Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Bsp. 4: F(x 1 , x 2 ) vorgegeben. F(x 1 , x 2 ) = K (konstant)
legt eine Kurve fest in der x 1 , x 2 Ebene.
Beispiel: F(⃗x) = α (x 2 1 + x2 2 )
x(t) durchlaufe diese Kurve.
Satz: ⃗ ∇F steht senkrecht auf der Kurve F = K im
Punkt ⃗x (d.h. senkrecht auf der Tangente ˙⃗x(t)).
Beweis:
d a)
F[⃗x(t)] = 0 = b) ∂F ẋ 1 + ∂F c)
ẋ 2 = ∇F
dt ∂x 1 ∂x ⃗ · ˙⃗x
2
a) da F =konstant ; b) Kettenregel ; c) Definition von ⃗ ∇F.
Im Beispiel:
⃗∇F = (2α x 1 , 2αx 2 ) = 2α⃗x.
ܾ
Bsp. 5: F(⃗x) = a 1 x 1 + a 2 x 2 = ⃗a · ⃗x ; ∇F ⃗
Ü
= ⃗a .
¡ÜÓÒ×Ø Ü½
Ö
ܾ
ÜØ
ÓÒ×Ø
ܽ
Bsp. 6: F(⃗x) = G(x) ; x ≡ |⃗x|
( ∂F
⃗∇F = , ∂F )
;
∂x 1 ∂x 2
⃗∇F = dG
dx · ⃗x
|⃗x|
∂F
∂x 1
= dG
dx · ∂x
∂x 1
= dG
dx · x1
|⃗x|
Bsp. 7: Das elektrische Feld ⃗ E(⃗x)
⃗E(⃗x) =
Q
4πε 0 x 2 · ⃗x x
lässt sich als Gradient eines Potenzials schreiben:
⃗E(⃗x) = − ⃗ ∇ φ(⃗x) ;
φ(⃗x) = Q
4πε 0
1
x
“Potenzial von ⃗ E”.
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