Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

• Wichtige Spezialfälle:
I =
∫ +∞
−∞
dy
∫ +∞
−∞
dxφ(x, y) .
10.2 Beliebige Integrationsgrenzen
Gegeben: Funktion φ(x, y).
Gebiet G, durch
Wiederum:
x ′ (y)
x ′′ (y)
y ′ < y < y ′′
}
Rand
• G in beliebig kleine Elemente teilen: α =
1, 2, 3, ...; ∆σ α
• Bilde dann
I = lim
∆σ→0
∑
∆σ α φ(x α , y α ) .
α
(∆σ → 0 : “Durchmesser” jedes Elementes
→ 0).
Ý
ݼ¼
Ý Ü¼´Ýµ
ݼ Ý« ¡«
00 11
ܼ¼´Ýµ
00 11
Ü«
00 11
Ü
Durchführung: Z.B. zuerst über horizontale Streifen
summieren
Ý
I =
∫ y ′′
y ′
dy
∫ x ′′ (y)
dxφ(x, y)
x ′ (y)
} {{ }
Funktion von y
ܼ´Ýµ
ܼ¼´Ýµ
Ü
Beispiel: G: Kreis, definiert durch x 2 +y 2 ≤ 1; φ = 1:
I ist somit der Flächeninhalt des Einheitskreises.
I =
I = 2
∫ 1
∫ √ 1−y 2
dy dx · 1 = 2
−1 −
√1−y 2
dy
y = cosϕ,
dϕ = − sin ϕ
∫ 0
π
dϕ sin ϕ (− sin ϕ) = 2
∫ 1
−1
∫ π
0
dy √ 1 − y 2
dϕ 1 − cos(2ϕ)
2
= π .
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