Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

8 Skalare Felder, Vektorfelder
Ein skalares Feld φ(⃗x) liegt dann vor, wenn jedem Punkt ⃗x eines Gebietes G
des Ortsraums eine Grösse φ zugeordnet ist.
Häufig spricht man nur dann von einem skalaren Feld, wenn die Grösse φ
nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhängt. Beispiel: Druck p(⃗x).
Gegenbeispiel: eine bestimmte Komponente des elektrischen Feldes.
Vektorfeld ⃗ω(⃗x): In jedem Punkt ⃗x eines Gebietes G des Ortsraums ist ein
Vektor ⃗ω definiert.
2-dim:
3-dim:
⃗ω(⃗x) = (ω 1 (x 1 , x 2 ), ω 2 (x 1 , x 2 ))
⃗ω(⃗x) = (ω 1 (x 1 , x 2 , x 3 ), ω 2 (x 1 , x 2 , x 3 ), ω 3 (x 1 , x 2 , x 3 ))
= (ω 1 (⃗x), ω 2 (⃗x), ω 3 (⃗x))
Wir nehmen im folgenden an, dass die alle partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen
w k (⃗x) existieren.
Beispiele
1.) Elektrisches Feld ⃗ E(⃗x) einer Punktladung
Q, welche sich bei ⃗x = 0 befindet:
⃗E(⃗x) =
Q 1 ⃗x
4 π ε 0 x 2 x ; x = |⃗x| .
⃗E(⃗x) ist ein kugelsymmetrisches Feld, welches
bei ⃗x = 0 singulär ist.
ܽ
Ü¿
É Ü
2.) Sei T(⃗x) ein skalares Feld. Dann ist ⃗ ∇T ein Vektorfeld.
3.) Magnetfeld ⃗ B(⃗x) eines Stromes in der 3. Achse. Stromstärke I.
ρ
.
=
| ⃗ B| ∼ 1 ρ
B 3 = 0
√
x 2 1 + x 2 2
63
ܽ
Ü¿ Á Ü
ܾ
ܾ