Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

5.8 Partielle Integration (bestimmt)
Beispiel:
∫ ∞
0
dxx 2 e −x2 =
∫ b
a
∫ ∞
0
∫ b
dx (u v ′ ) = (u v)| b a − dxu ′ v .
dx
(− 1 )
2 x
} {{ }
u
a
·
(−2 x e −x2)
} {{ }
v ′
= ...Übung = 1 4
√ π unter Verwendung von Gl. (5.2).
5.9 Ableiten nach Parameter
F(A) =
∫ b
a
dxg(x, A) ;
dF
dA =?
In sehr vielen Fällen (für genaue Voraussetzungen siehe Mathematikvorlesungen)
darf man Integration und Differentiation vertauschen, d.h.,
∫
dF b
dA =
a
dx
∂g(x, A)
∂A .
Oft ist es günstig, einen Parameter (künstlich) einzuführen, nach diesem
abzuleiten, und ihn am Schluss wieder wegzunehmen. Ein Beispiel dazu ist
das folgende:
I =
∫ ∞
−∞
dx x 2 · e −x2 .
Um dieses Integral zu lösen, betrachten wir
I A
. =
∫ ∞
−∞
= − d
dA
= − d
dA
∫ ∞
(
dx − d )
−A x2
e
−∞ dA
dx e −A x2 ; x = √ 1 u
A
√ π
dxx 2 e −A x2 =
∫ ∞
−∞
1
√ · √π =
A 2 A
√ 3/2
π
=⇒ I = I A=1 =
2 . 36