Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

3. Der Satz setzt voraus, dass ∇ ⃗ · ⃗ω im ganzen Gebiet G definiert ist.
Gegenbeispiel:
Ê ¦
⃗ω(⃗x) =
⃗x
|⃗x| 3
⃗∇ · ⃗ω = 0 , ⃗x ≠ 0
Übungen.
Mit d⃗σ = ⃗xR sin u du dv (S. 85) bekommt man
∮
∫
d⃗σ · ⃗ω = 4π ≠ d 3 x∇ ⃗ · ⃗ω = 0 Etwas ging schief.
Σ
G
Satz gilt nicht, weil für ⃗x = 0 ∈ G die Divergenz ∇ ⃗ · ⃗ω nicht exisitiert.
Hingegen gilt der Satz über dem Gebiet G: 0 < R 1 ≤ |⃗x| ≤ R 2 .
13.4 Interpretation von ⃗ ∇ · ⃗ω
Betrachte die Divergenz von ⃗ω(⃗x) in einem Punkt ⃗x 0 . Satz von Gauss auf
eine kleine Umgebung G von ⃗x 0 anwenden .
¦
∫ ∮
d 3 x∇ ⃗ · ⃗ω = d⃗σ · ⃗ω
G
1
V G
∫G
Σ(G)
d 3 x∇ ⃗ · ⃗ω = 1 d⃗σ · ⃗ω .
V G
∮Σ(G)
Gebiet G auf den Punkt ⃗x 0 zusammenziehen: ∫ G d3 x ⃗ ∇ · ⃗ω ≃ V G
⃗ ∇ · ⃗ω(⃗x)
∣
∣∣⃗x=⃗x0
=⇒ ∇ ⃗ ∣
· ⃗ω
∣
⃗x=⃗x0
= lim
V G →0
1
d⃗σ · ⃗ω(⃗x) .
V G
∮Σ(G)
Witz der Sache: Die rechte Seite hängt nicht von der Drehlage der Koordinatenachsen
ab. Dasselbe gilt also für ⃗ ∇ · ⃗ω.
¼
ܼ
100