die Stammfunktion mit C 1 = 0 ist. Man kann<br />
also ohne Einschränkung <strong>der</strong> Allgemeinheit C 1 = 0 setzen.<br />
Beispiel: Für die Gleichung<br />
˙v(t) + γv(t) = g .<br />
welche wir im letzten Kapitel diskutiert hatten ist α(t) = γ und β(t) = g<br />
∫<br />
A(t) = dtγ = γt ,<br />
∫ )<br />
v(t) = e<br />
(C −γt + dt ge γt = Ce −γt + g/γ .<br />
Wir reproduzieren also unser früheres Resultat (6.14).<br />
6.2.3 Lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten<br />
Wir lösen nun die allgemeine homogene lineare Gleichung (6.17) im einfachen<br />
Fall, wo die Koeffizienten konstant sind:<br />
d n y(t)<br />
dt n<br />
+ A n−1<br />
d n−1 y(t)<br />
dt n−1<br />
+ · · · + A 1<br />
dy(t)<br />
dt<br />
+ A 0 y(t) = 0 . (6.16)<br />
Die Gleichung n-ter Ordnung hat eine Lösungsschar mit n Parametern, d.h.<br />
n Integrationskonstanten.<br />
44
Man kann die verschiedenen Lösungen mit dem Anstatz y(t) = Ce αt<br />
gewinnen. Wenn man diesen Ansatz in obige Gleichung einsetzt, erhält man<br />
die Bedingung<br />
α n + A n−1 α n−1 + · · · + A 1 α + A 0 = 0 . (6.17)<br />
Das Lösen <strong>der</strong> Gleichung läuft darauf hinaus, die Nullstellen in einem Polynom<br />
n-ter Ordnung zu finden. Für reelle α’s kann es passieren, dass das<br />
Polynom weniger als n Nullstellen hat. In diesem Fall gibt es Lösungen <strong>der</strong><br />
Differentialgleichung (6.16), die nicht die Form des Ansatzes haben.<br />
An dieser Stelle lohnt es sich zunächst komplexe Lösungen zu betrachten.<br />
Das Fundamentaltheorem <strong>der</strong> Algebra besagt, dass es ein Polynom n-ter Ordnung<br />
immer n Nullstellen im Komplexen hat. Es kann höchstens passieren,<br />
dass die gleiche Nullstelle mehrfach auftritt, z.B. bei (z − 5) 2 . Diesen Fall<br />
diskutieren wir weiter unten. Für den Fall, dass jede Nullstelle nur einmal<br />
auftritt, liefert <strong>der</strong> Ansatz<br />
z(t) = Ce αt (6.18)<br />
mit komplexem C und α die vollständige Lösung <strong>der</strong> Gleichung (6.16). Diese<br />
Lösung erhält man indem man zuerst die n Nullstellen α 1 , α 2 , ..., α n des<br />
Polynoms (6.17) bestimmt und dann die Linearkombination<br />
z(t) =<br />
n∑<br />
C i e α it<br />
i=1<br />
(6.19)<br />
bildet. Die n Integrationskonstanten C i legen die Lösung eindeutig fest.<br />
In einem zweiten Schritt konstruieren wir nun daraus die allgemeine reelle<br />
Lösung. Für reelle Koeffizienten A i ist mit z(t) automatisch auch z ∗ (t)<br />
eine Lösung: Die komplex konjugierte Varable erfüllt die komplex konjugierte<br />
Gleichung, die aber aufgrund <strong>der</strong> reellen Koeffizienten identisch mit <strong>der</strong><br />
ursprünglichen Gleichung ist. Da die Gleichung linear ist, sind damit auch<br />
Re[z] = 1 2 [z(t) + z∗ (t)] , Im[z] = 1 2 [z(t) − z∗ (t)] , (6.20)<br />
Lösungen. Die reellen Lösungen lassen sich also als Realteil <strong>der</strong> komplexen<br />
Lösung erhalten.<br />
Die in <strong>der</strong> <strong>Physik</strong> wichtigste Gleichung in dieser Kategorie, ist die Bewegungsgleichung<br />
für den harmonischen Oszillator<br />
ÿ(t) + κ 2 y(t) = 0<br />
45
wobei κ 2 = D/m durch die Masse m und die Fe<strong>der</strong>konstante D gegeben ist.<br />
Wir setzen nun den Ansatz 6.19 in die Gleichung ein und erhalten<br />
α 2 + κ 2 = 0 → α = ±iκ .<br />
Die allgemeine komplexe Lösung ist eine Linearkombination <strong>der</strong> beiden Lösungen,<br />
also<br />
z(t) = C 1 e iκt + C 2 e −iκt .<br />
Die allgemeine reelle Lösung lässt sich nun mittels<br />
aus dem Realteil gewinnen und lautet<br />
e iκt = cos(κt) + i sin(κt) (6.21)<br />
y(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) .<br />
Für diesen einfachen Fall lässt natürlich die reelle Lösung auch leicht direkt<br />
konstruieren, aber selbst beim nur leicht komplizierteren Fall einer gedämpften<br />
Schwingung, lohnt es sich zunächst im Komplexen zu arbeiten.<br />
Was ist die Bedeutung <strong>der</strong> beiden Integrationskonstanten A und B? Man<br />
erhält<br />
y 0<br />
= y(t = 0) = A<br />
v 0 = ẏ(t = 0) = ωB<br />
Die Lösung ist also vollständig festgelegt durch Angabe des Anfagsorts und<br />
<strong>der</strong> Anfangsgeschwindigkeit.<br />
Zum Abschluss betrachten wir noch den Fall, wo eine Nullstelle mehrfach<br />
auftritt. Ein Beispiel ist die Gleichung<br />
Der Ansatz 6.19 liefert<br />
ÿ(t) − 2ẏ(t) + y(t) = 0 (6.22)<br />
(α − 1) 2 = 0<br />
Damit ist z 1 (t) = C 1 e t eine Lösung. Die zweite Lösung lautet<br />
z 2 (t) = C 2 t e t ,<br />
wie man leicht überprüft. Falls eine Nullstelle α m-mal Auftritt, lauten die<br />
m zugehörigen Lösungen<br />
z k (t) = C k t k e α t , mit k = 0 . . .m − 1 . (6.23)<br />
46
Das lässt sich am leichtesten überprüfen, indem man die Gleichung in Operator-<br />
Notation schreibt, also z.B. die Gleichung (6.22) in <strong>der</strong> Form<br />
D 2 t y(t) − 2D ty(t) + y(t) = (D t − 1) 2 y(t) = 0<br />
schreibt, wo D t den Ableitungsoperator bezeichnet, welcher die Ableitung einer<br />
Funktion ergibt, wenn er auf diese angewendet wird. Wenn eine Nullstelle<br />
α m-mal Auftritt, heisst dies, das <strong>der</strong> Ableitungsoperator <strong>der</strong> Gleichung einen<br />
Faktor (D t − α) m enthält. Wenn man dies auf den Ansatz (6.23) anwendet<br />
erhält man<br />
(D t − α) m t k e αt = (D t − α) m−1 k t k−1 e αt<br />
= (D t − α) m−2 k(k − 1) t k−2 e αt<br />
= . . .<br />
= k · (k − 1) . . .2 · 1 (D t − α) m−k e αt<br />
= 0 für m > k .<br />
Mit je<strong>der</strong> Anwendung von (D t − α) reduziert sich also die Potenz von t um<br />
eins und <strong>der</strong> Vorfaktor t k ist nach k Anwendungen weg. Für k < m erfolgt<br />
danach aber noch mindestens eine weitere Anwendung von (D t − α) und<br />
damit gilt (D t − α) m t k e αt = 0 in diesem Fall.<br />
Damit haben wir nun die allgemeine Lösung <strong>der</strong> homogenen linearen Gleichung<br />
mit konstanten Koeffizienten konstruiert. Techniken, um eine partikuläre<br />
Lösung <strong>der</strong> inhomogenen Gleichung zu konstruieren, werden im dritten<br />
Teil <strong>der</strong> Vorlesung behandelt werden.<br />
6.3 Separation <strong>der</strong> Variablen<br />
Eine weitere Klasse von Differentialgleichungen, die analytisch lösbar sind,<br />
sind Gleichungen erster Ordnung, bei denen die Variablen separiert sind, d.h.<br />
Gleichungen <strong>der</strong> Form<br />
y ′ (x) = f[y(x)]g(x) . (6.24)<br />
Beispiele einer solchen Gleichung dieser Form sind etwa<br />
y ′ (x) = cos 2 (y(x)) , y(x) 2 y ′ (x) − x 3 = 0 .<br />
Im ersten Fall ist f(y) = cos 2 (y), g(x) = 1. Im zweiten Beispiel ist f(y) =<br />
1/y 2 und g(x) = x 3 47
Die Lösung erhält man, indem man die Gleichung durch f(y) dividiert<br />
und beide Seiten integriert:<br />
∫<br />
dx dy ∫<br />
1<br />
dx f(y) = dxg(x) + C .<br />
Es genügt dabei eine Integrationskonstante einzuführen, denn was zählt ist<br />
die Differenz zwischen den Integrationskonstanten auf beiden Seiten. Auf <strong>der</strong><br />
linken Seite wechselt man nun die Integrationsvariable von x auf y(x). Der<br />
Variablenwechsel bringt das Integral auf die Form<br />
∫<br />
dy dx ∫<br />
dy 1<br />
= dxg(x) + C ,<br />
dy dx f(y)<br />
∫ ∫<br />
1<br />
=⇒ dy = dxg(x) + C . (6.25)<br />
f(y)<br />
Nach <strong>der</strong> Bestimmung <strong>der</strong> Stammfunktion muss man die Gleichung nach y<br />
auflösen, um die Lösung zu erhalten.<br />
Eine Methode sich zu merken, welches Integral man ausrechnen muss,<br />
ist die Ableitung y ′ (x) = dy als Bruch dy dividiert durch dx zu lesen und<br />
dx<br />
Gleichung (6.24) in <strong>der</strong> Form<br />
dy<br />
f(y) = dxg(x)<br />
zu schreiben und dann links und rechts ein Integralzeichen hinzusetzen. Mathematisch<br />
macht das wenig Sinn, aber diese Eselsbrücke liefert das korrekte<br />
Integral (6.25).<br />
Beispiele:<br />
i) Für y ′ (x) = sin(y(x)) lautet das Integral<br />
∫<br />
∫<br />
1<br />
dy = dx + C = x + C ,<br />
cos 2 (y)<br />
tan(y) = x + C ,<br />
y = arctan(x + c)<br />
ii) Für y ′ (x) = f(x)y lautet das Integral<br />
∫<br />
dy 1 ∫<br />
= dxf(x) + C = F(x) + C ,<br />
y<br />
ln(y) = F(x) + C ,<br />
y = e F(x)+C<br />
48
iii) Statt mit Stammfunktionen kann man mit bestimmten Integralen arbeiten,<br />
um direkt die Lösung zu einer Randbedingung, etwa y(0) = y 0 ,<br />
zu erhalten. Für y ′ (x) = −xy lautet dann das Integral<br />
∫ y(x)<br />
y 0<br />
dỹ 1 ỹ<br />
∫ x<br />
= − d˜x ˜x,<br />
0<br />
ln(y(x)) − ln(y 0 ) = − x2<br />
2 ,<br />
y(x) = y 0 e −x2 /2<br />
6.4 Numerische Lösung: Schrittweise Integration<br />
Die bisherigen Lösungsverfahren funktionieren nur für spezielle Klassen von<br />
Differentialgleichungen (z.B. linear, separierbar). Wir besprechen nun ein allgemeines<br />
Verfahren, welches es erlaubt beliebige Gleichungen numerisch zu<br />
lösen. Wir werden das Verfahren an einem einfachen Bespiel illustrieren indem<br />
wir die Differentialgleichung ˙v(t) = −γv(t) zum Anfangswert v(0) = v 0<br />
durch schrittweise Integration lösen. Wir teilen das Intervall [0, t] <strong>der</strong> t-Achse<br />
in n Intervalle<br />
¼<br />
∆t = t/n ein:<br />
Ø<br />
´·½µ¡¡Ø<br />
¼ ¡Ø ½ ¡¡Ø ·½ Ò¡¡Ø Ò<br />
Bezeichnungen: t k = k ∆t , v k = v(t k ).<br />
Aus <strong>der</strong> Differentialgleichung ergibt sich <strong>der</strong> Übergang t k → t k+1 näherungsweise<br />
wie folgt (1 Integrationsschritt ) :<br />
v(t k + ∆t) ≈ v(t k ) + ∆t ˙v(t k )<br />
≈ v(t k ) − γ ∆t v(t k ) ,<br />
v k+1 ≈ v k (1 − γ∆t) . (6.26)<br />
49
Über n Integrationsschritte hinweg findet man analog<br />
v n ≈ v 0 (1 − γ∆t) n ,<br />
(<br />
v(t) ≈ v 0 1 − γt ) n<br />
. (6.27)<br />
n<br />
Die exakte Lösung erwartet man für festen Wert t in <strong>der</strong> Grenze n → ∞,<br />
bzw. ∆t → 0 :<br />
(<br />
v(t) = lim v 0 1 − γt ) n<br />
= v 0 e −γt . (6.28)<br />
n→∞ n<br />
Zur Genauigkeit in Abhängigkeit von <strong>der</strong> Schrittzahl (γ = 1, v 0 = 1, t = 1) :<br />
n<br />
v(t)<br />
10 0.349<br />
100 0.366<br />
∞<br />
0.368 (exakt)<br />
Für unser einfaches Beispiel konnten wir das Resultat nach n Schritten<br />
analytisch angeben. Für eine kompliziertere Gleichung ist dies nicht mehr<br />
möglich, man kann jedoch leicht einen Computer Code schreiben, <strong>der</strong> einen<br />
Schritt nach dem an<strong>der</strong>en berechnet und einem die Lösung nach n Schritten<br />
angibt. Es ist auch leicht, Gleichungen zweiter Ordnung (also etwa Newtonsche<br />
Bewegungsgleichungen) mit diesem Verfahren zu integrieren. Dazu<br />
schreibt man diese einfach als System von zwei Gleichungen erster Ordnung.<br />
Die Gleichung mẍ(t) = F(ẋ(t), x(t), t) lässt sich als<br />
ẋ(t) = v(t) ,<br />
m˙v(t) = F(v(t), x(t), t) ,<br />
schreiben. Der Integrationsschritt lautet dann<br />
x(t k + ∆t) ≈ x(t k ) + ∆t v(t k ) ,<br />
v(t k + ∆t) ≈ v(t k ) + ∆t F(v(t k ), x(t k ), t k )/m .<br />
Damit lassen sich beliebige Bewegungsgleichungen numerisch lösen. In <strong>der</strong><br />
Praxis verwendet man raffiniertere Verfahren, die die Resultate früherer Integrationsschritte<br />
benutzen, um bessere Genauigkeit bei <strong>der</strong> Bestimmung des<br />
Resultats im nächsten Schritt erreichen. Eine Familie von solchen Verfahren<br />
sind die Runge-Kutta <strong>Methoden</strong>. Das oben Beschriebene Verfahren ist die<br />
Euler-Methode und entspricht Runge-Kutta 1. Ordnung.<br />
50
6.5 Lösen von Differentialgleichungen mit MAPLE<br />
Programmsysteme wie MAPLE o<strong>der</strong> MATHEMATICA unterstützen symbolische,<br />
numerische und grafische Arbeiten am Computer. In dieser Umgebung<br />
formuliert man die Probleme - zum Beispiel Differentialgleichungen - ohne<br />
dass man sich um den Lösungsalgorithmus kümmern muss. Die folgenden<br />
Beispiele sind als Illustration zu verstehen und nicht mit Anleitungen zu<br />
verwechseln.<br />
(1) Symbolische Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung<br />
(MAPLE). Im Ausdruck ODE wird die Dgl. spezifiziert.<br />
ODE:=diff(f(t),t)+2*t*f(t);<br />
Das Resultat erscheint in <strong>der</strong> folgenden Form:<br />
/d \<br />
|-- f(t)| + 2 t f(t)<br />
\dt /<br />
Um die Dgl. zu lösen, kann das Proze<strong>der</strong>e dsolve benutzt werden:<br />
dsolve(ODE,f(t));<br />
Das Resultat erscheint in <strong>der</strong> folgenden Form:<br />
f(t) = C1 exp(-t^2)<br />
Die Integrationskonstante wurde von MAPLE mit C1 bezeichnet.<br />
(2) In <strong>der</strong> Prozedur dsolve können auch Anfangsbedingungen angegeben<br />
werden: dsolve({ODE,f(0)=1},f(t));<br />
Das Resultat erscheint in <strong>der</strong> folgenden Form:<br />
f(t) = exp(-t^2)<br />
(3) Numerische Lösung <strong>der</strong> Differentialgleichung. Man gibt in dsolve einfach<br />
die Vorschrift numeric ein. Die grafische Darstellung kann mit dem<br />
Befehl odeplot erreicht werden - die unten dargestellte Figur 1 erscheint<br />
auf dem Bildschirm (beim Aufruf mit xmaple).<br />
51
sol:=dsolve({ODE,f(0)=1},f(t),numeric);<br />
with(plots): odeplot(sol,[t,f(t)],0...2);<br />
Beachte, dass die Anfangsbedingungen angegeben werden müssen -<br />
sonst ist keine numerische Auswertung möglich!<br />
(4) Weitere Möglichkeiten, Lösungen aus numerischen Rechnungen grafisch<br />
darzustellen, werden in den Übungen besprochen.<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
0.5 1 1.5 2<br />
Fig. 1. Numerische Lösung <strong>der</strong> Dgl. ˙ f + 2tf = 0 mit MAPLE.<br />
6.6 Literatur zu gewöhnlichen Differentialgleichungen<br />
Es gibt in erster Näherung unendlich viele Bücher über gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
- ein Blick in die Bibliothek lohnt sich auf jeden Fall.<br />
In<br />
A. Jeffrey, Linear Algebra and ordinary Differential equations, Blackwell<br />
Scientific Publications, Boston, 1990, ISBN 0-86542-114-5<br />
wird im Kapitel 4.7 die Existenz und Eindeutigkeit <strong>der</strong> Lösungen auf<br />
einfache Art und Weise diskutiert. Erhältlich in <strong>der</strong> Bibliothek <strong>der</strong> exakten<br />
Wissenschaften, Signatur GLA 165.<br />
52
7 Funktionen von 2 o<strong>der</strong> mehr Variablen<br />
F(x 1 , x 2 ); T(x, t); T(r, ϕ); T(⃗x, t).<br />
Hier: Alle Variablen und Funktionswerte reell.<br />
7.1 F(x, y)<br />
x, y und F haben beliebige Bedeutung. Jedem Punkt (x, y)<br />
des Definitionsbereichs G ist ein Wert F eindeutig zugeordnet.<br />
Graphik:<br />
a) In <strong>der</strong> x−y Ebene: Kurven mit konstanten Werten von<br />
F (Beispiel: Isobaren)<br />
b) 3-D Darstellung<br />
Ý<br />
<br />
Ü<br />
z<br />
1<br />
0<br />
3<br />
-1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
2<br />
y<br />
x<br />
2<br />
30<br />
7.1.1 Partielle Ableitungen (nach x)<br />
Betrachte eine Funktion F(x, y), halte y fest, d.h. y = y 0 , und lasse x variabel.<br />
=⇒ F ist vorübergehend reduziert auf eine Funktion von<br />
einer Variablen, nämlich x.<br />
Ý<br />
Ableitung nach x:<br />
∂F(x,y)<br />
∂x<br />
d<br />
dx F(x, y ∂F(x, y)<br />
fest) ≡<br />
∂x<br />
heisst “partielle Ableitung von F(x, y) nach x” und bedeutet die Än<strong>der</strong>ung<br />
von F(x, y) bezüglich Variation von x, d.h. entlang <strong>der</strong> x-Richtung.<br />
53<br />
ݼ<br />
<br />
Ü
Bsp.:<br />
F(x, y) = x 2 + y 2 ;<br />
F(x, y) = sin(xy) ;<br />
Bemerkungen:<br />
a) vollständige Bezeichnung:<br />
∂F(x, y)<br />
∂x<br />
∂F(x, y)<br />
∂x<br />
= 2x<br />
= y cos(xy) .<br />
∂F(x, y)<br />
; (y = konstant implizit)<br />
∂x<br />
∂F<br />
∂ x F(x, y) ; F x (x, y) ; ∣<br />
∂x<br />
b) Kurzschreibweise: ∂F<br />
∂x<br />
restliche Information im Kopf behalten: F = F(x, y), y =konstant.<br />
c) Wert <strong>der</strong> Ableitung in einem bestimmten Punkt (x 0 , y 0 ):<br />
∂F(x, y)<br />
∂x ∣ ; F x (x 0 , y 0 ) ; ∂ x F(x 0 , y 0 ) .<br />
x=x0 ;y=y 0<br />
d) Im Gegensatz zur partiellen Ableitung ergibt die totale Ableitung<br />
d ∂F(x, y)<br />
F(x, y) = +<br />
dx ∂x<br />
∂F(x, y)<br />
∂y<br />
∣<br />
y<br />
dy<br />
dx .<br />
Der erste Term beschreibt die explizite Abhängigkeit von x, während<br />
<strong>der</strong> zweite Term zusätzlich die implizite Abhängigkeit <strong>der</strong> Funktion F<br />
von x via y(x) angibt.<br />
e) Analog zur partiellen Ableitung nach x: partielle Ableitung nach y.<br />
Bsp.:<br />
F(x, y) = x 2 y ; F x (x, y) = 2xy ; F y (x, y) = x 2 .<br />
f) Die Operation ∂ ist ohne Angabe <strong>der</strong> festgehaltenen Variablen nicht<br />
∂x<br />
eindeutig. Das folgende Beispiel soll dies illustrieren.<br />
54
Bsp.: Temperatur über einer Ebene<br />
T = f(x, y) o<strong>der</strong> T = f(x, r)<br />
konkretes Bsp.: f(x, y) = x (x 2 + y 2 ) = xr 2<br />
∂T<br />
∂x ∣ ≠ ∂T<br />
∣<br />
y<br />
∂x<br />
∣<br />
r<br />
3x 2 + y 2 ≠ r 2<br />
7.1.2 F(x, y). Taylorentwicklung 1. Ordnung<br />
1 Variable: Funktion ω(u).<br />
ω 1 (u) = ω(u 0 ) + ω ′ (u 0 ) (u − u 0 )<br />
ω 1 (u) heisst “Taylorentwicklung 1. Ordnung”<br />
ω(u) ∼ ω 1 (u) heisst “Taylor-Näherung 1. Ordnung”<br />
ω 1 (u) : Näherung durch Tangente, siehe Kapitel 3.2.<br />
2 Variablen: Funktion F(x, y)<br />
linear in u<br />
F 1 (x, y) = F(x 0 , y 0 ) + F x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + F y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) (7.1)<br />
Û<br />
Û½<br />
Ù<br />
F 1 (x, y) ist linear in x und in y.<br />
F 1 (x, y) heisst “Taylorentwicklung 1. Ordnung”.<br />
F(x, y) ∼ F 1 (x, y) heisst “Taylor-Näherung 1. Ordnung”.<br />
F 1 (x, y) stimmt mit F(x, y) in (x 0 , y 0 ) im Funktionswert<br />
und in den ersten Ableitungen überein.<br />
F 1 liegt in Tangentialebene an die Fläche z =<br />
F(x, y) (ohne Beweis).<br />
Werte von z = F(x, y) approximiert durch die<br />
Werte in <strong>der</strong> Tangentialebene.<br />
Ü<br />
ܼݼ<br />
<br />
½<br />
Ý<br />
55
7.1.3 Totale Ableitung, Kettenregel<br />
Situation: ⃗x = (x 1 , x 2 )<br />
Satz:<br />
Zur Begründung:<br />
T = T(⃗x)<br />
Temperaturfeld<br />
⃗x = ⃗x(t) = (x 1 (t), x 2 (t))<br />
H(t) = T(x 1 (t), x 2 (t))<br />
dH<br />
= ?<br />
dt<br />
dH<br />
dt = ∂T · dx 1<br />
∂x 1 dt + ∂T · dx 2<br />
∂x 2 dt<br />
Bewegung<br />
H(t + ∆t) − H(t) = T[x 1 (t + ∆t), x 2 (t + ∆t)] − T[x 1 (t), x 2 (t)]<br />
= T[x 1 + ∆x 1 , x 2 + ∆x 2 ] − T[x 1 , x 2 ]<br />
≃<br />
∂T · ∆x 1 + ∂T · ∆x 2<br />
∂x 1 ∂x 2<br />
H(t + ∆t) − H(t)<br />
∆t<br />
≃<br />
———-→<br />
∆t→0<br />
∂T<br />
· ∆x 1<br />
∂x 1 ∆t + ∂T · ∆x 2<br />
∂x 2 ∆t<br />
∂T<br />
· dx 1<br />
∂x 1 dt + ∂T · dx 2<br />
∂x 2 dt<br />
(strenger Beweis in Mathematikvorlesungen).<br />
Beispiel:<br />
√<br />
T = x 2 1 + x 2 2 = |⃗x|<br />
dT<br />
dt<br />
Einschub: Formen <strong>der</strong> Kettenregel<br />
= x 1<br />
T ẋ1 + x 2 ⃗x · ˙⃗x<br />
T ẋ2 =<br />
|⃗x|<br />
1.<br />
Beispiel:<br />
d dF(x)<br />
F[x(t)] =<br />
dt dx · dx(t)<br />
dt<br />
= F ′ · ẋ<br />
d<br />
dt esint = d dt ex(t) = e sint cost<br />
56
2.<br />
Beispiel:<br />
3.<br />
Beispiel:<br />
F =<br />
∂F<br />
∂x 1<br />
=<br />
∂F<br />
∂x 2<br />
=<br />
d<br />
dt F[x 1(t), x 2 (t)] =<br />
2∑<br />
k=1<br />
∂F<br />
· dx k<br />
∂x k dt<br />
d<br />
dt [⃗x2 (t)] = ..... = 2⃗x · ˙⃗x<br />
∂<br />
F[g(x 1 , x 2 )] = dF<br />
∂x k dg · ∂g(⃗x)<br />
∂x k<br />
√<br />
x 2 1 + x2 2 ; F = √ g ; g = x 2 1 + x2 2<br />
1<br />
2 √ g · 2 x 1 =<br />
1<br />
2 √ g · 2 x 2 =<br />
x 1<br />
√<br />
x<br />
2<br />
1 + x 2 2<br />
x 2<br />
√<br />
x<br />
2<br />
1 + x 2 2<br />
4. Allgemeiner Fall<br />
∂<br />
∂u i<br />
F[x 1 (u 1 , u 2 ), x 2 (u 1 , u 2 )] =<br />
2∑<br />
k=1<br />
∂F<br />
∂x k<br />
∂x k<br />
∂u i<br />
∂<br />
∂u i<br />
∂<br />
∂x k<br />
: u k konstant gehalten für k ≠ i<br />
: x i konstant gehalten für i ≠ k<br />
7.1.4 Höhere partielle Ableitungen<br />
⃗x = (x 1 , x 2 ) = (x, y)<br />
F = F(x, y)<br />
Es gibt folgende zweite partielle Ableitungen:<br />
a) ∂ x<br />
.<br />
∂ x F(x, y) = ∂x 2 } {{ }<br />
= . ∂2 F(x, y)<br />
∂x 2<br />
Fkt. von x,y<br />
“zweite (partielle) Ableitung nach x”<br />
. = Fxx<br />
57
) analog<br />
∂ y ∂ y F(x, y) . = ∂2 F(x, y)<br />
∂y 2<br />
. = Fyy<br />
c)<br />
∂ x ∂ y F(x, y)<br />
} {{ }<br />
Fkt. von x,y<br />
“gemischte partielle Ableitung”<br />
.<br />
= ∂2 F(x, y)<br />
∂x∂y<br />
.<br />
= F yx<br />
d)<br />
∂ y ∂ x F(x, y) . = F xy<br />
Beispiel:<br />
F = x · sin y<br />
F x = sin y , F y = x cosy<br />
F xy = cosy , F yx = cosy<br />
Satz: Für eine grosse Klasse von Funktionen gilt<br />
∂ y ∂ x F = ∂ x ∂ y F ,<br />
d.h., die Reihenfolge <strong>der</strong> Ableitungen spielt keine Rolle (ohne Beweis).<br />
7.1.5 F(x, y). Taylorentwicklung 2. Ordnung<br />
Rep. 7.1.2: Die Taylorentwicklung 1. Ordnung (F 1 ) stimmt mit F in (x 0 , y 0 )<br />
im Funktionswert und in den ersten Ableitungen überein. F 1 ist linear in<br />
den Variablen x, y. Krümmungseigenschaften von F sind demzufolge nicht<br />
berücksichtigt.<br />
Bessere Approximation von F in <strong>der</strong> Umgebung von (x 0 , y 0 ) durch eine Funktion<br />
F 2 (x, y), welche zweiten Grades in x, y ist und welche in (x 0 , y 0 ) mit F<br />
in den folgenden Grössen übereinstimmt:<br />
F = F 2 ; F x = ∂ x F 2 ; F xx = ∂ 2 x F 2 ; F y = ∂ y F 2 ; F yy = ∂ 2 y F 2 ;<br />
F xy = ∂ x ∂ y F 2 (= ∂ y ∂ x F 2 )<br />
Resultat für F 2 : (Verfikation als Übung)<br />
F 2 (x, y) = F(x 0 , y 0 ) + F x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + F y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) +<br />
1<br />
2 F xx(x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) 2 + 1 2 F yy(x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) 2 +<br />
F xy (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) (y − y 0 ) .<br />
58
F 2 (x, y) heisst “Taylorentwicklung 2. Ordnung”.<br />
F ∼ F 2 heisst “Taylor-Näherung 2. Ordnung”.<br />
7.1.6 Der Gradient (2-dim.)<br />
Sei F = F(x 1 , x 2 ) = F(⃗x) gegeben.<br />
Definition:<br />
gradF = ⃗ ∇ F(⃗x) =<br />
( ∂F<br />
∂x 1<br />
, ∂F<br />
∂x 2<br />
)<br />
.<br />
Aus einem skalaren Feld wird also durch Differentiation ein Vektorfeld gebildet.<br />
Beipiele zur Illustration:<br />
Bsp. 1:<br />
F = 1 4 x2 1 + x 2<br />
( 1<br />
⃗∇F =<br />
2 x 1, 1)<br />
ܾ<br />
½<br />
½<br />
ܽ<br />
Bsp. 2:<br />
F = 1 (<br />
x<br />
2<br />
4 1 + x2)<br />
2<br />
( 1<br />
⃗∇F =<br />
2 x 1, 1 2)<br />
2 x<br />
ܾ<br />
½<br />
ܽ<br />
Bsp. 3: Taylor-Näherung des Feldes F(⃗x) im Punkt ⃗x (siehe Gl. (7.1)):<br />
F(⃗x + −→ δx) ≃<br />
F(⃗x) + ∂F<br />
∂x 1<br />
δx 1 + ∂F<br />
∂x 2<br />
δx 2<br />
= F(⃗x) + ⃗ ∇F(⃗x) · −→ δx<br />
Bei festem Betrag | −→ δx|:<br />
• stärkste Zunahme in Richtung ∇F ⃗<br />
• keine Än<strong>der</strong>ung in Richtung ⊥ ∇F. ⃗<br />
• stärkste Abnahme in Richtung −∇F.<br />
⃗<br />
Ü ÆÜ<br />
ÆÜ ÆÜ<br />
ÆÜ<br />
Ö<br />
59
Bsp. 4: F(x 1 , x 2 ) vorgegeben. F(x 1 , x 2 ) = K (konstant)<br />
legt eine Kurve fest in <strong>der</strong> x 1 , x 2 Ebene.<br />
Beispiel: F(⃗x) = α (x 2 1 + x2 2 )<br />
x(t) durchlaufe diese Kurve.<br />
Satz: ⃗ ∇F steht senkrecht auf <strong>der</strong> Kurve F = K im<br />
Punkt ⃗x (d.h. senkrecht auf <strong>der</strong> Tangente ˙⃗x(t)).<br />
Beweis:<br />
d a)<br />
F[⃗x(t)] = 0 = b) ∂F ẋ 1 + ∂F c)<br />
ẋ 2 = ∇F<br />
dt ∂x 1 ∂x ⃗ · ˙⃗x<br />
2<br />
a) da F =konstant ; b) Kettenregel ; c) Definition von ⃗ ∇F.<br />
Im Beispiel:<br />
⃗∇F = (2α x 1 , 2αx 2 ) = 2α⃗x.<br />
ܾ<br />
Bsp. 5: F(⃗x) = a 1 x 1 + a 2 x 2 = ⃗a · ⃗x ; ∇F ⃗<br />
Ü <br />
= ⃗a .<br />
¡ÜÓÒ×Ø Ü½<br />
Ö<br />
ܾ<br />
ÜØ<br />
ÓÒ×Ø<br />
ܽ<br />
Bsp. 6: F(⃗x) = G(x) ; x ≡ |⃗x|<br />
( ∂F<br />
⃗∇F = , ∂F )<br />
;<br />
∂x 1 ∂x 2<br />
⃗∇F = dG<br />
dx · ⃗x<br />
|⃗x|<br />
∂F<br />
∂x 1<br />
= dG<br />
dx · ∂x<br />
∂x 1<br />
= dG<br />
dx · x1<br />
|⃗x|<br />
Bsp. 7: Das elektrische Feld ⃗ E(⃗x)<br />
⃗E(⃗x) =<br />
Q<br />
4πε 0 x 2 · ⃗x x<br />
lässt sich als Gradient eines Potenzials schreiben:<br />
⃗E(⃗x) = − ⃗ ∇ φ(⃗x) ;<br />
φ(⃗x) = Q<br />
4πε 0<br />
1<br />
x<br />
“Potenzial von ⃗ E”.<br />
60
7.2 Funktionen von drei (o<strong>der</strong> mehr) Variablen<br />
⃗x = (x, y) = (x 1 , x 2 ) −→ ⃗x = (x 1 , x 2 , x 3 )<br />
F(⃗x) = F(x 1 , x 2 ) −→ F(⃗x) = F(x 1 , x 2 , x 3 )<br />
Verallgemeinerung von 7.1 unproblematisch:<br />
• partielle Ableitung<br />
•<br />
Bsp.:<br />
∂F(x 1 , x 2 , x 3 )<br />
∂x 1<br />
⃗∇F =<br />
= ∂F<br />
∂x 1<br />
∣ ∣∣∣x2<br />
,x 3<br />
≡ ∂ x1 F ≡ ∂ 1 F<br />
( ∂F<br />
∂x 1<br />
, ∂F<br />
∂x 2<br />
, ∂F<br />
∂x 3<br />
)<br />
; Gradient<br />
skalares Feld F −→ Vektorfeld ⃗ ∇F<br />
F = α⃗x 2<br />
⃗∇F = 2α⃗x<br />
F = konst. =⇒ α⃗x 2 = konst. =⇒ Kugelfläche mit Radius √ konst./α<br />
⃗∇ F steht senkrecht auf <strong>der</strong> Kugelfläche .<br />
• Taylorentwicklung 1. Ordnung:<br />
F(⃗x 0 + −→ δx) = F(x 01 + δx 1 , x 02 + δx 2 , x 03 + δx 3 )<br />
3∑ ∂F<br />
≃ F(⃗x 0 ) + (⃗x 0 ) δx i<br />
∂x i<br />
i=1<br />
= F(⃗x 0 ) + ⃗ ∇F(⃗x 0 ) · −→ δx<br />
⃗∇F zeigt die Richtung an, in welcher F am schnellsten zunimmt.<br />
• ⃗ ∇F steht senkrecht zu den Flächen mit F =konst. [genauer: ⃗ ∇F steht<br />
senkrecht auf den Tangentialebenen an F =konst.]<br />
• Kettenregel: Vergleiche Kapitel 7.1.3.<br />
d<br />
3∑<br />
dt F[⃗x(t)] = ∂F dx i<br />
∂x i dt = ∇F ⃗ · ˙⃗x<br />
i=1<br />
61
• Wichtige Eigenschaft des Gradienten: Der Vektor ∇F ⃗ ist unabhängig<br />
von <strong>der</strong> Wahl <strong>der</strong> Drehlage des Koordinatensystems.<br />
Begründung: ∇F ⃗ Ö<br />
ist durch die Flächen F =konst. auch ohne Einführung<br />
eines Koordinatensystems festgelegt: ∇F ⃗ ⊥ F =konst.<br />
ÓÒ×Ø<br />
7.3 Kugelsymmetrische Fel<strong>der</strong><br />
Ein skalares Feld <strong>der</strong> Form F = F(x), x = |⃗x|, heisst kugelsymmetrisch.<br />
Ein Vektorfeld <strong>der</strong> Form ⃗v(⃗x) = G(x) ⃗x , x = |⃗x|, heisst kugelsymmetrisch.<br />
x<br />
Satz: Der Gradient eines kugelsymmetrischen Feldes ist kugelsymmetrisch.<br />
√<br />
F = F(x) , x = |⃗x| = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3<br />
∂<br />
F[x(⃗x)] = dF<br />
∂x 1 dx<br />
⃗∇F(x) = dF<br />
dx<br />
⃗x<br />
x<br />
∂x<br />
= dF<br />
∂x 1 dx<br />
Beispiel: Zwischen dem elektrischen Feld<br />
und seinem Potenzial<br />
⃗E(⃗x) =<br />
φ(⃗x) =<br />
Q ⃗x<br />
4πε 0 x 2 x<br />
Q<br />
4πǫ 0 x<br />
x 1<br />
√<br />
x<br />
2<br />
1 + x 2 2 + x 2 3<br />
= dF<br />
dx<br />
gilt die Beziehung ⃗ E(⃗x) = − ⃗ ∇φ(⃗x) (“ ⃗ E ist ein Potenzialfeld”).<br />
x 1<br />
x<br />
62
8 Skalare Fel<strong>der</strong>, Vektorfel<strong>der</strong><br />
Ein skalares Feld φ(⃗x) liegt dann vor, wenn jedem Punkt ⃗x eines Gebietes G<br />
des Ortsraums eine Grösse φ zugeordnet ist.<br />
Häufig spricht man nur dann von einem skalaren Feld, wenn die Grösse φ<br />
nicht von <strong>der</strong> Wahl des Koordinatensystems abhängt. Beispiel: Druck p(⃗x).<br />
Gegenbeispiel: eine bestimmte Komponente des elektrischen Feldes.<br />
Vektorfeld ⃗ω(⃗x): In jedem Punkt ⃗x eines Gebietes G des Ortsraums ist ein<br />
Vektor ⃗ω definiert.<br />
2-dim:<br />
3-dim:<br />
⃗ω(⃗x) = (ω 1 (x 1 , x 2 ), ω 2 (x 1 , x 2 ))<br />
⃗ω(⃗x) = (ω 1 (x 1 , x 2 , x 3 ), ω 2 (x 1 , x 2 , x 3 ), ω 3 (x 1 , x 2 , x 3 ))<br />
= (ω 1 (⃗x), ω 2 (⃗x), ω 3 (⃗x))<br />
Wir nehmen im folgenden an, dass die alle partiellen Ableitungen <strong>der</strong> Komponentenfunktionen<br />
w k (⃗x) existieren.<br />
Beispiele<br />
1.) Elektrisches Feld ⃗ E(⃗x) einer Punktladung<br />
Q, welche sich bei ⃗x = 0 befindet:<br />
⃗E(⃗x) =<br />
Q 1 ⃗x<br />
4 π ε 0 x 2 x ; x = |⃗x| .<br />
⃗E(⃗x) ist ein kugelsymmetrisches Feld, welches<br />
bei ⃗x = 0 singulär ist.<br />
ܽ<br />
Ü¿<br />
É Ü<br />
2.) Sei T(⃗x) ein skalares Feld. Dann ist ⃗ ∇T ein Vektorfeld.<br />
<br />
3.) Magnetfeld ⃗ B(⃗x) eines Stromes in <strong>der</strong> 3. Achse. Stromstärke I.<br />
ρ<br />
.<br />
=<br />
| ⃗ B| ∼ 1 ρ<br />
B 3 = 0<br />
√<br />
x 2 1 + x 2 2<br />
63<br />
ܽ<br />
Ü¿ Á Ü<br />
<br />
ܾ<br />
ܾ
⃗B(⃗x) = B(x ⃗ 1 , x 2 , x 3 ) = µ (<br />
0 I<br />
2πρ × − x 2<br />
ρ , x )<br />
1<br />
ρ , 0 } {{ }<br />
Einheitsvektor ⊥ (x 1 , x 2 ,0)<br />
Zylin<strong>der</strong>symmetrisch, singulär auf 3. Achse.<br />
4.) Kraftfeld ⃗ F(⃗x): Kraft auf Massenpunkt, als<br />
Funktion seines Ortes ⃗x.<br />
Bsp.: ⃗ F(⃗x) = −D ⃗x<br />
[ideale Fe<strong>der</strong>.]<br />
5.) Momentanes Geschwindigkeitsfeld ⃗v(⃗x)<br />
einer Gas- o<strong>der</strong> Flüssigkeitsströmung.<br />
stationär: ⃗v = ⃗v(⃗x)<br />
allgemein: ⃗v = ⃗v t (⃗x), d.h. zeitabhängig.<br />
Ü Ú´Üµ<br />
Definition: Eine Kurve, <strong>der</strong>en Tangente in jedem<br />
Punkt mit <strong>der</strong> dortigen Feldrichtung übereinstimmt, heisst Feldlinie.<br />
Bei Gradientfel<strong>der</strong>n, ⃗ω(⃗x) = − ⃗ ∇φ(⃗x), sind die Feldlinien die Kurven senkrecht<br />
zu den Flächen mit φ = konst..<br />
Bsp.: Wetterkarte mit Isobarenlinien (Linien mit konstantem Druck):<br />
⃗v(⃗x) = − ⃗ ∇p(⃗x)<br />
Windrichtung ⊥ zu Isobaren, Feldlinien entlang <strong>der</strong> Windrichtung.<br />
Kommende Themen zu Vektorfel<strong>der</strong>n:<br />
• Integration: Linienintegrale, Flächenintegrale, seltener auch Volumenintegrale.<br />
• Differentiation: ∂ i ω k (⃗x), Divergenz (div), Rotation (rot).<br />
64
9 Linienintegrale<br />
9.1 Einführung am Beispiel<br />
Gegeben sei ein Kraftfeld ⃗ F(⃗x) (allgemein: Vektorfeld ⃗ω(⃗x)) und eine Kurve<br />
C von ⃗x a nach ⃗x b .<br />
Welche Arbeit leistet die Kraft ⃗ F(⃗x) an<br />
einem Punkt, welcher längs <strong>der</strong> Kurve C<br />
von ⃗x a nach ⃗x b verschoben wird?<br />
Kurve in kleine Intervalle unterteilen:<br />
Ò ½ÜÒ<br />
Ò¡ÜÒ<br />
Ü Ò·½Ò·½<br />
´ÜÒµ ´ÜÒ·½µ <br />
Ü<br />
Ü<br />
´Üµ<br />
Ü<br />
A n ≃ ∆⃗x n · ⃗F(⃗x n )<br />
∑<br />
A ⃗xa,⃗x b<br />
= lim ∆⃗x n · ⃗F(⃗x n )<br />
|∆⃗x|→0<br />
} {{ } n<br />
alle |∆⃗x n| → 0<br />
∫ ⃗xb<br />
= C d⃗x · ⃗F(⃗x) .<br />
= A(⃗x a ,⃗x b )<br />
⃗x<br />
} a<br />
{{ }<br />
Linienintegral<br />
Im allgemeinen hängt A(⃗x a ,⃗x b ) ab von: ⃗ F(⃗x), ⃗x a , ⃗x b und <strong>der</strong> Kurve C.<br />
Zum Vorzeichen:<br />
A > 0 :<br />
A < 0 :<br />
⃗ F vorwiegend in Richtung von ∆⃗x<br />
⃗ F vorwiegend entgegengesetzt zu ∆⃗x<br />
speziell: Geschlossene Kurve C als Integrationsweg<br />
∮<br />
d⃗x · ⃗F(⃗x)<br />
Ü Ü<br />
65
9.2 Berechnung im einfachsten Spezialfall<br />
⃗F(⃗x) = ⃗ F = konst., d.h., homogenes Feld.<br />
∆A n = F ⃗ · ∆⃗x n<br />
A = ∑ ⃗F · ∆⃗x n<br />
n<br />
= F ⃗ · ∑<br />
∆⃗x n<br />
n<br />
= ⃗ F · (⃗x b − ⃗x a ) .<br />
Ü<br />
¡ÜÒ<br />
<br />
´Üµ<br />
Unabhängig vom Verlauf des Weges C zwischen den festen Punkten ⃗x a und<br />
⃗x b .<br />
Übung: Worauf kommt es an, ob das Vorzeichen von A in diesem Fall positiv<br />
o<strong>der</strong> negativ ist?<br />
Ü<br />
9.3 Berechnung im allgemeinen Fall<br />
⃗F = ⃗ F(⃗x) gegeben, beliebig.<br />
C : gegeben durch ⃗x = ⃗x(u). Man sagt, u parametrisiere die Kurve C. Anfangspunkt:<br />
⃗x a = ⃗x(u a ); Endpunkt: ⃗x b = ⃗x(u b );<br />
Ü<br />
⃗x n = ⃗x(u n ).<br />
A = lim<br />
∆u→0<br />
Ü<br />
Ù<br />
¡ÜÒ ÜÒ<br />
¡ÙÒ ÙÒ<br />
∆⃗x n = ⃗x(u n + ∆u n ) − ⃗x(u n )<br />
∆u n = ∆u : alle gleich<br />
∑<br />
∆⃗x n · ⃗F[⃗x(u<br />
∑<br />
n )] = lim<br />
∆u→0<br />
n<br />
66<br />
Ù<br />
n<br />
´Üµ<br />
∆u ∆⃗x n<br />
∆u · ⃗F[⃗x(u n )]<br />
} {{ }<br />
f(u n,∆u)
Betrachte f(u n , ∆u) im Limes ∆u → 0:<br />
∆u→0<br />
f(u n , ∆u) ————-→ d⃗x<br />
∣<br />
du<br />
· ⃗F[⃗x(u n )] = ⎢<br />
d⃗x(u)<br />
⎣ du · ⃗F[⃗x(u)]<br />
⎥<br />
⎦<br />
} {{ }<br />
φ(u)<br />
∣<br />
u = un<br />
wobei φ(u) eine skalare Funktion ist. Zusammengefasst:<br />
∑<br />
A = ∆u φ(u n ) : Riemann-Summe!<br />
A =<br />
lim<br />
∆u→0<br />
∫ ub<br />
n<br />
u a<br />
du φ(u) =<br />
∫ ub<br />
u a<br />
⎡<br />
du d⃗x(u)<br />
du · ⃗F[⃗x(u)] .<br />
⎤<br />
u=u n<br />
Das Linienintegral ist somit zurückgeführt auf ein bestimmtes Integral über<br />
einen Parameter u (“Kurvenparameter”).<br />
Beispiel: ⃗ F(⃗x) = (0, −x 1 , 0).<br />
C :<br />
Parameterdarstellung von C:<br />
Viertelkreis<br />
x 2 1 + x2 2 = 1<br />
x 3 = 0 .<br />
⃗x(u) = (cosu, sinu, 0)<br />
d⃗x<br />
= (− sin u, cosu, 0)<br />
du<br />
⃗F[⃗x(u)] = (0, − cosu, 0)<br />
ܾ<br />
Ü<br />
Ü <br />
Ù Ü <br />
φ(u) = d⃗x<br />
du · ⃗F[⃗x(u)] = (− sin u, cosu, 0) · (0, − cosu, 0) = − cos 2 u<br />
∫ ⃗xb<br />
⃗x a<br />
d⃗x · ⃗F(⃗x) =<br />
∫ π/2<br />
0<br />
du (− cos 2 u) = − π 4 .<br />
ܽ<br />
67
9.4 Eigenschaften von Linienintegralen<br />
(a) C 13 = C 12 + C 23<br />
½¾<br />
½<br />
¾<br />
¾¿<br />
¿<br />
(b)<br />
C 13<br />
∫ 3<br />
1<br />
∫ 2<br />
d⃗x · ⃗ω(⃗x) = C 12<br />
½<br />
C ′ ∫ 1<br />
2<br />
1<br />
d⃗x · ⃗ω(⃗x) + C 23<br />
∫ 3<br />
∫ 2<br />
d⃗x · ⃗ω(⃗x) = − C d⃗x · ⃗ω(⃗x)<br />
1<br />
¾<br />
<br />
¼<br />
2<br />
d⃗x · ⃗ω(⃗x)<br />
(c) Sei ⃗ω(⃗x), ⃗x a , ⃗x b gegeben. Das Linienintegral von ⃗x a nach ⃗x b hängt i.a.<br />
von <strong>der</strong> Wahl des Weges C ab.<br />
Ü<br />
Beispiel:<br />
¾<br />
Ü<br />
½<br />
Weg 1 : ⃗x a → 1 → ⃗x b<br />
Weg 2 : ⃗x a → 2 → ⃗x b<br />
(d) An<strong>der</strong>erseits sind Linienintegrale in Gradientfel<strong>der</strong>n ⃗ω(⃗x) = − ⃗ ∇φ(⃗x)<br />
unabhängig von <strong>der</strong> Wahl des Weges C von ⃗x a nach ⃗x b . Dies folgt aus<br />
dem Satz, den wir in Abschnitt 9.6 beweisen werden:<br />
∫ ⃗xb<br />
⃗x a<br />
d⃗x · ⃗∇φ(⃗x) = φ(⃗x b ) − φ(⃗x a ) .<br />
68
9.5 Beispiele für das Auftreten von Linienintegralen in<br />
<strong>der</strong> <strong>Physik</strong><br />
9.5.1 Mechanik: Arbeit<br />
Ein Massenpunkt wird längs C von ⃗x a nach ⃗x b geführt. Die Arbeit A, welche<br />
ein Kraftfeld ⃗ F(⃗x) am Massenpunkt verrichtet, ist gegeben durch<br />
A =<br />
∫ ⃗xb<br />
⃗x a<br />
d⃗x · ⃗F(⃗x) Definition <strong>der</strong> Arbeit.<br />
Beispiel 1: Ein Kran zieht eine Last m = 100 kg auf eine Höhe H = 10 m. Die<br />
Arbeit A K , welche <strong>der</strong> Kranmotor leistet, beträgt A K = m g H = +9810 J.<br />
Beispiel 2: Gleiche Bewegung wie in Beispiel 1. Welche Arbeit A G leistet die<br />
Gravitation an <strong>der</strong> Last? A G = −9810 J.<br />
9.5.2 Mechanik: kinetische Energie<br />
Ein Massenpunkt bewegt sich unter dem Einfluss <strong>der</strong> Kraft ⃗ F tot (⃗x) gemäss<br />
<strong>der</strong> Newtonschen Bewegungsgleichung<br />
m¨⃗x(t) = ⃗ F tot [⃗x(t)] .<br />
Ü<br />
<br />
Ü ØÓØ<br />
Ü<br />
Betrachte die Zeitableitung <strong>der</strong> kinetischen Energie T = m 2 ˙⃗x 2 :<br />
d<br />
dt T =<br />
T b − T a =<br />
=<br />
d [ m<br />
dt 2 ˙⃗x<br />
]<br />
∣ ∣∣∣ 2 = m ˙⃗x · ¨⃗x = ˙⃗x · ⃗F tot Gleichung<br />
∫ tb<br />
dt dT ∫ tb<br />
t a<br />
dt =<br />
∫ ⃗xb<br />
⃗x a<br />
d⃗x · ⃗F tot .<br />
t a<br />
dt ˙⃗x · ⃗F tot [⃗x(t)]<br />
∫ tb<br />
t a<br />
dt...<br />
Die Arbeit, welche die resultierende Kraft ⃗ F tot leistet, geht über in kinetische<br />
Energie.<br />
69
9.5.3 Magnetostatik: Gesetz von Ampère<br />
Draht, darin Strom <strong>der</strong> Stärke I → Magnetfeld B(⃗x). ⃗<br />
Σ : Fläche (mit Rand C), welche vom Draht<br />
<br />
durchstossen wird.<br />
Ampère’sches Gesetz:<br />
∮<br />
C<br />
d⃗x · ⃗B(⃗x) = µ 0 I .<br />
¦<br />
Ü<br />
(allg.: I totaler Strom durch Σ).<br />
9.6 Linienintegrale in Gradientfel<strong>der</strong>n<br />
Situation: Es sei ⃗ω(⃗x) ein Gradientfeld, d.h.,<br />
⃗ω(⃗x) = − ⃗ ∇φ(⃗x) ,<br />
φ(⃗x) gegeben.<br />
Beispiel:<br />
φ(⃗x) = − G M m<br />
x<br />
; x = |⃗x|<br />
⃗F(⃗x) = − ⃗ ∇φ(⃗x) = − G M m<br />
⃗F(⃗x) : Kraftfeld, erzeugt durch die Masse M in ⃗x = 0, Kraftwirkung auf m.<br />
x 2<br />
⃗x<br />
x .<br />
Satz I:<br />
∫ ⃗xb<br />
C<br />
⃗x a<br />
d⃗x · ⃗∇φ = φ(⃗x b ) − φ(⃗x a )<br />
½<br />
Ü<br />
unabhängig von <strong>der</strong> Wahl von C zwischen den gegebenen<br />
Punkten ⃗x a und ⃗x b .<br />
Ü<br />
¾<br />
C 1<br />
∫ ⃗xb<br />
⃗x a<br />
d⃗x · ⃗∇φ = C 2<br />
∫ ⃗xb<br />
⃗x a<br />
d⃗x · ⃗∇φ .<br />
Falls also zu einem Vektorfeld ⃗ω(⃗x) ein Potenzial φ(⃗x) existiert, so dass ⃗ω =<br />
− ⃗ ∇φ, dann lässt sich das Linienintegral durch das Potenzial ausdrücken.<br />
70
Beweis von Satz I: Weg C parametrisieren: ⃗x = ⃗x(u)<br />
d<br />
du φ[⃗x(u)] K.R.<br />
= ∂φ dx 1<br />
∂x 1 du + ∂φ dx 2<br />
∂x 2 du + ∂φ dx 3<br />
∂x 3 du<br />
= ∇φ ⃗ · d⃗x<br />
du<br />
∫ ⃗xb<br />
∫ ub<br />
∫ ub<br />
d⃗x · ⃗∇φ = du d⃗x<br />
⃗x a u a<br />
du · ⃗∇φ[⃗x(u)] = du dφ<br />
u a<br />
du<br />
= φ[⃗x(u b )] − φ[⃗x(u a )] = φ[⃗x b ] − φ[⃗x a ] . □<br />
Anwendungen in <strong>der</strong> Mechanik:<br />
1. Das Kraftfeld ⃗ F(⃗x) sei ein Gradientfeld:<br />
⃗F(⃗x) = − ⃗ ∇V (⃗x) .<br />
Die Arbeit längs eines Weges C lässt sich dann in <strong>der</strong> Potenzialdifferenz<br />
ausdrücken:<br />
∫ ⃗xb<br />
⃗x a<br />
d⃗x · ⃗F[⃗x] = − [V (⃗x b ) − V (⃗x a )] : wegunabhängig<br />
Das Minuszeichen vor <strong>der</strong> eckigen Klammer auf <strong>der</strong> rechten Seite ist<br />
eine Folge des Minuszeichens in <strong>der</strong> Relation ⃗ F = − ⃗ ∇V .<br />
Vorzeichen: Kraftfeld leistet positive Arbeit bei Verschiebung in Richtung<br />
des abnehmenden Potenzials.<br />
<br />
δܵ<br />
2. Bewegung unter dem Einfluss eines Gradientfeldes:<br />
m¨⃗x = ⃗ F tot (⃗x) = − ⃗ ∇V (⃗x)<br />
71
Betrachte Bahnkurve in diesem Kraftfeld:<br />
ÒÙÖÚ<br />
Ü<br />
Ü<br />
ØÓشܵ<br />
∫ ⃗xb<br />
m¨⃗x = ⃗ F tot längs C.<br />
d⃗x · ⃗F<br />
S.71<br />
tot = − [V (⃗x b ) − V (⃗x a )] S.69<br />
= T b − T a<br />
⃗x a<br />
=⇒ T b + V b = T a + V a : Energieerhaltung.<br />
Satz II:<br />
folgt unmittelbar aus Satz I.<br />
∮<br />
d⃗x · ⃗∇φ(⃗x) = 0<br />
9.7 Umkehrung<br />
Voraussetzung: Sei ⃗ω(⃗x) in einem Gebiet G definiert; seien die Integrale<br />
∫ ⃗xb<br />
⃗x a<br />
d⃗x · ⃗ω(⃗x)<br />
zwischen jedem Punktepaar ⃗x a und ⃗x b in G unabhängig<br />
vom Integrationsweg C, und zwar für<br />
beliebige Wege C, die ganz in G verlaufen:<br />
C 1<br />
∫ ⃗xb<br />
⃗x a<br />
d⃗x · ⃗ω = C 2<br />
∫ ⃗xb<br />
⃗x a<br />
d⃗x · ⃗ω ; ∀(⃗x a ,⃗x b ) ; ∀C .<br />
Satz III: In diesem Fall ∃ φ(⃗x), so dass<br />
Ü<br />
¾<br />
½<br />
Ü<br />
<br />
⃗ω(⃗x) = − ⃗ ∇φ(⃗x) , ⃗x ∈ G .<br />
φ(⃗x) heisst “skalares Potenzial” zu ⃗ω(⃗x).<br />
72
Beweis:<br />
Bilde die Funktion (⃗a sei festgehalten)<br />
φ(⃗x) . = −<br />
∫ ⃗x<br />
⃗a<br />
d⃗x ′ · ⃗ω(⃗x ′ ) .<br />
φ(⃗x) hängt nach Voraussetzung nicht vom Verlauf<br />
des Weges C ab. [Abhängigkeit von ⃗a ist<br />
unterdrückt in <strong>der</strong> Notation.]<br />
Wir beweisen nun, dass φ(⃗x) die Beziehung<br />
<br />
ܼ<br />
<br />
Ü<br />
− ⃗ ∇φ(⃗x) = ⃗ω(⃗x)<br />
erfüllt. Dazu berechnen wir<br />
∂<br />
∂x 1<br />
φ(⃗x).<br />
∂φ(⃗x) φ(⃗x + ∆⃗x) − φ(⃗x)<br />
= lim<br />
∂x 1 ∆x 1 →0 ∆x 1<br />
¾<br />
<br />
Ü<br />
Ü·¡Ü<br />
¡Ü´¡Ü½¼¼µ<br />
½<br />
= lim − 1 ∫ ⃗x+∆⃗x<br />
d⃗x ′ · ⃗ω(⃗x ′ )<br />
∆x 1 →0 ∆x 1 ⃗x<br />
⃗x ′ = (u, x 2 , x 3 ) ; x 1 ≤ u ≤ x 1 + ∆x 1 ; d⃗x ′ = du d⃗x′ = du · (1, 0, 0)<br />
du<br />
∫<br />
∂φ(⃗x)<br />
1<br />
x1 +∆x 1<br />
= − lim<br />
du w 1 (u, x 2 , x 3 ) .<br />
∂x 1 ∆x 1 →0 ∆x 1 x 1<br />
Ableitung eines gewöhnlichen Integrals nach seiner oberen Grenze:<br />
∫<br />
d x<br />
{∫<br />
1 x+∆x ∫ x<br />
}<br />
dt f(t) = lim dt f(t) − dt f(t)<br />
dx<br />
∆x→0 ∆x<br />
a<br />
= lim<br />
∆x→0<br />
1<br />
∆x<br />
a<br />
∫ x+∆x<br />
x<br />
a<br />
dt f(t) = f(x) .<br />
Deshalb:<br />
∂φ(⃗x)<br />
= −ω 1 (x 1 , x 2 , x 3 ) = −ω 1 (⃗x)<br />
∂x 1<br />
und analog für die an<strong>der</strong>en Komponenten. □<br />
73
Satz IV: Sei ⃗ω(⃗x) in einem Gebiet G definiert; falls alle geschlossenen Linienintegrale<br />
verschwinden ∮<br />
d⃗x · ⃗ω(⃗x) = 0<br />
(für alle geschlossenen Wege, die ganz in G verlaufen), so gilt ebenfalls<br />
• ∃ φ(⃗x) mit ⃗ω(⃗x) = − ⃗ ∇φ(⃗x)<br />
• Linienintegrale wegunabhängig<br />
Beweis von Satz IV: Einfache Zurückführung auf Satz III.<br />
Ausblick:<br />
Wie sieht man einem Vektorfeld ⃗ω(⃗x) an, ob alle Linienintegrale wegunabhängig<br />
sind, d.h., ob ein Potenzial φ(⃗x) existiert, so dass ⃗ω = − ⃗ ∇φ? Wir<br />
werden sehen:<br />
⃗ω = − ⃗ ∇φ ⇔ (∂ 2 ω 3 − ∂ 3 ω 2 , ∂ 3 ω 1 − ∂ 1 ω 3 , ∂ 1 ω 2 − ∂ 2 ω 1 ) = 0<br />
überall in G<br />
[G muss gewisse Bedingungen erfüllen, die wir später spezifizieren werden].<br />
⃗ω = − ⃗ ∇φ ⇔ ⃗ ∇ × ⃗ω = 0 .<br />
9.8 Weitere Integrale längs einer Kurve C<br />
Analog zum obigen Linienintegral sind folgende Integrale definiert:<br />
∫ ⃗ b<br />
⃗A = C d⃗xφ(⃗x) =<br />
⃗a<br />
∫ ub<br />
∫ ⃗ b<br />
⃗B = C d⃗x × ⃗ω(⃗x) =<br />
⃗a<br />
∫ ⃗ b<br />
D = C |d⃗x| φ(⃗x) =<br />
u a<br />
∫ ub<br />
u a<br />
∫ ub<br />
⃗a<br />
u a<br />
du d⃗x<br />
du φ[⃗x(u)]<br />
du d⃗x<br />
du × ⃗ω[⃗x(u)]<br />
du<br />
d⃗x<br />
∣du∣ φ[⃗x(u)] .<br />
Dabei ist eine Parameterdarstellung des Integrationsweges C vorausgesetzt:<br />
C : ⃗x = ⃗x(u) ; u a ≤ u ≤ u b<br />
⃗x(u a ) = ⃗a; ⃗x(u b ) = ⃗ b.<br />
74
⃗A, ⃗ B sind komponentenweise zu verstehen:<br />
A 1 =<br />
B 1 =<br />
∫ ub<br />
du dx 1<br />
u a<br />
du φ[⃗x(u)] analog A 2 und A 3<br />
{ dx2<br />
du<br />
du ω 3[⃗x(u)] − dx }<br />
3<br />
du ω 2[⃗x(u)]<br />
∫ ub<br />
u a<br />
Das wichtigste Linienintegral ist aber jenes vom Typ<br />
∫ ⃗b<br />
C<br />
⃗a<br />
d⃗x · ⃗ω(⃗x) .<br />
analog B 2 und B 3<br />
10 Doppelintegrale<br />
10.1 Rechteckiges Integrationsgebiet<br />
Gegeben sei eine Funktion von 2 Variablen, φ(x, y), ferner <strong>der</strong> Rechtecksbereich<br />
x ′ < x < x ′′ , y ′ < y < y ′′ . Wir denken uns das Rechteck in schmale<br />
Streifen geteilt:<br />
ݼ¼<br />
Ý·½<br />
ݼݾ<br />
ݽ<br />
¡Ý<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
¡Ü<br />
Ü·½<br />
ܼ ܾܽ<br />
Ü Ü¼¼<br />
Die Fläche F des Rechtecks lässt sich (unabhängig von <strong>der</strong> Einteilung) als<br />
Summe über die Elemente ∆σ ik schreiben:<br />
F = ∑ i,k<br />
∆σ ik<br />
∆σ ik<br />
= ∆x i · ∆y k<br />
= ∑ ∑<br />
∆x i · ∆y k = (x ′′ − x ′ ) (y ′′ − y ′ ) .<br />
i<br />
k<br />
Wir gewichten nun jedes Flächenelement ∆σ ik mit dem lokalen Wert <strong>der</strong><br />
Funktion φ und bilden<br />
∑<br />
I = lim ∆σ ik φ(x i , y k ) .<br />
∆σ→0<br />
i,k<br />
75
∆σ → 0 bedeutet, dass die Einteilung beliebig fein gemacht werden soll<br />
(∆x i → 0, ∆y k → 0). Das Resultat dieses Prozesses heisst “Doppelintegral<br />
von φ über dem gegebenen rechteckigen Gebiet”.<br />
Berechnung:<br />
Kommentare<br />
I =<br />
∑<br />
lim<br />
∆y→0<br />
∆x→0 k,i<br />
= lim<br />
∆y→0<br />
∆y k ∆x i φ(x i , y k )<br />
∑<br />
∆y k<br />
k<br />
∑<br />
= lim<br />
∆y→0<br />
=<br />
∫ y ′′<br />
y ′<br />
dy<br />
k<br />
∫ x ′′<br />
lim<br />
∆x→0<br />
∑<br />
∆x i φ(x i , y k )<br />
i<br />
} {{ }<br />
Teilsumme längs horiz. Streifen<br />
∫ x ′′<br />
= dxφ(x, y k ) = J(y k )<br />
x ′<br />
Funktion von y k<br />
∆y k J(y k ) =<br />
x ′ dxφ(x, y) .<br />
∫ y ′′<br />
y ′<br />
dy J(y)<br />
• Für eine grosse Klasse von Funktionen φ spielt die Art <strong>der</strong> Einteilung<br />
keine Rolle, wenn nur alle ∆y k und alle ∆x i gegen null streben.<br />
• Für eine grosse Klasse von Funktionen φ spielt es auch keine Rolle, ob<br />
man zuerst über horizontale o<strong>der</strong> zuerst über vertikale Streifen summiert<br />
(resp. integriert):<br />
• Beispiel<br />
∫ y ′′<br />
y ′<br />
dy<br />
∫ x ′′<br />
x ′ dxφ(x, y)<br />
} {{ }<br />
g(y)<br />
=<br />
∫ x ′′<br />
x ′<br />
dx<br />
∫ y ′′<br />
y ′ dy φ(x, y)<br />
} {{ }<br />
f(x)<br />
.<br />
I =<br />
=<br />
=<br />
∫ 1<br />
−1<br />
∫ 1<br />
−1<br />
∫ 1<br />
−1<br />
dy<br />
dy<br />
∫ 1<br />
−1<br />
dx (x 2 + y 2 )<br />
[ 1<br />
3 x3 + xy 2 ]∣ ∣∣∣<br />
x=+1<br />
x=−1<br />
[ ] [ 2 2<br />
dy<br />
3 + 2 y2 =<br />
3 y + 2 ]∣ ∣∣∣<br />
y=+1<br />
3 y3 = 8<br />
y=−1<br />
3<br />
76
• Wichtige Spezialfälle:<br />
I =<br />
∫ +∞<br />
−∞<br />
dy<br />
∫ +∞<br />
−∞<br />
dxφ(x, y) .<br />
10.2 Beliebige Integrationsgrenzen<br />
Gegeben: Funktion φ(x, y).<br />
Gebiet G, durch<br />
Wie<strong>der</strong>um:<br />
x ′ (y)<br />
x ′′ (y)<br />
y ′ < y < y ′′<br />
}<br />
Rand<br />
• G in beliebig kleine Elemente teilen: α =<br />
1, 2, 3, ...; ∆σ α<br />
• Bilde dann<br />
I = lim<br />
∆σ→0<br />
∑<br />
∆σ α φ(x α , y α ) .<br />
α<br />
(∆σ → 0 : “Durchmesser” jedes Elementes<br />
→ 0).<br />
Ý<br />
ݼ¼<br />
Ý Ü¼´Ýµ<br />
ݼ Ý« ¡«<br />
00 11<br />
ܼ¼´Ýµ<br />
00 11<br />
Ü«<br />
00 11<br />
Ü<br />
Durchführung: Z.B. zuerst über horizontale Streifen<br />
summieren<br />
Ý<br />
I =<br />
∫ y ′′<br />
y ′<br />
dy<br />
∫ x ′′ (y)<br />
dxφ(x, y)<br />
x ′ (y)<br />
} {{ }<br />
Funktion von y<br />
ܼ´Ýµ<br />
ܼ¼´Ýµ<br />
Ü<br />
Beispiel: G: Kreis, definiert durch x 2 +y 2 ≤ 1; φ = 1:<br />
I ist somit <strong>der</strong> Flächeninhalt des Einheitskreises.<br />
I =<br />
I = 2<br />
∫ 1<br />
∫ √ 1−y 2<br />
dy dx · 1 = 2<br />
−1 −<br />
√1−y 2<br />
dy<br />
y = cosϕ,<br />
dϕ = − sin ϕ<br />
∫ 0<br />
π<br />
dϕ sin ϕ (− sin ϕ) = 2<br />
∫ 1<br />
−1<br />
∫ π<br />
0<br />
dy √ 1 − y 2<br />
dϕ 1 − cos(2ϕ)<br />
2<br />
= π .<br />
77
11 Flächenintegrale<br />
Die hier besprochenen Flächenintegrale beziehen sich auf eine gegebene (i.a.<br />
gekrümmte) Fläche Σ im 3-dimensionalen Raum. Beispiele von Grössen, welche<br />
durch Flächenintegrale dargestellt sind:<br />
- Flächeninhalt von Σ.<br />
- Gegeben sei das momentane Geschwindigkeitsfeld ⃗v(⃗x) einer strömenden<br />
Flüssigkeit. Welches Flüssigkeitsvolumen fliesst pro Zeit durch die<br />
(gedachte) Fläche Σ?<br />
11.1 Flächenvektoren<br />
Einem ebenen Flächenstück ist ein Flächenvektor ⃗ Σ wie folgt zugeordnet:<br />
- ⃗ Σ ⊥ Flächenstück<br />
- | ⃗ Σ| = Flächeninhalt (in m 2 )<br />
Parallelogramm<br />
¦<br />
¦<br />
<br />
<br />
¦¢<br />
Ein genügend kleines Stück einer gekrümmten<br />
Fläche Σ lässt sich i.a. durch ein ebenes<br />
Flächenelement ∆⃗σ approximieren (∆⃗σ ⊥ Fläche,<br />
|∆⃗σ| = Flächeninhalt). Das Vorzeichen von ⃗σ ist<br />
nicht durch eine allgemeine Konvention festgelegt.<br />
Bei geschlossenen Flächen Σ wählt man ∆⃗σ i.a. nach<br />
aussen zeigend.<br />
¡ ¡<br />
¦<br />
01<br />
01<br />
01<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
78
11.2 Definition von ∫ Σ<br />
d⃗σ · ⃗ω(⃗x)<br />
Gegeben sei eine Fläche Σ und ein Vektorfeld ⃗ω(⃗x). In dieser Situation ist<br />
ein Flächenintegral wie folgt definiert:<br />
(a) Fläche in kleine Elemente ∆⃗σ k aufteilen<br />
(k = 1, 2, 3, ....). Alle ∆⃗σ k sollen<br />
auf die gleiche Seite zeigen (Problem:<br />
Möbiusband).<br />
(b) In jedem Teilstück bilden wir das<br />
Skalarprodukt mit dem lokalen Wert<br />
des gegebenen Vektorfeldes ⃗ω(⃗x):<br />
∆I k = ∆⃗σ k · ⃗ω(⃗x k ) .<br />
(c) Bilde die Summe über alle Elemente,<br />
dann den Grenzwert zu beliebig<br />
feiner Einteilung:<br />
. ∑<br />
I = lim ∆⃗σ k · ⃗ω(⃗x k )<br />
∆⃗σ→0<br />
I<br />
Kommentare:<br />
.<br />
=<br />
∫<br />
Σ<br />
1. I ist ein Skalar.<br />
k<br />
d⃗σ · ⃗ω(⃗x) .<br />
2. I ist unabhängig von <strong>der</strong> Wahl <strong>der</strong> Koordinaten.<br />
Ü<br />
¡<br />
¦<br />
<br />
۴ܵ<br />
3. Im Grenzprozess ∆⃗σ → 0 muss jede Ausdehnung <strong>der</strong> Flächenelemente<br />
gegen Null gehen:<br />
Óºº ÒØÖÐÙØ<br />
4. ∆⃗σ k und ⃗ω(⃗x k ) sind hier nicht absolut präzise definiert. Dies wird aber<br />
durch den Grenzprozess irrelevant. Siehe später.<br />
5. Bei geschlossenen Flächen Σ schreibt man<br />
∮<br />
d⃗σ · ⃗ω(⃗x) ; (d⃗σ nach aussen.)<br />
79
Beispiel 1: Σ eben, ⃗ω(⃗x) = ⃗ω = konst.<br />
∫<br />
I = d⃗σ · ⃗ω<br />
Beispiel 2:<br />
Σ<br />
= ⃗ Σ · ⃗ω .<br />
Σ = Kugeloberfläche.<br />
⃗ω(⃗x) = ⃗ω = konst.<br />
∮<br />
d⃗σ · ⃗ω = 0 .<br />
¦ <br />
¢<br />
Linienintegral: Zurückgeführt auf gewöhnliches, 1-dim. Integral.<br />
Flächenintegral: Zurückführen auf gewöhnliches, 2-dim. Integral.<br />
11.3 Beschreibung von Flächen<br />
11.3.1 Kurven im Raum<br />
Kreis in (x, y) Ebene:<br />
x 2 + y 2 = R 2 .<br />
Ellipse in (x, y) Ebene:<br />
Allgemein:<br />
x 2<br />
a 2 + y2<br />
b 2 = 1 .<br />
A x 2 + 2B xy + C y 2 + 2D x + 2E y + F = 0 .<br />
→ Allgemeine Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel.<br />
Zur Berechnung von Linienintegralen muss man die Kurve in eine Parameterdarstellung<br />
bringen:<br />
⃗x(u) = (x 1 (u), x 2 (u), x 3 (u)) .<br />
Ü¿<br />
٠٠٠ܴٵ ܾ<br />
ܽ<br />
80
Obiger Kreis: ⃗x(u) = (R cosu, R sin u, 0) ; 0 ≤ u ≤ 2π .<br />
11.3.2 Flächen. Beispiele<br />
Kugeloberfläche : x 2 + y 2 + z 2 = R 2<br />
x 2<br />
Ellipsoid :<br />
a + y2<br />
2 b + z2<br />
2 c = 1 2<br />
Ebene : a x + by + c z = konst.<br />
Velopneu, Oberfläche?<br />
Ü¿<br />
ܽ<br />
ܾ<br />
Wie bei den Linienintegralen muss man die Fläche in Form einer Parameterdarstellung<br />
vorliegen haben, um Flächenintegrale auf gewöhnliche Integrale<br />
(Doppelintegrale) zurückführen zu können.<br />
Kugeloberfläche: Wir lassen den Ortvektor ⃗x auf <strong>der</strong><br />
Kugeloberfläche wan<strong>der</strong>n.<br />
⃗x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ; 3 Parameter x 1 , x 2 , x 3<br />
1 Einschränkung:<br />
x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = R 2<br />
Also 3 − 1 = 2 Parameter nötig für die Beschreibung <strong>der</strong> Kugeloberfläche.<br />
Behauptung:<br />
⃗x = (R sin u cosv, R sin u sin v, R cosu) .<br />
ܽ<br />
Ü¿<br />
Ù<br />
Ú<br />
Ü ¦<br />
Wenn wir u und v variieren, dann wan<strong>der</strong>t ⃗x auf <strong>der</strong> Kugeloberfläche.<br />
ܾ<br />
81
Beweis: x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = .... = R 2 , o.k.<br />
0 ≤ u ≤ π , 0 ≤ v < 2π → ⃗x überstreicht ganze Kugeloberfläche.<br />
Wir schreiben dies als<br />
⃗x(u, v) ≡ (x 1 (u, v), x 2 (u, v), x 3 (u, v)) .<br />
11.3.3 Flächen allgemein<br />
Es sei ein Koordinatensystem mit Ursprung 0 vorgegeben. Fläche im 3-dim.<br />
Raum wird beschrieben durch die Menge aller Punkte, <strong>der</strong>en Ortsvektoren<br />
gegeben sind durch<br />
⃗x(u, v) = (x 1 (u, v), x 2 (u, v), x 3 (u, v)) ,<br />
wobei die Parameter u, v ein Gebiet Úim R 2 überstreichen (siehe Figur).<br />
<br />
Ù<br />
ÚÚ¼ ÚÚ½<br />
ÙÙ¾<br />
ÙÙ¼ ÙÙ½<br />
82
ÜÙ¢ÜÚ<br />
È´Ù¼Ú¼µ<br />
ÙÙ¼ ÙÙ½<br />
Ü´Ù¼Ú¼µ Þ<br />
Ü<br />
ÜÚ´Ù¼Ú¼µ<br />
Üٴټڼµ<br />
ÚÚ¼ÚÚ½ÚÚ¾<br />
ÃÓÓÖÒØÒÐÒ<br />
Ý<br />
Koordinatenlinien:<br />
⃗x(u 0 , v), wobei u 0 festgehalten wird und v variabel ist, beschreibt eine Kurve<br />
auf <strong>der</strong> Fläche. Analog beschreibt ⃗x(u, v 0 ) eine Kurve auf <strong>der</strong> Fläche. Diese<br />
Kurven heissen Koordinatenlinien.<br />
Tangentialvektoren an Koordinatenlinien:<br />
⃗x u ≡ ∂⃗x<br />
∂u ,<br />
Betrachte<br />
⃗x v ≡ ∂⃗x<br />
∂v<br />
∂⃗x<br />
(u, v) :<br />
∂u<br />
∂⃗x<br />
(u, v) :<br />
∂v<br />
Tangente an ⃗x(u, v); v fest<br />
Tangente an ⃗x(u, v); u fest<br />
heissen Tangentialvektoren. I.a. gilt: ⃗x u · ⃗x v ≠ 0<br />
⃗n(u, v) = ⃗x u × ⃗x v<br />
⃗n · ⃗x u = ⃗n · ⃗x v = 0 . ⃗n ist ⊥ zur Fläche (nach Def.)<br />
11.3.4 Flächenelement<br />
∆⃗x u<br />
∆⃗x v<br />
= ⃗x(u + ∆u, v) − ⃗x(u, v) ≃ ∆u ∂⃗x<br />
∂u = ∆u⃗x u<br />
= ⃗x(u, v + ∆v) − ⃗x(u, v) ≃ ∆v ∂⃗x<br />
∂v = ∆v ⃗x v<br />
83
wobei ≃ bedeutet, dass wir eine Taylornäherung<br />
È´ÙÚ·¡Úµ<br />
1. Ordnung gemacht haben.<br />
¡ ¦<br />
¡ÜÚ ¡¦<br />
¡ÜÙ<br />
Ü´ÙÚµ È´Ù·¡ÙÚµ<br />
Das Flächenelement ∆Σ ist dann<br />
∆Σ ≃ ∆u ∆v |⃗x u × ⃗x v | .<br />
Die Approximation wird umso besser, je kleiner ∆u, ∆v sind.<br />
Für den Vektor<br />
gilt<br />
i) ⊥ auf Fläche ∆Σ,<br />
ii) |∆⃗σ| ≃ ∆Σ,<br />
∆⃗σ . = ∆u ∆v (⃗x u × ⃗x v ) = ∆u ∆v<br />
( ∂⃗x<br />
∂u × ∂⃗x )<br />
∂v<br />
iii) im Limes ∆u ∆v → 0:<br />
∆⃗σ → d⃗σ = du dv ( ∂⃗x<br />
∂u × ∂⃗x<br />
∂v)<br />
.<br />
11.4 Berechnung von Flächenintegralen mittels Parameterdarstellung<br />
I =<br />
∫<br />
Σ<br />
d⃗σ · ⃗ω(⃗x) . =<br />
∑<br />
[ ∂⃗x<br />
lim ∆u ∆v<br />
∆u,∆v→0<br />
∂u × ∂⃗x ]<br />
· ⃗ω[⃗x(u, v)]<br />
∂v<br />
} {{ }<br />
K(u,v)<br />
∑<br />
∫<br />
= lim ∆u ∆v K(u, v) = du dv K(u, v) .<br />
∆u,∆v→0<br />
G<br />
84
Gewöhnliches Doppelintegral über dem Gebiet G des Parameterraumes (u, v)<br />
[G ↔ Σ]. Siehe Diskussion <strong>der</strong> Doppelintegrale in Kap.10.<br />
Flächenintegral ↔<br />
Doppelintegral<br />
Linienintegral ↔ Einfaches Integral .<br />
Beispiel: Σ: Halbkugel, Radius R, Zentrum (0, 0, 0), x 3 ≥ 0, d⃗σ nach aussen<br />
gerichtet.<br />
⃗ω(⃗x)<br />
´Üµ<br />
= . (0, 0, x 3 ) ; geg. Vektorfeld.<br />
Ê ÙÜ<br />
¾<br />
¿ <br />
(a) Wir wählen die auf S. 81 angegebene Parametrisierung <strong>der</strong> Kugeloberfläche:<br />
⃗x(u, v) = R(sin u cosv, sinu sin v, cosu)<br />
∂⃗x<br />
= R(cosucosv, cosusinv, − sin u)<br />
∂u<br />
∂⃗x<br />
= R(− sin u sin v, sin u cosv, 0)<br />
∂v<br />
(b)<br />
∂⃗x<br />
∂u × ∂⃗x<br />
∂v = R2 (sin 2 u cosv, sin 2 u sinv, sin u cosu) (= R sin u⃗x(u, v))<br />
(zeigt nach aussen).<br />
(c)<br />
(d)<br />
I =<br />
⃗ω[⃗x(u, v)] = (0, 0, R cosu) = ⃗ω[u, v] .<br />
∫ π/2<br />
du<br />
∫ 2π<br />
0 0<br />
dvR 3 sin u cos 2 u = 2π 3 R3 .<br />
85
Anmerkungen<br />
1. Die Integrationsfläche (Halbkugel) entspricht dem Parameterbereich<br />
0 ≤ u ≤ π 2 , 0 ≤ v < 2π .<br />
2. Die gewählte Reihenfolge <strong>der</strong> Faktoren in ⃗x u × ⃗x v ergibt einen nach<br />
aussen zeigenden Vektor.<br />
3.<br />
|d⃗σ| = du dv R 2 sin u .<br />
11.5 Beispiele von Flächenintegralen in <strong>der</strong> <strong>Physik</strong><br />
Beispiel 1:<br />
⃗v(⃗x) : momentanes Geschwindigkeitsfeld eines Gases<br />
Σ : Flächenstück (virtuell)<br />
Welches Gasvolumen tritt pro Zeit durch Σ hindurch?<br />
Betrachte das Element d⃗σ, und das in <strong>der</strong> Zeit ∆t durchtretende Gas :<br />
¡Ú¡Ø<br />
«<br />
Ü<br />
ڴܵ<br />
<br />
∆V (dσ) = ∆l |d⃗σ| cosα = ∆ ⃗ l · d⃗σ = ∆t⃗v · d⃗σ<br />
Durch Σ tritt in <strong>der</strong> Zeit ∆t das Volumen<br />
∫<br />
∆V Σ = ∆t d⃗σ · ⃗v(⃗x)<br />
Σ<br />
∫<br />
dV Σ<br />
= d⃗σ · ⃗v(⃗x) .<br />
dt<br />
Σ<br />
86
Pro Zeit durchfliessende Masse (ρ=Dichte)<br />
∫<br />
dM Σ<br />
= d⃗σ · ⃗v(⃗x) ρ(⃗x) .<br />
dt<br />
Beispiel 2: skalare Maxwellgleichungen.<br />
Σ : geschlossene Fläche (d⃗σ nach aussen)<br />
⃗E(⃗x) : elektrisches Feld, erzeugt durch irgendeine Ladungsverteilung<br />
Q Σ : Durch Σ eingeschlossene elektrische Ladung<br />
⃗B(⃗x) : Magnetfeld<br />
∮<br />
∮<br />
Σ<br />
d⃗σ · ⃗E(⃗x) =<br />
d⃗σ · ⃗B(⃗x) = 0 .<br />
1<br />
ǫ 0<br />
Q Σ<br />
Dies sind physikalische Gesetze des elektromagnetischen Feldes, zu <strong>der</strong>en<br />
Begründung hier nichts gesagt ist.<br />
Zur Illustration <strong>der</strong> ersten Gleichung betrachte man z.B. die folgende Situation:<br />
Ladung Q in ⃗x = 0; Σ: Kugeloberfläche mit Zentrum ⃗x = 0.<br />
⃗E(⃗x) = Q<br />
4πǫ 0<br />
1<br />
x 2 ⃗x<br />
x .<br />
11.6 Weitere Flächenintegrale<br />
Das bisher besprochene Integral<br />
∫ ∫∫<br />
I = d⃗σ · ⃗ω(⃗x) =<br />
Σ<br />
G<br />
[ ∂⃗x<br />
dudv<br />
∂u × ∂⃗x ]<br />
· ⃗ω[⃗x(u, v)]<br />
∂v<br />
ist zwar das häufigst auftretende, aber nicht das einzig denkbare Flächenintegral.<br />
Zu einem vorgegebenen Vektorfeld ⃗ω(⃗x) o<strong>der</strong> einem skalaren Feld φ(⃗x) lassen<br />
87
sich mit evidenter Definition folgende Integrale bilden:<br />
∫ ∫∫ [ ∂⃗x<br />
(a) d⃗σ × ⃗ω(⃗x) = dudv<br />
Σ<br />
G ∂u × ∂⃗x ]<br />
× ⃗ω[⃗x(u, v)]<br />
∂v<br />
∫ ∫∫<br />
(b) |d⃗σ| ⃗ω(⃗x) = dudv<br />
∂⃗x<br />
∣<br />
Σ<br />
G ∂u × ∂⃗x<br />
∂v ∣ ⃗ω[⃗x(u, v)]<br />
∫ ∫∫<br />
(c) |d⃗σ| φ(⃗x) = dudv<br />
∂⃗x<br />
∣<br />
Σ<br />
G ∂u × ∂⃗x<br />
∂v ∣ φ[⃗x(u, v)]<br />
∫ ∫∫ [ ∂⃗x<br />
(d) d⃗σ φ(⃗x) = dudv<br />
∂u × ∂⃗x ]<br />
φ[⃗x(u, v)] .<br />
∂v<br />
Σ<br />
G<br />
Beachte, dass einige dieser Integrale Skalare, an<strong>der</strong>e aber Vektoren sind.<br />
Bem.: Falls man in (c) φ = 1 setzt, erhält man den Flächeninhalt von Σ.<br />
11.7 Anwendung: Variablentransformation bei Doppelintegralen<br />
Bei Integration über eine einzige Variable lässt sich oft eine geeignete neue<br />
Variable so einführen, dass das Integral gelöst werden kann. Dies ist auch bei<br />
Doppelintegralen möglich.<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
dx<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
dy e 1<br />
−(x+y)2 1 + (x − y) ; Substitution: u = x + y ; v = x − y .<br />
2<br />
1 Variable:<br />
I =<br />
=<br />
∫<br />
∫<br />
f(x)dx ; z = g(x) , x = h(z)<br />
dz dh f[h(z)] = s(z) = s[g(x)]<br />
dz<br />
Der Faktor dh dz<br />
Ein analoger Faktor tritt auf bei mehrfacher Integration.<br />
Allgemein lautet die Aufgabe (vgl. S. 76)<br />
∫ y ′′ ∫ x ′′ (y)<br />
I = dy dxφ(x, y) .<br />
Ý ¦<br />
y ′<br />
x ′ (y)<br />
ݼ¼<br />
ݼ<br />
ܼ´Ýµ<br />
ܼ¼´Ýµ Ü<br />
88
Dieses Integral lässt sich als Flächenintegral schreiben:<br />
∫<br />
I = d⃗σ ·(0, 0, φ(x, y)) .<br />
Σ<br />
} {{ }<br />
⃗ω(⃗x)<br />
Mit einer Parametrisierung von Σ lassen sich neue Variablen u, v einführen<br />
und diese zur Berechnung von I verwenden.<br />
ÙÙ´Üݵ<br />
ÚÚ´Üݵ<br />
ÜÜ´ÙÚµ<br />
ÝÝÝ´ÙÚµ<br />
Þ<br />
¦<br />
Ý<br />
<br />
Ü<br />
<br />
Ù<br />
¦<br />
Ü<br />
x = r cos ϕ , y = r sin ϕ (Polarkoordinaten).<br />
Beispiel:<br />
Die Berechnung von I in dieser Parametrisierung lautet:<br />
∫∫ [ ∂⃗x<br />
I = ± dudv<br />
G ∂u × ∂⃗x ]<br />
· (0, 0, φ[x(u, v), y(u, v)])<br />
∂v<br />
∫∫ ( ∂⃗x<br />
= ± dudv<br />
G ∂u × ∂⃗x )<br />
φ[x(u, v), y(u, v)]<br />
∂v<br />
3<br />
} {{ }<br />
( ∂⃗x<br />
∂u × ∂⃗x )<br />
= ∂x ∂y<br />
∂v<br />
3<br />
∂u ∂v − ∂x ∂y ∂(x, y)<br />
≡<br />
∂v ∂u ∂(u, v) ≡ D .<br />
∂x ∂y<br />
D =<br />
∂u ∂u<br />
∣ ∣ heisst Funktionaldeterminante.<br />
∂x<br />
∂v<br />
∂y<br />
∂v<br />
Somit kann I geschrieben werden als<br />
∫<br />
I = ± dudv D(u, v) φ[x(u, v), y(u, v)]<br />
Mit detaillierten Integrationsgrenzen:<br />
G<br />
I = ±<br />
∫ v ′′<br />
v ′<br />
dv<br />
∫ u ′′ (v)<br />
u ′ (v)<br />
du D φ .<br />
89
Schliesslich ist das Vorzeichen wie folgt festgelegt (sei x ′′ > x ′ , y ′′ > y ′ ,<br />
u ′′ > u ′ , v ′′ > v ′ ):<br />
I =<br />
∫ y ′′<br />
y ′ ∫ x ′′<br />
x ′<br />
dy dx φ ;<br />
} {{ }<br />
>0<br />
Daher lautet die Schlussformel:<br />
Kommentare<br />
I =<br />
∫ v ′′<br />
v ′<br />
dv<br />
Vorzeichen von I durch Vorzeichen von φ bestimmt.<br />
∫ u ′′ (v)<br />
u ′ (v)<br />
du |D(u, v)| φ[x(u, v), y(u, v)] .<br />
1. Bei 1-dim. Integration steht in Analogie zu D <strong>der</strong> Faktor dx<br />
du .<br />
2. Leitgedanken bei <strong>der</strong> Wahl von u, v:<br />
(a) Vereinfachung des Integranden<br />
(b) die neuen Grenzen sollten auch einfach werden<br />
3.<br />
4.<br />
∂(x, y) ∂(u, v)<br />
∂(u, v) ∂(x, y)<br />
∂(x, y)<br />
∂(ξ, η)<br />
= 1 (x, y) → (u, v) → (x, y) .<br />
∂(ξ, η) ∂(x, y)<br />
=<br />
∂(u, v) ∂(u, v) .<br />
(x, y) → (ξ, η) → (u, v) .<br />
Bsp. 1: Polarkoordinaten in <strong>der</strong> Ebene<br />
Beispiel:<br />
∫<br />
I =<br />
=<br />
=<br />
x = r cos ϕ , y = r sin ϕ<br />
∂(x, y)<br />
D =<br />
∂(r, ϕ) = ... = r .<br />
Σ<br />
∫ r2<br />
r<br />
∫<br />
1<br />
r2<br />
r 1<br />
dxdy Q(x, y)<br />
dr<br />
dr r<br />
∫ ϕ2<br />
ϕ<br />
∫<br />
1<br />
ϕ2<br />
dϕ r Q[x(r, ϕ), y(r, ϕ)]<br />
ϕ 1<br />
dϕ ˆQ(r, ϕ)<br />
Ý<br />
Ý<br />
³ Ö<br />
Ü<br />
³¾<br />
Ö½ ¦ Ö ¾<br />
³½<br />
Ü<br />
90
Bsp. 2:<br />
∫∫<br />
I =<br />
Σ<br />
dxdy e −(x+y)2 =?<br />
Neue Variablen u und v einführen:<br />
u = x + y ,<br />
I =<br />
∫ 1<br />
−1<br />
dv<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
v = x − y<br />
1<br />
du<br />
2<br />
∣<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
− 1 2<br />
∣<br />
∣ e−u2<br />
Ý<br />
Ù<br />
Ú Ý½ ½<br />
¦ Ú½ ܽ Ú<br />
Ü<br />
I = 1 2<br />
∫ 1<br />
−1<br />
∫ ∞<br />
dv du e −u2 = 1<br />
−∞ 2 2 √ π = √ π<br />
(Vorz. o.k.)<br />
12 Volumenintegrale<br />
Formen:<br />
I =<br />
⃗I =<br />
∫<br />
∫<br />
G<br />
G<br />
dV φ(⃗x)<br />
dV ⃗ω(⃗x)<br />
(häufig)<br />
(seltener)<br />
12.1 Definition<br />
G: Gebiet des 3-dim. Raumes, z.B. das Innere einer Kugel.<br />
φ(⃗x) skalares Feld<br />
⃗x = (x, y, z) kartesische Koordinaten<br />
G in kleine Teile vom Volumen ∆V k zerlegen (∆V k ↔ Ort⃗x k )<br />
Definition<br />
∑<br />
I = lim<br />
∆V k →0<br />
k<br />
∫<br />
∆V k φ(⃗x k ) ≡<br />
G<br />
dV φ(⃗x)<br />
Beispiel: Masse eines Körpers, welcher das Gebiet G ausfüllt, und dessen<br />
Dichte ρ(⃗x) eventuell vom Ort ⃗x abhängt:<br />
∫<br />
M G = dV ρ(⃗x) .<br />
G<br />
91
12.2 Berechnung in kartesischen Koordinaten<br />
Erläuterung am Beispiel: Dichteverteilung ρ(⃗x) gegeben. Bestimme Masse im<br />
Gebiet G in <strong>der</strong> Figur.<br />
Þ ¡Î¡Ü¡Ý¡Þ<br />
ܾ·Þ¾¾ <br />
ÉÙÖÉ Þ <br />
Ü<br />
Ý<br />
ܾ·Ý¾¾<br />
Ü Ý<br />
Infinitesimales Volumenelement: ∆V = ∆x ∆y ∆z<br />
Masse in ∆V : ∆x ∆y ∆z ρ(x i , y k , z l )<br />
Masse in Qua<strong>der</strong> Q für festes x i und y k :<br />
∑<br />
∆V ρ(x i , y k , z l ) .<br />
Unterteilung feiner machen:<br />
l<br />
¡Ý¡Ü¡Þ<br />
lim<br />
∆z→0<br />
∑<br />
l<br />
∫ √ a 2 −x 2 i<br />
∆x ∆y ∆z ρ(x i , y k , z l ) = ∆x ∆y dz ρ(x i , y k , z)<br />
0<br />
} {{ }<br />
= ∆x ∆y f(x i , y k )<br />
f(x i ,y k )<br />
Masse in allen Qua<strong>der</strong>n für festes x i :<br />
lim<br />
∆y→0<br />
∑<br />
∫ √ a 2 −x 2 i<br />
∆x ∆y f(x i , y k ) = ∆x dy f(x i , y) = ∆xg(x i ) .<br />
k<br />
Masse in allen Scheiben:<br />
∑<br />
∆xg(x i ) =<br />
lim<br />
∆x→0<br />
i<br />
0<br />
∫ a<br />
0<br />
dxg(x) ≡ M G .<br />
Ü<br />
92
Insgesamt:<br />
Anmerkungen<br />
M G =<br />
∫ a<br />
dx<br />
∫ √ a 2 −x ∫ √ 2 a 2 −x 2<br />
0 0 0<br />
dy dz ρ(x, y, z) .<br />
1. Reihenfolge beliebig (mit geeigneter Beschreibung <strong>der</strong> Grenzen)<br />
2. Gebräuchliche Schreibweisen:<br />
∫ ∫∫∫<br />
I = dV ρ(⃗x) ≡ dxdy dz ρ(⃗x)<br />
G<br />
G<br />
∫ ∫∫∫<br />
= d 3 xρ(⃗x) ≡ d 3 xρ(⃗x)<br />
=<br />
G<br />
∫ x2<br />
x 1<br />
dx<br />
∫ y2 (x)<br />
y 1 (x)<br />
dy<br />
G<br />
∫ z2 (x,y)<br />
z 1 (x,y)<br />
dz ρ(x, y, z)<br />
3. Bei <strong>der</strong> Integration über einen Qua<strong>der</strong> (Kanten parallel zu den Koordinatenachsen)<br />
sind die Grenzen beson<strong>der</strong>s einfach<br />
z 2 (x, y) → z 2<br />
konstant, etc.<br />
4. Bei an<strong>der</strong>en Grenzen (z.B. Integration über eine Kugel) empfiehlt sich<br />
die Einführung von angepassten neuen Variablen (siehe nächsten Abschnitt).<br />
5.<br />
∫<br />
∫<br />
⃗I = dV ⃗ω(⃗x) : I k = dV ω k (⃗x) ; k = 1, 2, 3.<br />
G<br />
G<br />
12.3 Variablentransformation<br />
Nicht-kartesische Koordinaten sind für die Integration ∫ dV... oft besser geeignet:<br />
- Symmetrie des Integranden<br />
- Symmetrie des Integrationsgebietes<br />
Beispiele von krummlinigen Koordinaten:<br />
93
Kugelkoordinaten (r, θ, ϕ)<br />
x 1 = r sin θ cosϕ<br />
x 2 = r sin θ sin ϕ<br />
x 3 = r cos θ<br />
0 ≤ r < ∞ ; 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ ϕ < 2π .<br />
Zylin<strong>der</strong>koordinaten (r, ϕ, z)<br />
Satz:<br />
x 1 = r cosϕ<br />
x 2 = r sin ϕ<br />
x 3 = z<br />
0 ≤ r < ∞ ; 0 ≤ ϕ < 2π ; −∞ < z < ∞ .<br />
I =<br />
∫<br />
G<br />
ܽ<br />
ܽ<br />
Ü¿<br />
Ö ×ܾ½·Ü¾·Ü¾¿ ÖÜ<br />
È<br />
³ Ö¡×Ò Ü¾<br />
ȼ<br />
Ü¿ Ö×ܾ½·Ü¾ Ö<br />
Ü È<br />
³ Þȼ<br />
∫∫∫<br />
d 3 ∂(x 1 , x 2 , x 3 )<br />
xφ(⃗x) = du dv dw<br />
φ[⃗x(u, v, w)]<br />
G ∂(u, v, w)<br />
′ } {{ }<br />
∣ ∣<br />
mit <strong>der</strong> Funktionaldeterminante<br />
⎛<br />
Beweis:<br />
D = det ⎝<br />
Ù<br />
Û<br />
∂x 1<br />
∂u<br />
∂x 1<br />
∂v<br />
∂x 1<br />
∂w<br />
∂x 2<br />
∂u<br />
∂x 2<br />
∂v<br />
∂x 2<br />
∂w<br />
⎞<br />
D(u,v,w)<br />
∂x 3<br />
∂u<br />
∂x 3<br />
∂v<br />
∂x 3<br />
∂w<br />
Ü¿ ÃÓÓÖÒØÒÐÒÒ ÈÖÐÐÐÔÔ<br />
Ü´ÙÚÛµ ܾ<br />
⎠ = D(u, v, w)<br />
ÉÙÖ<br />
¡Ú¡Ù<br />
¡Û ¡Î<br />
Ú<br />
ܽ<br />
ܾ<br />
Das Parallelepiped ist durch die Vektoren<br />
∂⃗x<br />
∂u ∆u ,<br />
∂⃗x<br />
∂v ∆v ,<br />
∂⃗x<br />
∂w ∆w<br />
94
aufgespannt (vergleiche analoge Überlegungen in Abschnitt 11.3.4), 2-dim.<br />
Fall).<br />
Volumen des Parallelepipeds:<br />
( )<br />
∆V =<br />
∂⃗x ∂⃗x<br />
∣ ∆u ×<br />
∂u ∂v ∆v · ∂⃗x ∣ ∣∣∣<br />
∂w ∆w<br />
I =<br />
lim<br />
∆V →0<br />
∑<br />
∆V k φ(⃗x k )<br />
∑<br />
= lim<br />
∆u,∆v,∆w→0<br />
=<br />
∫∫∫<br />
k<br />
k<br />
( ∂⃗x<br />
∂u × ∂⃗x )<br />
· ∂⃗x<br />
∂v ∂w<br />
∆u ∆v ∆w φ[⃗x(u, v, w)]<br />
∣} {{ }<br />
∣<br />
≡D<br />
G ′ du dv dw |D(u, v, w)| φ[⃗x(u, v, w)] □<br />
D ist also das Spatprodukt von ∂⃗x , ∂⃗x<br />
∂u ∂v<br />
und<br />
∂⃗x<br />
∂w .<br />
12.3.1 Häufig verwendete Koordinatentransformationen<br />
d = 2 Polarkoordinaten<br />
∫∫<br />
∫<br />
dxdy... →<br />
∫<br />
dr r<br />
dϕ...<br />
d = 3 Kugelkoordinaten<br />
∫∫∫ ∫<br />
dxdy dz... →<br />
dr r 2 ∫<br />
∫<br />
dθ sin θ<br />
dϕ...<br />
d = 3 Zylin<strong>der</strong>koordinaten<br />
∫∫∫ ∫<br />
dxdy dz... →<br />
∫<br />
dr r<br />
∫<br />
dϕ<br />
dz...<br />
In diesen Beispielen sind die Koordinatenlinien zueinan<strong>der</strong> orthogonal: “Orthogonale<br />
krummlinige Koordinaten”.<br />
95
13 Die Divergenz<br />
Motivation: Wie erkennt man, ob ein gegebenes Vektorfeld das momentane<br />
Geschwindigkeitsfeld einer inkompressiblen Flüssigkeit sein könnte?<br />
<br />
ÒÒ<br />
Kriterium:<br />
∮<br />
Σ<br />
d⃗σ · ⃗v(⃗x) = 0 ,<br />
∀Σ.<br />
Was ist <strong>der</strong> Grund für diese Gleichung?<br />
Lokales Kriterium? Wir werden unten finden, dass die sog. Divergenz<br />
solcher Fel<strong>der</strong> überall verschwindet.<br />
∂v 1<br />
∂x 1<br />
+ ∂v 2<br />
∂x 2<br />
+ ∂v 3<br />
∂x 3<br />
≡ ⃗ ∇ · ⃗v<br />
13.1 Definition<br />
Sei ⃗ω(⃗x) ein Vektorfeld im Gebiet G. Die Ableitungen ∂ i ω k sollen überall in<br />
G definiert sein.<br />
Definition:<br />
⃗∇ · ⃗ω(⃗x) ≡ div ⃗ω(⃗x) ≡ ∂ω 1<br />
+ ∂ω 2<br />
+ ∂ω 3<br />
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3<br />
heisst Divergenz von ⃗ω(⃗x).<br />
Beispiele<br />
Vektorfeld ⃗ω(⃗x) → skalares Feld ⃗ ∇ · ⃗ω(⃗x)<br />
1.<br />
2.<br />
⃗ω(⃗x) = ⃗ω 0 = konst =⇒ ⃗ ∇ · ⃗ω(⃗x) = 0<br />
⃗ω(⃗x) = (sin x 2 , x 2 2 , 0) =⇒ ⃗ ∇ · ⃗ω(⃗x) = 2 x 2<br />
96
3.<br />
⃗ω(⃗x) = ⃗x = (x 1 , x 2 , x 3 ) =⇒ ⃗ ∇ · ⃗ω(⃗x) = 3<br />
4.<br />
⃗ω(⃗x) = ⃗x<br />
|⃗x| 3 =⇒ ⃗ ∇ · ⃗ω(⃗x) = 0 , ⃗x ≠ 0<br />
Siehe Übungen. Dies ist das einzige divergenzfreie kugelsymmetrische<br />
Feld.<br />
5.<br />
⃗ω(⃗x) = ⃗a × ⃗x, ⃗a = konst =⇒ ⃗ ∇ · ⃗ω = 0<br />
13.2 Der Satz von Gauss<br />
G : Gebiet des 3-dimensionalen Raumes, mit einer geschlossenen Oberfläche<br />
Σ(G).<br />
⃗ω(⃗x) : Vektorfeld, ∂ i ω k existieren in G.<br />
¦´µ<br />
G<br />
Satz von Gauss:<br />
∮<br />
∫<br />
d⃗σ · ⃗ω(⃗x) = d 3 x ∇ ⃗ · ⃗ω(⃗x) .<br />
Σ(G)<br />
G<br />
13.3 Beweis<br />
13.3.1 G = Qua<strong>der</strong> ‖ Koordinatenachsen<br />
Siehe Zeichnung unten.<br />
∫ ∫<br />
∫<br />
d 3 x∇·⃗ω ⃗ = d 3 x∂ x ω 1 (x, y, z) d 3 x∂ y ω 2 (x, y, z)<br />
G<br />
G<br />
G<br />
} {{ } } {{ }<br />
I 1<br />
+<br />
∫<br />
I 2<br />
+ d 3 x∂ z ω 3 (x, y, z)<br />
{{ }<br />
I 3<br />
G<br />
}<br />
97
Betrachte I 1 . Zuerst über x integrieren:<br />
∫<br />
∫ z1<br />
d 3 x∂ x ω 1 (x, y, z) = dz<br />
V<br />
∫ z1<br />
∫ y1<br />
z<br />
∫ 0<br />
z1<br />
∫ y1<br />
z 0<br />
=<br />
y 0<br />
dz dy ω 1 (x 1 , y, z) =<br />
y 0<br />
dz dy ω 1 (x 0 , y, z) =<br />
∫ y1<br />
z 0 y<br />
∫ 0<br />
z1<br />
∫ y1<br />
∫<br />
z 0<br />
∫ x1<br />
dy dx∂ x ω 1 (x, y, z)<br />
x 0<br />
y 0<br />
dz dy [ ω 1 (x 1 , y, z) − ω 1 (x 0 , y, z) ]<br />
d⃗σ 1 · ⃗ω(x, y, z)<br />
Σ<br />
∫ V<br />
d⃗σ 1 · ⃗ω(x, y, z)<br />
Σ H<br />
I 2 , I 3 analog.<br />
∫ ∮<br />
=⇒ dx 3 ∇ ⃗ · ⃗ω = d⃗σ · ⃗ω<br />
G<br />
Σ(G)<br />
für Qua<strong>der</strong>.<br />
ÞÞ½<br />
z<br />
Ýݼ<br />
Üܽ<br />
y<br />
Üܼ<br />
Ýݽ<br />
ÞÞ¼<br />
x<br />
x<br />
¿´¦Çµ ½´¦Àµ<br />
z<br />
¾ ´¦Äµ ¾´¦Êµ<br />
½´¦Îµ ¿´¦Íµ<br />
½´½¼¼µ¡Ý¡Þ ¾´¼½¼µ¡Ü¡Þ<br />
y<br />
¿´¼¼½µ¡Ü¡Ý<br />
98
13.3.2 “Beliebiges” Volumen<br />
ν<br />
ξ<br />
<br />
Volumen approximieren durch Qua<strong>der</strong>:<br />
∫<br />
d 3 x∇ ⃗ · ⃗ω +<br />
V<br />
∫ 1<br />
∫<br />
∫<br />
d 3 x∇ ⃗ · ⃗ω + ....<br />
V 2<br />
= d⃗σ · ⃗ω +<br />
Σ 1<br />
d⃗σ · ⃗ω + ....<br />
Σ 2<br />
Beiträge <strong>der</strong> gemeinsamen Flächen fallen weg. =⇒ Nur Oberfläche von Σ(G)<br />
zählt. Im Limes, wo die Qua<strong>der</strong>volumen V i → 0, erhält man<br />
∫ ∮<br />
d 3 x∇ ⃗ · ⃗ω = d⃗σ · ⃗ω □<br />
Kommentar<br />
G<br />
Σ(G)<br />
1. Form: 3-fache Integration über eine Ableitung → eine Integration kann<br />
ausgeführt werden. Vergleiche dazu:<br />
∫ b<br />
a<br />
dxf ′ (x) = f(b) − f(a) .<br />
2. Der Satz gilt auch, wenn G Löcher hat.<br />
<br />
99
3. Der Satz setzt voraus, dass ∇ ⃗ · ⃗ω im ganzen Gebiet G definiert ist.<br />
Gegenbeispiel:<br />
Ê ¦<br />
⃗ω(⃗x) =<br />
⃗x<br />
|⃗x| 3<br />
⃗∇ · ⃗ω = 0 , ⃗x ≠ 0<br />
Übungen.<br />
Mit d⃗σ = ⃗xR sin u du dv (S. 85) bekommt man<br />
∮<br />
∫<br />
d⃗σ · ⃗ω = 4π ≠ d 3 x∇ ⃗ · ⃗ω = 0 Etwas ging schief.<br />
Σ<br />
G<br />
Satz gilt nicht, weil für ⃗x = 0 ∈ G die Divergenz ∇ ⃗ · ⃗ω nicht exisitiert.<br />
Hingegen gilt <strong>der</strong> Satz über dem Gebiet G: 0 < R 1 ≤ |⃗x| ≤ R 2 .<br />
13.4 Interpretation von ⃗ ∇ · ⃗ω<br />
Betrachte die Divergenz von ⃗ω(⃗x) in einem Punkt ⃗x 0 . Satz von Gauss auf<br />
eine kleine Umgebung G von ⃗x 0 anwenden .<br />
¦<br />
∫ ∮<br />
d 3 x∇ ⃗ · ⃗ω = d⃗σ · ⃗ω<br />
G<br />
1<br />
V G<br />
∫G<br />
Σ(G)<br />
d 3 x∇ ⃗ · ⃗ω = 1 d⃗σ · ⃗ω .<br />
V G<br />
∮Σ(G)<br />
Gebiet G auf den Punkt ⃗x 0 zusammenziehen: ∫ G d3 x ⃗ ∇ · ⃗ω ≃ V G<br />
⃗ ∇ · ⃗ω(⃗x)<br />
∣<br />
∣∣⃗x=⃗x0<br />
=⇒ ∇ ⃗ ∣<br />
· ⃗ω<br />
∣<br />
⃗x=⃗x0<br />
= lim<br />
V G →0<br />
1<br />
d⃗σ · ⃗ω(⃗x) .<br />
V G<br />
∮Σ(G)<br />
Witz <strong>der</strong> Sache: Die rechte Seite hängt nicht von <strong>der</strong> Drehlage <strong>der</strong> Koordinatenachsen<br />
ab. Dasselbe gilt also für ⃗ ∇ · ⃗ω.<br />
¼<br />
ܼ<br />
<br />
100
Divergenz: lokale skalare Eigenschaft des Vektorfeldes ⃗ω.<br />
In an<strong>der</strong>en Worten: wählt man ein an<strong>der</strong>es Koordinatensystem, so gilt<br />
⃗ω = ∑ k<br />
ω k (x 1 , x 2 , x 3 )⃗e k = ∑ k<br />
ω ′ k(x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3)⃗e ′ k<br />
ω ′ k ≠ w k , aber ∑ k<br />
∂ω ′ k (x′ 1 , x′ 2 , x′ 3 )<br />
∂x ′ k<br />
= ∑ k<br />
∂ω k (x 1 , x 2 , x 3 )<br />
∂x k<br />
.<br />
13.5 Interpretation von ⃗ ∇ · ⃗ω als Quelldichte<br />
⃗v(⃗x) : momentanes Geschwindigkeitsfeld eines Materials (z.B. Luftströmung).<br />
ρ(⃗x) : momentane Dichte.<br />
Beispiel: Luft wird erwärmt und dehnt sich aus.<br />
⃗v ·d⃗σ : durch das Flächenelement pro Zeit strömendes Volumen<br />
(S. 86)<br />
Ü Ú´Üµ <br />
ρ(⃗x)⃗v(⃗x) · d⃗σ :<br />
Durchströmende Masse pro Zeit<br />
⃗j(⃗x) = . ρ(⃗x)⃗v(⃗x) : Massenstromdichte [Einheit: kg m −2 s −1 ]<br />
∮<br />
d⃗σ ·⃗j(⃗x) : netto pro Zeit aus Σ herausfliessende Masse<br />
Σ<br />
(positive und negative Beiträge möglich)<br />
101
Bsp. 1<br />
<br />
<br />
Bsp. 2<br />
<br />
<br />
In beiden Beispielen ist ∮ d⃗σ ·⃗j > 0.<br />
Betrachte nun die pro Volumen von G netto aus G ausströmende Masse:<br />
ܼ <br />
∮<br />
1<br />
d⃗σ ·⃗j(⃗x)<br />
V (G) Σ(G)<br />
Für G → 0 (S. 100) gilt dann<br />
∮<br />
∣<br />
lim<br />
G→0<br />
1<br />
V (G)<br />
Σ(G)<br />
d⃗σ ·⃗j(⃗x) = ∇ ⃗ ·⃗j(⃗x) ∣ .<br />
⃗x=⃗x0<br />
Somit lässt sich ⃗ ∇ ·⃗j(⃗x) als die pro Zeit und pro Volumen aus <strong>der</strong> (infinitesimalen)<br />
Umgebung von ⃗x netto abfliessende Masse interpretieren.<br />
Man bezeichnet ⃗ ∇ ·⃗j(⃗x) in diesem Zusammenhang als Quelldichte <strong>der</strong> Massenstromdichte<br />
⃗j(⃗x).<br />
Die Herkunft <strong>der</strong> netto ausströmenden Masse,<br />
∮<br />
d⃗σ ·⃗j > 0 , o<strong>der</strong> ⃗ ∇ ·⃗j > 0 ,<br />
kann verschiedener Art sein:<br />
- Auf Kosten <strong>der</strong> abnehmenden Dichte ρ in G.<br />
- Echte Produktion des betreffenden Materials, z. B. Schaffung von CO 2<br />
durch Verbrennung.<br />
Beispiele<br />
(Feld ⃗j(⃗x)):<br />
(1) ⃗j = konst<br />
⃗∇ ·⃗j = 0 ,<br />
∮<br />
d⃗σ ·⃗j = 0<br />
(1)<br />
102
(2)<br />
∮<br />
d⃗σ ·⃗j > 0<br />
(3)<br />
⃗∇ ·⃗j > 0<br />
Beispiel : ⃗j = λ⃗x ; λ > 0 .<br />
∮<br />
d⃗σ ·⃗j > 0 , ∇ ⃗ ·⃗j > 0<br />
Beispiel : ⃗j = (λx 1 , 0, 0) ; λ > 0 .<br />
(2)<br />
(3)<br />
(4) Wirbel zylin<strong>der</strong>symmetrisch<br />
⃗j(⃗x) = (−x 2, x 1 , 0)<br />
F(ρ)<br />
ρ<br />
√<br />
ρ = x 2 1 + x 2 2<br />
∮<br />
⃗∇ ·⃗j = 0 , d⃗σ ·⃗j = 0 .<br />
(5) ⃗j(⃗x) = (α x 2 , 0, 0)<br />
∮<br />
⃗∇ ·⃗j = 0 , d⃗σ ·⃗j = 0 .<br />
(5)<br />
(6)<br />
⃗j(⃗x) = (∂ 2 a 3 − ∂ 3 a 2 , ∂ 3 a 1 − ∂ 1 a 3 , ∂ 1 a 2 − ∂ 2 a 1 )<br />
ergibt mit beliebigen Funktionen a k (⃗x) (k = 1, 2, 3), ein divergenzfreies Vektorfeld,<br />
d.h., ⃗ ∇ ·⃗j = 0.<br />
13.6 Die Kontinuitätsgleichung<br />
Strömendes Medium:<br />
⃗v(⃗x, t)<br />
Geschwindigkeit, ev. zeitabhängig<br />
ρ(⃗x, t) Dichte, ev. zeitabhängig<br />
⃗j(⃗x, t) = ρ(⃗x, t)⃗v(⃗x, t) Massenstromdichte<br />
Wir setzen nun voraus, die Masse sei erhalten: das Wegströmen <strong>der</strong> Masse<br />
aus einem Gebiet G bedingt die Abnahme <strong>der</strong> sich in G befindlichen Masse.<br />
∮<br />
d⃗σ ·⃗j(⃗x, t) = − d ∫<br />
d 3 xρ(⃗x, t) (Σ fest)<br />
Σ(G) dt G<br />
∮<br />
1<br />
d⃗σ ·⃗j(⃗x, t) = − d ∫<br />
1<br />
d 3 xρ(⃗x, t)<br />
V (G) Σ dt V (G) G<br />
103
Limes G → 0 durchführen:<br />
⃗∇ ·⃗j(⃗x, t) ∣ = − ∂<br />
⃗x=⃗x0 ∂t ρ(⃗x 0, t)<br />
o<strong>der</strong><br />
∂ρ(⃗x, t)<br />
⃗∇ ·⃗j(⃗x, t) + = 0 o<strong>der</strong> kurz<br />
∂t<br />
⃗∇ ·⃗j + ˙ρ = 0 Kontinuitätsgleichung<br />
Die Kontinuitätsgleichung ⃗ ∇ ·⃗j + ˙ρ = 0 ist eine Folge <strong>der</strong> Massenerhaltung.<br />
Kommentare zur Kontinuitätsgleichung<br />
1. Die Masse eines Stoffes ist nicht immer erhalten (z.B. kann CO 2 durch<br />
Verbrennung entstehen). Dann gilt die Kontinuitätsgleichung nicht.<br />
2. Spezialfall: inkompressible Flüssigkeit<br />
ρ(⃗x, t) = ρ = konst<br />
3. Spezialfall: stationäre Strömung<br />
=⇒ ⃗ ∇ ·⃗j(⃗x, t) = 0 , ⃗ ∇ · ⃗v(⃗x, t) = 0 .<br />
⃗v(⃗x, t) , ρ(⃗x, t) , ⃗j(⃗x, t) → ⃗v(⃗x) , ρ(⃗x) , ⃗j(⃗x)<br />
=⇒ ⃗ ∇ ·⃗j = 0 (i.a. ⃗ ∇ · ⃗v ≠ 0)<br />
4. Die elektrische Ladung ist immer erhalten. Auch hier gilt eine Kontinuitätsgleichung:<br />
ρ e (⃗x, t)<br />
Ladungsdichte (Ladung/Volumen)<br />
⃗v e (⃗x, t) Geschwindigkeit <strong>der</strong> Elektronen<br />
⃗j e (⃗x, t) = . ρ e (⃗x, t)⃗v e (⃗x, t) Stromdichte (Einheit: Am −2 , Cb s −1 m −2 )<br />
Mit <strong>der</strong> analogen Herleitung (siehe oben) erhält man<br />
⃗∇ ·⃗j e (⃗x, t) + ∂ρ e(⃗x, t)<br />
∂t<br />
= 0 .<br />
Kontinuitätsgleichung <strong>der</strong> elektrischen Ladung.<br />
13.7 Die skalaren Maxwellgleichungen<br />
Die Divergenz von Vektorfel<strong>der</strong>n tritt in <strong>der</strong> <strong>Physik</strong> an zahlreichen Stellen<br />
auf, z.B. auch bei <strong>der</strong> Formulierung von Gesetzen zum elektromagnetischen<br />
Feld:<br />
104
a)<br />
∮<br />
⃗∇ · ⃗B(⃗x, t) = 0 (→<br />
d⃗σ · ⃗B = 0)<br />
Magnetfel<strong>der</strong> sind divergenzfrei.<br />
Magnetfel<strong>der</strong> wie in nebenstehen<strong>der</strong> Figur gibt es nicht.<br />
b)<br />
ǫ 0<br />
⃗ ∇ · ⃗ E(⃗x, t) = ρe (⃗x, t)<br />
ǫ 0 = 8.854 · 10 −12 A s V −1 m −1<br />
Mit dem Satz von Gauss folgt hieraus (siehe Übungen)<br />
∮<br />
ǫ 0 d⃗σ · ⃗E = Q Σ ,<br />
Σ<br />
¦ ɦ<br />
wobei<br />
∫<br />
Q Σ die im Gebiet G vorhandene Ladung Q Σ =<br />
G d3 xρ e bezeichnet.<br />
Beispiel: Coulombfeld einer Punktladung Q im Punkt ⃗x = 0. Die elektrische<br />
Feldstärke<br />
⃗E(⃗x) = Q ⃗x<br />
4πǫ 0 |⃗x| 3<br />
erfüllt die Gleichung<br />
ǫ 0<br />
∮<br />
Σ<br />
d⃗σ · ⃗E = Q Σ .<br />
“Ladungen sind Quellen von ⃗ E” (Quelldichte ρ e /ǫ 0 ).<br />
<br />
13.8 Divergenz kugelsymmetrischer Fel<strong>der</strong><br />
Kugelsymmetrische Vektorfel<strong>der</strong> haben die Form<br />
⃗ω(⃗x) = F(x) ⃗x x ; x = |⃗x| .<br />
D(x) = ⃗ ∇ · ⃗ω(⃗x) =?<br />
Methode 1: x = (x 2 1 + x2 2 + x2 3 )1/2 differenzieren.<br />
105
Methode 2:<br />
<br />
¦<br />
ÜÊÜ<br />
Gauss:<br />
o<strong>der</strong><br />
⃗∇ ·<br />
∫ ∮<br />
d 3 xD(x) = d⃗σ · ⃗ω(⃗x) (d⃗σ = (S. 85) = ⃗xR sin θ dθ dϕ)<br />
G<br />
Σ<br />
∫ R<br />
dxx 2 4π D(x) = 4πR 2 F(R)<br />
d<br />
∣<br />
0<br />
dR<br />
4πR 2 D(R) = d [<br />
4πR 2 F(R) ]<br />
dR<br />
D(R) = 1 d [<br />
R 2 F(R) ]<br />
R 2 dR<br />
D(R) = 2 R F(R) + F ′ (R)<br />
[<br />
F(x) ⃗x ]<br />
= 1 d [<br />
x 2 F(x) ] = 2 x x 2 dx x F(x) + F ′ (x) .<br />
Anwendung: Gesucht sei ein kugelsymmetrisches Vektorfeld<br />
⃗ω(⃗x) = F(x) ⃗x x ,<br />
welches einen vorgegebenen Verlauf D(x) <strong>der</strong> Divergenz hat.<br />
1 d [<br />
x 2 F(x) ] = D(x)<br />
x 2 dx<br />
d [<br />
x 2 F(x) ] = x 2 D(x)<br />
dx ∫<br />
x 2 F(x) = dxx 2 D(x)<br />
F(x) = 1 x 2 ∫<br />
dxx 2 D(x) .<br />
Aufgabe: In einem Bereich 0 < x 1 < x < x 2 sei<br />
[<br />
⃗∇ · F(x) ⃗x ]<br />
= 0 ; F(x) =?<br />
x<br />
(unbestimmtes Integral)<br />
106
1 d [<br />
x 2 F(x) ] = 0<br />
x 2 dx<br />
d [<br />
x 2 F(x) ] = 0<br />
dx<br />
x 2 F(x) = C , konst<br />
Dabei ist C eine beliebige Konstante.<br />
=⇒ F(x) = C x 2 0 < x 1 < x < x 2 .<br />
107