Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

sich mit evidenter Definition folgende Integrale bilden:
∫ ∫∫ [ ∂⃗x
(a) d⃗σ × ⃗ω(⃗x) = dudv
Σ
G ∂u × ∂⃗x ]
× ⃗ω[⃗x(u, v)]
∂v
∫ ∫∫
(b) |d⃗σ| ⃗ω(⃗x) = dudv
∂⃗x
∣
Σ
G ∂u × ∂⃗x
∂v ∣ ⃗ω[⃗x(u, v)]
∫ ∫∫
(c) |d⃗σ| φ(⃗x) = dudv
∂⃗x
∣
Σ
G ∂u × ∂⃗x
∂v ∣ φ[⃗x(u, v)]
∫ ∫∫ [ ∂⃗x
(d) d⃗σ φ(⃗x) = dudv
∂u × ∂⃗x ]
φ[⃗x(u, v)] .
∂v
Σ
G
Beachte, dass einige dieser Integrale Skalare, andere aber Vektoren sind.
Bem.: Falls man in (c) φ = 1 setzt, erhält man den Flächeninhalt von Σ.
11.7 Anwendung: Variablentransformation bei Doppelintegralen
Bei Integration über eine einzige Variable lässt sich oft eine geeignete neue
Variable so einführen, dass das Integral gelöst werden kann. Dies ist auch bei
Doppelintegralen möglich.
∫ ∞
−∞
dx
∫ ∞
−∞
dy e 1
−(x+y)2 1 + (x − y) ; Substitution: u = x + y ; v = x − y .
2
1 Variable:
I =
=
∫
∫
f(x)dx ; z = g(x) , x = h(z)
dz dh f[h(z)] = s(z) = s[g(x)]
dz
Der Faktor dh dz
Ein analoger Faktor tritt auf bei mehrfacher Integration.
Allgemein lautet die Aufgabe (vgl. S. 76)
∫ y ′′ ∫ x ′′ (y)
I = dy dxφ(x, y) .
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y ′
x ′ (y)
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