Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

⃗A, ⃗ B sind komponentenweise zu verstehen:
A 1 =
B 1 =
∫ ub
du dx 1
u a
du φ[⃗x(u)] analog A 2 und A 3
{ dx2
du
du ω 3[⃗x(u)] − dx }
3
du ω 2[⃗x(u)]
∫ ub
u a
Das wichtigste Linienintegral ist aber jenes vom Typ
∫ ⃗b
C
⃗a
d⃗x · ⃗ω(⃗x) .
analog B 2 und B 3
10 Doppelintegrale
10.1 Rechteckiges Integrationsgebiet
Gegeben sei eine Funktion von 2 Variablen, φ(x, y), ferner der Rechtecksbereich
x ′ < x < x ′′ , y ′ < y < y ′′ . Wir denken uns das Rechteck in schmale
Streifen geteilt:
ݼ¼
Ý·½
ݼݾ
ݽ
¡Ý
000 111
000 111
000 111
000 111
¡Ü
Ü·½
ܼ ܾܽ
Ü Ü¼¼
Die Fläche F des Rechtecks lässt sich (unabhängig von der Einteilung) als
Summe über die Elemente ∆σ ik schreiben:
F = ∑ i,k
∆σ ik
∆σ ik
= ∆x i · ∆y k
= ∑ ∑
∆x i · ∆y k = (x ′′ − x ′ ) (y ′′ − y ′ ) .
i
k
Wir gewichten nun jedes Flächenelement ∆σ ik mit dem lokalen Wert der
Funktion φ und bilden
∑
I = lim ∆σ ik φ(x i , y k ) .
∆σ→0
i,k
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