Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Methode 2:
¦
ÜÊÜ
Gauss:
oder
⃗∇ ·
∫ ∮
d 3 xD(x) = d⃗σ · ⃗ω(⃗x) (d⃗σ = (S. 85) = ⃗xR sin θ dθ dϕ)
G
Σ
∫ R
dxx 2 4π D(x) = 4πR 2 F(R)
d
∣
0
dR
4πR 2 D(R) = d [
4πR 2 F(R) ]
dR
D(R) = 1 d [
R 2 F(R) ]
R 2 dR
D(R) = 2 R F(R) + F ′ (R)
[
F(x) ⃗x ]
= 1 d [
x 2 F(x) ] = 2 x x 2 dx x F(x) + F ′ (x) .
Anwendung: Gesucht sei ein kugelsymmetrisches Vektorfeld
⃗ω(⃗x) = F(x) ⃗x x ,
welches einen vorgegebenen Verlauf D(x) der Divergenz hat.
1 d [
x 2 F(x) ] = D(x)
x 2 dx
d [
x 2 F(x) ] = x 2 D(x)
dx ∫
x 2 F(x) = dxx 2 D(x)
F(x) = 1 x 2 ∫
dxx 2 D(x) .
Aufgabe: In einem Bereich 0 < x 1 < x < x 2 sei
[
⃗∇ · F(x) ⃗x ]
= 0 ; F(x) =?
x
(unbestimmtes Integral)
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