Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Das lässt sich am leichtesten überprüfen, indem man die Gleichung in Operator-
Notation schreibt, also z.B. die Gleichung (6.22) in der Form
D 2 t y(t) − 2D ty(t) + y(t) = (D t − 1) 2 y(t) = 0
schreibt, wo D t den Ableitungsoperator bezeichnet, welcher die Ableitung einer
Funktion ergibt, wenn er auf diese angewendet wird. Wenn eine Nullstelle
α m-mal Auftritt, heisst dies, das der Ableitungsoperator der Gleichung einen
Faktor (D t − α) m enthält. Wenn man dies auf den Ansatz (6.23) anwendet
erhält man
(D t − α) m t k e αt = (D t − α) m−1 k t k−1 e αt
= (D t − α) m−2 k(k − 1) t k−2 e αt
= . . .
= k · (k − 1) . . .2 · 1 (D t − α) m−k e αt
= 0 für m > k .
Mit jeder Anwendung von (D t − α) reduziert sich also die Potenz von t um
eins und der Vorfaktor t k ist nach k Anwendungen weg. Für k < m erfolgt
danach aber noch mindestens eine weitere Anwendung von (D t − α) und
damit gilt (D t − α) m t k e αt = 0 in diesem Fall.
Damit haben wir nun die allgemeine Lösung der homogenen linearen Gleichung
mit konstanten Koeffizienten konstruiert. Techniken, um eine partikuläre
Lösung der inhomogenen Gleichung zu konstruieren, werden im dritten
Teil der Vorlesung behandelt werden.
6.3 Separation der Variablen
Eine weitere Klasse von Differentialgleichungen, die analytisch lösbar sind,
sind Gleichungen erster Ordnung, bei denen die Variablen separiert sind, d.h.
Gleichungen der Form
y ′ (x) = f[y(x)]g(x) . (6.24)
Beispiele einer solchen Gleichung dieser Form sind etwa
y ′ (x) = cos 2 (y(x)) , y(x) 2 y ′ (x) − x 3 = 0 .
Im ersten Fall ist f(y) = cos 2 (y), g(x) = 1. Im zweiten Beispiel ist f(y) =
1/y 2 und g(x) = x 3 47