Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Lösungen. Gibt es neben der Lösungsschar (6.9) weitere Lösungen der
Differentialgleichung (6.8), die sich nicht in der Form (6.9) schreiben
lassen? Dass dies nicht der Fall ist, lässt sich folgendermassen einsehen.
Es sei ¯v(t) irgendeine Lösung der Dgl. (6.8). Bilde h(t) = e γt¯v(t). Dann
gilt
ḣ(t) = γh(t) + e γt ˙¯v(t)
= γh(t) − γh(t) = 0 . (6.10)
Die Funktion h(t) ist also unabhängig von t, h(t)= konst. Daraus folgt
¯v(t) = he −γt . Mit anderen Worten, jede Lösung der Dgl. (6.8) ist von
der Form (6.9).
Die Konstante c lässt sich bestimmen aus dem Wert der Geschwindigkeit
zur Zeit t = 0.
Wir schliessen, dass der Satz D 1 auch in diesem Fall richtig ist.
iii) Wir betrachten nun den allgemeinen Fall (6.3), mit γ, g ≠ 0. Zum
Auffinden der Lösung stellen wir vorerst folgendes fest. Es seien mit
v p , v 1 zwei Lösungen vorgegeben. Wir bilden die Differenz
∆ = v 1 − v p . (6.11)
Durch Differenzieren finden wir, dass ∆ die homogene Dgl.
˙∆ + γ∆ = 0 (6.12)
erfüllt und stellen fest, dass wir diese Gleichung eben gelöst haben. Mit
anderen Worten: Wenn wir irgendeine Lösung v p (t) der inhomogenen
Gleichung (6.3) finden, so lässt sich jede andere Lösung v 1 darstellen
als
v 1 (t) = ∆(t) + v p (t)
= ce −γt + v p (t) . (6.13)
Und was hilft dies hier? Wir stellen fest, dass v = g/γ eine Lösung der Dgl.
(6.3) ist. Die Geschwindigkeit ist eine Konstante für diese Lösung - sicher
nicht der allgemeingültige Fall! Aber nach dem eben Gesagten lässt sich jede
andere Lösung schreiben als
v(t) = ce −γt + g/γ . (6.14)
Wie wir sehen, ist der Satz D 1 auch hier richtig: Wenn wir c = v 0 − g/γ
wählen, so ist die Anfangsbedingung (6.5) offensichtlich erfüllt, und die Lösung
eindeutig, weil die Konstante c festgelegt ist.
Dazu nochmals etwas Nomenklatur:
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