Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Durch fortgesetztes Differenzieren nach dem Parameter λ lassen sich die folgenden
Formeln gewinnen:
∫ ∞
0
∫ ∞
0
∫ ∞
0
dxx n e −λx = n! λ −(n+1) ; n = 0, 1, 2, 3, ....; λ > 0
dxx 2n e −λx2 =
√
1 · 3 · 5... · (2n − 1) π
; λ > 0 ; n = 0, 1, 2, 3, ...
2 (2 λ) n λ
dxx 2n+1 e −λx2 = n! ; λ > 0 ; n = 0, 1, 2, 3, ...
2 λn+1 6 Differentialgleichungen
Eine Gleichung, welche neben einer unbekannten Funktion auch Ableitungen
dieser Funktion enthält, heisst Differentialgleichung. Falls die unbekannte
Funktion nur von einer einzigen Variablen abhängt, so spricht man von einer
gewöhnlichen Differentialgleichung; hängt die unbekannte Funktion von
mehreren Variablen ab, und kommen in der Gleichung diese Funktion und
ihre partiellen Ableitungen vor, so spricht man von einer partiellen Differentialgleichung.
Ein weiteres Merkmal ist die Ordnung der Differentialgleichung. Darunter
versteht man die höchste Ordnung der vorkommenden Ableitungen.
Differentialgleichungen sind ein ausserordentlich wichtiges mathematisches
Instrument in allen Gebieten der Physik. Viele Probleme der klassischen
Physik lassen sich auf das Lösen von Differentialgleichungen zurückführen.
Es gibt eine grosse mathematische Literatur zum Thema Differentialgleichungen,
in der Regel lassen sich aber nur die wenigsten Gleichungen analytisch
lösen. In diesem Kapitel werden wir die Lösung für eine Klasse von einfachen,
aber für die Physik wichtigen Gleichungen herleiten. Ausserdem besprechen
wir ein einfaches Verfahren, mit dem sich Differentialgleichungen numerisch
lösen lassen.
6.1 Beispiele und Klassifikation
Beispiele:
1. y ′ (x) = 0 ⇒ y(x) = c.
Randbedingung y(x 0 ) = y 0 legt c = y 0 fest.
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