Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

9.4 Eigenschaften von Linienintegralen
(a) C 13 = C 12 + C 23
½¾
½
¾
¾¿
¿
(b)
C 13
∫ 3
1
∫ 2
d⃗x · ⃗ω(⃗x) = C 12
½
C ′ ∫ 1
2
1
d⃗x · ⃗ω(⃗x) + C 23
∫ 3
∫ 2
d⃗x · ⃗ω(⃗x) = − C d⃗x · ⃗ω(⃗x)
1
¾
¼
2
d⃗x · ⃗ω(⃗x)
(c) Sei ⃗ω(⃗x), ⃗x a , ⃗x b gegeben. Das Linienintegral von ⃗x a nach ⃗x b hängt i.a.
von der Wahl des Weges C ab.
Ü
Beispiel:
¾
Ü
½
Weg 1 : ⃗x a → 1 → ⃗x b
Weg 2 : ⃗x a → 2 → ⃗x b
(d) Andererseits sind Linienintegrale in Gradientfeldern ⃗ω(⃗x) = − ⃗ ∇φ(⃗x)
unabhängig von der Wahl des Weges C von ⃗x a nach ⃗x b . Dies folgt aus
dem Satz, den wir in Abschnitt 9.6 beweisen werden:
∫ ⃗xb
⃗x a
d⃗x · ⃗∇φ(⃗x) = φ(⃗x b ) − φ(⃗x a ) .
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