Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Schliesslich ist das Vorzeichen wie folgt festgelegt (sei x ′′ > x ′ , y ′′ > y ′ ,
u ′′ > u ′ , v ′′ > v ′ ):
I =
∫ y ′′
y ′ ∫ x ′′
x ′
dy dx φ ;
} {{ }
>0
Daher lautet die Schlussformel:
Kommentare
I =
∫ v ′′
v ′
dv
Vorzeichen von I durch Vorzeichen von φ bestimmt.
∫ u ′′ (v)
u ′ (v)
du |D(u, v)| φ[x(u, v), y(u, v)] .
1. Bei 1-dim. Integration steht in Analogie zu D der Faktor dx
du .
2. Leitgedanken bei der Wahl von u, v:
(a) Vereinfachung des Integranden
(b) die neuen Grenzen sollten auch einfach werden
3.
4.
∂(x, y) ∂(u, v)
∂(u, v) ∂(x, y)
∂(x, y)
∂(ξ, η)
= 1 (x, y) → (u, v) → (x, y) .
∂(ξ, η) ∂(x, y)
=
∂(u, v) ∂(u, v) .
(x, y) → (ξ, η) → (u, v) .
Bsp. 1: Polarkoordinaten in der Ebene
Beispiel:
∫
I =
=
=
x = r cos ϕ , y = r sin ϕ
∂(x, y)
D =
∂(r, ϕ) = ... = r .
Σ
∫ r2
r
∫
1
r2
r 1
dxdy Q(x, y)
dr
dr r
∫ ϕ2
ϕ
∫
1
ϕ2
dϕ r Q[x(r, ϕ), y(r, ϕ)]
ϕ 1
dϕ ˆQ(r, ϕ)
Ý
Ý
³ Ö
Ü
³¾
Ö½ ¦ Ö ¾
³½
Ü
90