Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Beweis:
Bilde die Funktion (⃗a sei festgehalten)
φ(⃗x) . = −
∫ ⃗x
⃗a
d⃗x ′ · ⃗ω(⃗x ′ ) .
φ(⃗x) hängt nach Voraussetzung nicht vom Verlauf
des Weges C ab. [Abhängigkeit von ⃗a ist
unterdrückt in der Notation.]
Wir beweisen nun, dass φ(⃗x) die Beziehung
ܼ
Ü
− ⃗ ∇φ(⃗x) = ⃗ω(⃗x)
erfüllt. Dazu berechnen wir
∂
∂x 1
φ(⃗x).
∂φ(⃗x) φ(⃗x + ∆⃗x) − φ(⃗x)
= lim
∂x 1 ∆x 1 →0 ∆x 1
¾
Ü
Ü·¡Ü
¡Ü´¡Ü½¼¼µ
½
= lim − 1 ∫ ⃗x+∆⃗x
d⃗x ′ · ⃗ω(⃗x ′ )
∆x 1 →0 ∆x 1 ⃗x
⃗x ′ = (u, x 2 , x 3 ) ; x 1 ≤ u ≤ x 1 + ∆x 1 ; d⃗x ′ = du d⃗x′ = du · (1, 0, 0)
du
∫
∂φ(⃗x)
1
x1 +∆x 1
= − lim
du w 1 (u, x 2 , x 3 ) .
∂x 1 ∆x 1 →0 ∆x 1 x 1
Ableitung eines gewöhnlichen Integrals nach seiner oberen Grenze:
∫
d x
{∫
1 x+∆x ∫ x
}
dt f(t) = lim dt f(t) − dt f(t)
dx
∆x→0 ∆x
a
= lim
∆x→0
1
∆x
a
∫ x+∆x
x
a
dt f(t) = f(x) .
Deshalb:
∂φ(⃗x)
= −ω 1 (x 1 , x 2 , x 3 ) = −ω 1 (⃗x)
∂x 1
und analog für die anderen Komponenten. □
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