Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

5.4 Pole (Beispiele)
Mit
∫ b
a
dx
x = lim
ǫ→0
{ ∫ −|ǫ|
a
dx
x + ∫ b
+|ǫ|
}
dx
≡
x
(a < 0, b > 0) definiert man den Hauptwert des Integrales über einen Pol.
∫ b
P
a
dx
x
∫ b
−→ P
a
dx
x = ln b
|a|
(Übung)
5.5 Unbestimmtes Integral: Substitution
Die Substitution ist eine Methode, eine Integration (eventuell) zu bewältigen.
Prinzip: Suche die geeignete Variable.
Beispiel allgemein
I = ∫ dxx · e −x2 I = ∫ f(x) dx
z = x 2
z = g(x)
x = √ z x = h(z) [= g −1 (z)]
dx = dz dx = dz 1
dz 2 √ dx = dz dx = dz · z dz h′ (z)
I = ∫ dz 1 √
2 √ z z e
−z
I = ∫ dz h ′ (z) f[h(z)]
I = − 1 2 e−z I = s(z)
I = − 1 I = s(g(x)) = ŝ(x)
2 e−x2
Kontrolle: differenzieren!
5.6 Bestimmtes Integral: Substitution
Bsp. 1: I =
∫ 2
1
dxx · e −x2
Methode a): unbestimmtes Integral nach Substitutionsmethode (−→ ŝ(x),
siehe oben); dann Grenzen von x einsetzen:
I =
∫ 2
1
dxx · e −x2 = − 1 ∣ ∣∣
x=2
= − 1 2 e−x2 2 e−4 + 1 2 e−1 .
Methode b): unbestimmtes Integral nach Substitutionsmethode in der Variablen
z (−→ s(z), siehe oben); dann Grenzen von z einsetzen:
I =
∫ 2
1
dxx · e −x2 =
∫ 4
1
x=1
dz 1 2 e−z = − 1 2 e−z∣ ∣ z=4
z=1 = ......
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