Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

4.1 Die Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion kann auf verschiedensten Wegen eingeführt werden.
Hier definieren wie sie durch
e z . =
∞
∑
n=0
z n
n! , z ǫ C
Dabei haben wir das Symbol n! = 1 · 2 · 3 · · ·n benutzt (ausgesprochen als
“n Fakultät”). Die Reihe ist konvergent ∀ z ∈ C.
Eigenschaften der Exponentialfunktion
e z e w
e iϕ
e x
e 0
= e z+w
= cosϕ + i sin ϕ, ϕ ǫ R
> 0, x ǫ R; e z ≠ 0, z ǫ C
= 1; e 1 = 2.71828...; e iπ = −1
(e x ) ′ = e x
f ′ (x) = f(x) ↦→ f(x) = C e x , C konstant
Bemerkung: Die Notation cis φ = cosφ + i sin φ wird nirgends benutzt.
Logarithmusfunktion
Exponentialfunktion: e x : R → R +
Umkehrfunktion: ln x : R + → R
e lnx = x, x > 0
Eigenschaften der Logarithmusfunktion
ln(x · y) = ln x + ln y
d
dx ln x = 1 x
(4.1)
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