Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

• Wichtige Eigenschaft des Gradienten: Der Vektor ∇F ⃗ ist unabhängig
von der Wahl der Drehlage des Koordinatensystems.
Begründung: ∇F ⃗ Ö
ist durch die Flächen F =konst. auch ohne Einführung
eines Koordinatensystems festgelegt: ∇F ⃗ ⊥ F =konst.
ÓÒ×Ø
7.3 Kugelsymmetrische Felder
Ein skalares Feld der Form F = F(x), x = |⃗x|, heisst kugelsymmetrisch.
Ein Vektorfeld der Form ⃗v(⃗x) = G(x) ⃗x , x = |⃗x|, heisst kugelsymmetrisch.
x
Satz: Der Gradient eines kugelsymmetrischen Feldes ist kugelsymmetrisch.
√
F = F(x) , x = |⃗x| = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3
∂
F[x(⃗x)] = dF
∂x 1 dx
⃗∇F(x) = dF
dx
⃗x
x
∂x
= dF
∂x 1 dx
Beispiel: Zwischen dem elektrischen Feld
und seinem Potenzial
⃗E(⃗x) =
φ(⃗x) =
Q ⃗x
4πε 0 x 2 x
Q
4πǫ 0 x
x 1
√
x
2
1 + x 2 2 + x 2 3
= dF
dx
gilt die Beziehung ⃗ E(⃗x) = − ⃗ ∇φ(⃗x) (“ ⃗ E ist ein Potenzialfeld”).
x 1
x
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