Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

y(x,t)
−L 0
L
x
Abbildung 6.2: Die schwingende Saite, eingespannt bei x = ±L.
5. Die einfachste Newtonsche Bewegungsgleichung ist die gleichförmig beschleunigte
Bewegung: ÿ(t) = a
1. Integration: ẏ(t) = at + c 1
2. Integration: y(t) = at2 + c 2 1t + c 2
2 Randbedingungen: sowohl der Anfangsort, wie auch die Anfangsgeschwindigkeit
müssen vorgegeben werden: c 1 = v(0), c 2 = x(0).
6. Gleichung einer schwingenden Saite. y(x, t) bedeute die Auslenkung
der Saite an der Stelle x, zur Zeit t , siehe obige Figur und Skript
Experimentalphysik I, S. 181:
∂ 2 y(x, t)
− ∂2 y(x, t)
= 0 (“Wellengleichung”).
v 2 ∂t 2 ∂x 2
Dies ist ein Beispiel einer partiellen Differentialgleichung: Die gesuchte
Funktion y(x, t) hängt von 2 Variablen ab (Zeit t und Ort x). Der
Parameter v ist vorgegeben (materialabhängig) und bedeutet die Fortpflanzungsgeschwindigkeit
der Welle.
Klassifikation:
Eine Differentialgleichung (z.B. in v(t)) beschreiben wir häufig mit folgenden
Begriffen:
gewöhnlich:
partiell:
n-ter Ordnung:
linear:
homogen:
Gesuchte Funktion v(t) hängt nur von einer Variablen
ab (hier t),
Funktion hängt von mehreren Variablen ab,
vorkommende Ableitungen haben höchstens
Ordnung n,
Funktion v(t) und ihre Ableitungen erscheinen nur linear,
v = 0 ist eine Lösung der Gleichung.
Wir betrachten im ersten Teil dieser Vorlesung ausschliesslich gewöhnliche
Differentialgleichungen. Im zweiten Teil werden wir uns auch partielle Differentialgleichungen
anschauen, z.B. die Wellengleichung 6.).
39