Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Bsp.: Temperatur über einer Ebene
T = f(x, y) oder T = f(x, r)
konkretes Bsp.: f(x, y) = x (x 2 + y 2 ) = xr 2
∂T
∂x ∣ ≠ ∂T
∣
y
∂x
∣
r
3x 2 + y 2 ≠ r 2
7.1.2 F(x, y). Taylorentwicklung 1. Ordnung
1 Variable: Funktion ω(u).
ω 1 (u) = ω(u 0 ) + ω ′ (u 0 ) (u − u 0 )
ω 1 (u) heisst “Taylorentwicklung 1. Ordnung”
ω(u) ∼ ω 1 (u) heisst “Taylor-Näherung 1. Ordnung”
ω 1 (u) : Näherung durch Tangente, siehe Kapitel 3.2.
2 Variablen: Funktion F(x, y)
linear in u
F 1 (x, y) = F(x 0 , y 0 ) + F x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + F y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) (7.1)
Û
Û½
Ù
F 1 (x, y) ist linear in x und in y.
F 1 (x, y) heisst “Taylorentwicklung 1. Ordnung”.
F(x, y) ∼ F 1 (x, y) heisst “Taylor-Näherung 1. Ordnung”.
F 1 (x, y) stimmt mit F(x, y) in (x 0 , y 0 ) im Funktionswert
und in den ersten Ableitungen überein.
F 1 liegt in Tangentialebene an die Fläche z =
F(x, y) (ohne Beweis).
Werte von z = F(x, y) approximiert durch die
Werte in der Tangentialebene.
Ü
ܼݼ
½
Ý
55